一題多解教學(xué)案例五種方法證明根號(hào)2是無理數(shù)

1、一題多解教學(xué)案例：五種方法證明是無理數(shù)古希臘曾有“萬物皆數(shù)”的思想，這種認(rèn)為“大自然的一切皆為整數(shù)之比”的思想統(tǒng)治了古希臘數(shù)學(xué)相當(dāng)長的一段時(shí)間，許多幾何命題都是根據(jù)這一點(diǎn)來證明的。當(dāng)時(shí)的很多數(shù)學(xué)證明都隱性地承認(rèn)了“所有數(shù)都可以表示為整數(shù)之比”，“萬物皆數(shù)”的思想是古希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的奠基。直到有一天，畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生Hippasus告訴他，單位正方形的對(duì)角線長度不能表示為兩個(gè)整數(shù)之比。被人們公認(rèn)的假設(shè)被推翻了，大半命題得證的前提被認(rèn)定是錯(cuò)的，古希臘時(shí)代的數(shù)學(xué)大廈轟然倒塌，數(shù)學(xué)陷入了歷史上的第一次危機(jī)。最后，Eudoxus的出現(xiàn)奇跡般地解決了這次危機(jī)。今天我們要看的是，為什么單位正方形的對(duì)角線長度不

2、能表示為兩個(gè)整數(shù)之比。單位正方形的對(duì)角線長度怎么算呢？從上面的這個(gè)圖中我們可以看到，如果小正方形的面積是1的話，大正方形的面積就是2。于是單位正方形的對(duì)角線是面積為2的正方形的邊長。換句話說，Hippasus認(rèn)為不可能存在某個(gè)整數(shù)與整數(shù)之比，它的平方等于2。中學(xué)課程中安排了一段反證法。當(dāng)時(shí)有個(gè)題目叫我們證根號(hào)2是無理數(shù)，當(dāng)時(shí)很多人打死了也想不明白這個(gè)怎么可能證得到，這種感覺正如前文所說。直到看了答案后才恍然大悟，數(shù)學(xué)上竟然有這等詭異的證明。當(dāng)然，我們要證明的不是“根號(hào)2是無理數(shù)”。那個(gè)時(shí)候還沒有根號(hào)、無理數(shù)之類的說法。我們只能說，我們要證明不存在一個(gè)數(shù)p/q使得它的平方等于2。證明過程地球人都

3、知道：假設(shè)p/q已經(jīng)不能再約分了，那么p2=2q2，等式右邊是偶數(shù)，于是p必須是偶數(shù)。p是偶數(shù)的話，p2就可以被4整除，約掉等式右邊的一個(gè)2，可以看出q2也是偶數(shù)，即q是偶數(shù)。這樣，p也是偶數(shù)，q也是偶數(shù)，那么p和q就還可以繼續(xù)約分，與我們的假設(shè)矛盾。根號(hào)2是無理數(shù)，我們證明到了。根號(hào)3呢？根號(hào)5呢？你可能偶爾看到過，Theodorus曾證明它們也是無理數(shù)。但Theodorus企圖證明17的平方根是無理數(shù)時(shí)卻沒有繼續(xù)證下去了。你可以在網(wǎng)上看到，Theodorus對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)之一就是“證明了3到17的非平方數(shù)的根是無理數(shù)”。這給后人留下了一個(gè)疑問：怪了，為什么證到17就不證了呢？一個(gè)俄國的數(shù)學(xué)歷

4、史家“猜”到了原因。他猜測，當(dāng)時(shí)Theodorus就是用類似上面的方法證明的。比如，要證明根號(hào)x不是有理數(shù)，于是p2=xq2。我們已經(jīng)證過x=2的情況了，剩下來的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。如果x是奇數(shù)且p/q已經(jīng)不能再約分，那么顯然p和q都是奇數(shù)。一個(gè)奇數(shù)2n+1的平方應(yīng)該等于4(n2+n)+1，也即8 * n(n+1)/2 + 1，其中n(n+1)/2肯定是一個(gè)整數(shù)。如果p=2k+1，q=2m+1，把它們代進(jìn)p2=x*q2，有8k(k+1)/2 - x*m(m+1)/2 = x-1。于是x-1必須是8的倍數(shù)。如果當(dāng)時(shí)Theodorus是這么證明的，那么他可以得到這樣一個(gè)結(jié)論，如果x-1不能被8整除，那么

5、它不可能被表示成(p/q)2。好了，現(xiàn)在3、5、7、11、13減去1后都不是8的倍數(shù)，它們的平方根一定不是有理數(shù)。在x=9時(shí)發(fā)生了一次例外，但9是一個(gè)平方數(shù)。而當(dāng)x=17時(shí)這種證明方法沒辦法解釋了，于是Theodorus就此打住。實(shí)際上，我們上面說的這么多，在古希臘當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)體系中是根本不可能出現(xiàn)的。畢達(dá)哥拉斯時(shí)代根本沒有發(fā)展出代數(shù)這門學(xué)科來，它們掌握的只是純粹的幾何。因此，Hippasus當(dāng)時(shí)的證明不可能像我們現(xiàn)在這樣搞點(diǎn)什么奇數(shù)x偶數(shù)y之類的高科技東西。事實(shí)上，Hippasus當(dāng)時(shí)完全運(yùn)用的平面幾何知識(shí)來證明他的結(jié)論。有人覺得奇怪了，既然當(dāng)時(shí)沒有代數(shù)，古希臘人是怎么提出“所有數(shù)都可以表示為

6、整數(shù)之比”的呢？其實(shí)古希臘人根本沒有提出什么整數(shù)之比，這是后人的一個(gè)誤解。當(dāng)時(shí)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的，叫做“公度單位”。兩條線段的公度單位，簡單的說就是找一個(gè)公度量，使得兩條線段的長度都是這個(gè)公度量的整倍數(shù)（于是這個(gè)公度量就可以同時(shí)作為兩條線段的單位長度并用于測量）。尋找公度量的方法相當(dāng)直觀，就是不斷把較長的那個(gè)線段減去短的那個(gè)線段，直到兩個(gè)線段一樣長。熟悉數(shù)論的同學(xué)一下就明白了這就是歐幾里德的輾轉(zhuǎn)相除算法求最大公約數(shù)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的根結(jié)就在于，古希臘人理所當(dāng)然地相信不斷地截取線段，總有一個(gè)時(shí)候會(huì)截到兩個(gè)線段一樣長。后來，Hippasus畫了這么一張圖，告訴大家了一個(gè)反例：有可能這個(gè)操作會(huì)無窮

7、盡地進(jìn)行下去?，F(xiàn)在看他怎么解釋，在圖中的BC和BD之間進(jìn)行輾轉(zhuǎn)相除為什么永遠(yuǎn)不能停止。把BD減去BC，剩下一段DE。以DE為邊做一個(gè)新的小正方形DEFG，那么顯然DE=EF=FC（EDF為等腰直角且BEFBCF）。接下來我們應(yīng)該在BC和DE間輾轉(zhuǎn)相除。BC就等于CD，CD減去一個(gè)DE相當(dāng)于減去一個(gè)FC，就只剩下一段DF了。現(xiàn)在輪到DE和DF之間輾轉(zhuǎn)相除，而它們是一個(gè)新的正方形的邊和對(duì)角線，其比例正好與最初的BC和BD相當(dāng)。于是，這個(gè)操作再次回到原問題，并且無限遞歸下去。最后的結(jié)論用我們的話說就是，不存在一個(gè)數(shù)x使得BC和BD的長度都是x的整倍數(shù)。于是，BD/BC不能表示為兩個(gè)整數(shù)之比p/q（否

8、則BD/p=BC/q，這就成為了那個(gè)x）。有發(fā)現(xiàn)上面的代數(shù)證明和幾何證明之間的共同點(diǎn)嗎？它們都是這樣的一個(gè)思路：假設(shè)我已經(jīng)是滿足這個(gè)性質(zhì)的最小的那個(gè)了，那么我就可以用一種方法找出更小的一個(gè)來，讓你無限循環(huán)下去，數(shù)目越來越小，永無止境。嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明中你或許會(huì)看到這樣一句話：“不失一般性，設(shè)n為最小的滿足”這種證明方法應(yīng)用很廣。比如，證明3n不能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和。我假設(shè)存在一個(gè)最小的n使得x2+y2=3n，那么x2+y2可以被3整除，于是x和y也應(yīng)該能被3整除（一個(gè)正整數(shù)的平方除以3，要么除盡，要么余1）。假如x=3p，y=3q，那么(3p)2+(3q)2=3n，即9(p2+q2)=3n

9、，那么。p2+q2=3(n-2)，這和n最小的假設(shè)矛盾。換句話說，你永遠(yuǎn)找不到最小的，你必須一直遞歸下去。對(duì)于根號(hào)2是無理數(shù)的問題，下面一個(gè)證明使用了與上例幾乎相同的解決方法。如果N不是整數(shù)的話，假設(shè)N=A/B（化到最簡），那么NB/A=A/B?；蓭Х?jǐn)?shù)后，NB/A和A/B的分?jǐn)?shù)部分是形如a/A和b/B的形式，其中a<A且b<B。如果兩個(gè)數(shù)相同，那它們的小數(shù)部分也應(yīng)該相同，于是a/A=b/B。我們發(fā)現(xiàn)，a/b = A/B =N，即我們找到了N的更簡的表達(dá)形式a/b。接下來的兩個(gè)證明才是我佩服的，真正的Very Simple & Very Tricky。下面的這個(gè)證明曾經(jīng)是

10、我最喜歡的關(guān)于無理數(shù)的存在性的證明，它實(shí)在是太神奇了。假設(shè)(p/q)2=2，那么p2=2q2。我們將要證明，一個(gè)數(shù)的平方等于另一個(gè)數(shù)的平方的兩倍是根本不可能的。如果對(duì)一個(gè)平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，它必然有偶數(shù)個(gè)因子（x2的所有質(zhì)因子就是把x的質(zhì)因子復(fù)制成兩份）。于是，p2有偶數(shù)個(gè)質(zhì)因子，q2有偶數(shù)個(gè)質(zhì)因子，2q2有奇數(shù)個(gè)質(zhì)因子。等號(hào)左邊的數(shù)有偶數(shù)個(gè)質(zhì)因子，等號(hào)右邊的數(shù)有奇數(shù)個(gè)質(zhì)因子，大家都知道這是不可能的，因?yàn)橥粋€(gè)數(shù)只有一種分解質(zhì)因數(shù)的方法（唯一分解定理）。這個(gè)證明還有一種更加神奇的變化。p2和2q2的質(zhì)因子中，因子2的個(gè)數(shù)肯定是一奇一偶。那么它們轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制后，末尾0的個(gè)數(shù)肯定也是一奇一偶。因此，這兩個(gè)數(shù)不可能相等。今天，我見到了一個(gè)更加簡潔的證明。它就來源于哲牛介紹的那篇文章。這個(gè)證明雖然與前面的證明有些類似，但它的簡潔性足以讓我打算寫下今天這篇4000字的文章?？春笪掖鬄檎鄯?，這真的叫做the power of simple ideas in mathematics。同樣是證明不存在整數(shù)p, q使得p2=2q2，這個(gè)證明