高中數(shù)學(xué)必修5第二章復(fù)習(xí)資料(共21頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上必修五第二章§5-5數(shù)列的概念及表示一、基礎(chǔ)知識(shí)梳理：1 數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)2 數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an1_>_an其中nN*遞減數(shù)列an1_<_an常數(shù)列an1an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|M擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3. 數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法4 數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用

2、一個(gè)公式anf(n)來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式5 已知Sn，則an.二、典型例題講解:題型一由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)【例1】寫(xiě)出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)1，；(4)3,33,333,3 333，.思維啟迪：先觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)，然后歸納出其通項(xiàng)公式，要注意項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，項(xiàng)與前后項(xiàng)之間的關(guān)系解(1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以an2n1.(2)每一項(xiàng)的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，所以an.(3)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含因子(1)n；各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，；而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的

3、數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)項(xiàng)為21，偶數(shù)項(xiàng)為21，所以an(1)n·.也可寫(xiě)為an(4)將數(shù)列各項(xiàng)改寫(xiě)為，分母都是3，而分子分別是101,1021,1031,1041，所以an(10n1)探究提高(1)據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征：分式中分子、分母的特征；相鄰項(xiàng)的變化特征；拆項(xiàng)后的特征；各項(xiàng)符號(hào)特征等，并對(duì)此進(jìn)行歸納、聯(lián)想(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗(yàn)，對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(1)n或(1)n1來(lái)調(diào)整【變式訓(xùn)練1】根據(jù)數(shù)列

4、的前幾項(xiàng)，寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)，；(2)，1，；(3)0,1,0,1，.解(1)各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24，易看出第2,3,4項(xiàng)的分子分別比分母少3.因此把第1項(xiàng)變?yōu)?，原?shù)列可化為，因此an(1)n·.(2)將數(shù)列統(tǒng)一為，對(duì)于分子3,5,7,9，是序號(hào)的2倍加1，可得分子的通項(xiàng)公式為bn2n1，對(duì)于分母2,5,10,17，聯(lián)想到數(shù)列1,4,9,16，即數(shù)列n2，可得分母的通項(xiàng)公式為cnn21，因此可得它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an.(3)an或an或an.題型二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式【例2】(1)已知a11，an12an1，求an；(2)已知a12，an1ann，求

5、an.思維啟迪：(1)可構(gòu)造等比數(shù)列求解；(2)可使用累加法解(1)an12an1，令an1a2(ana)，與an12an1比較可知a1，又a11，a1a2.故an1是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，an12·2n12n，故an2n1.(2)當(dāng)n取1,2,3，n1時(shí)，可得n1個(gè)等式即anan1n1，an1an2n2，a2a11，將其兩邊分別相加，得ana1123(n1)，ana12.探究提高已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解當(dāng)出現(xiàn)anan1m時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)anxan1y時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)anan1f(n)時(shí)，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn)f(n)時(shí)，

6、用累乘法求解【變式訓(xùn)練2】 根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項(xiàng)公式：(1)a11，an13an2；(2)a11，anan1 (n2)；(3)已知數(shù)列an滿足an1an3n2，且a12，求an.解(1)an13an2，an113(an1)，3，數(shù)列an1為等比數(shù)列，公比q3，又a112，an12·3n1，an2·3n11.(2)anan1 (n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)個(gè)式子相乘得ana1····.(3)an1an3n2，anan13n1 (n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 (n2)當(dāng)n1時(shí)，a1

7、×(3×11)2符合公式，ann2.題型三由數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式【例3】已知下面數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，求an的通項(xiàng)公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.思維啟迪：當(dāng)n1時(shí)，由a1S1，求a1；當(dāng)n2時(shí)，由anSnSn1消去Sn，得an1與an的關(guān)系轉(zhuǎn)化成由遞推關(guān)系求通項(xiàng)解(1)a1S1231，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也適合此等式，an4n5.(2)a1S13b，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3nb)(3n1b)2·3n1.當(dāng)b1時(shí)，a1適合此等式當(dāng)b1時(shí)，a1不適合此等式當(dāng)b1時(shí)，an2·3n

8、1；當(dāng)b1時(shí)，an探究提高數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是an當(dāng)n1時(shí)，a1若適合SnSn1，則n1的情況可并入n2時(shí)的通項(xiàng)an；當(dāng)n1時(shí)，a1若不適合SnSn1，則用分段函數(shù)的形式表示【變式訓(xùn)練3】 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n22n1，則其通項(xiàng)公式為_(kāi)答案an解析當(dāng)n1時(shí)，a1S13×122×112；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，顯然當(dāng)n1時(shí)，不滿足上式故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an三、隨堂練習(xí)：1 已知數(shù)列1，則3是它的()A第22項(xiàng) B第23項(xiàng)C第24項(xiàng) D第28項(xiàng)答案B解析觀察知已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是an，令an3，得n23.2在

9、數(shù)列中，等于（ ）A11 B12 C13 D14 3. (2011·四川)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a11，an13Sn(n1)，則a6等于()A3×44 B3×441C45 D451答案A解析當(dāng)n1時(shí)，an13Sn，則an23Sn1，an2an13Sn13Sn3an1，即an24an1，該數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始是以4為公比的等比數(shù)列又a23S13a13，an當(dāng)n6時(shí)，a63×4623×44.4 如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是 ()Aan2(n2n1) Ban3·2nCan3n1 Dan2·3n答案D

10、解析由已知可得：a16，a218，由此可排除A、B、C.5 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2，則a8的值為()A15 B16 C49 D64答案A解析Snn2，a1S11.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2(n1)22n1.an2n1，a82×8115.6 已知數(shù)列an的前4項(xiàng)為1,3,7,15，寫(xiě)出數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)答案an2n1 (nN*)解析1,3,7,15分別加上1，則為2,4,8,16，易知an2n1.7 數(shù)列an滿足a10，an1an2n，則an的通項(xiàng)公式an_.答案n(n1)解析由已知，得an1an2n，故ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)0242(n1)n(

11、n1)8設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1a，an1Sn3n，nN*.(1)設(shè)bnSn3n，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)若an1an，nN*，求a的取值范圍解(1)依題意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)，Sn3n是等比數(shù)列，因此，所求通項(xiàng)公式為bnSn3n(a3)2n1，nN*(2)由知Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n22×3n1(a3)2n2，an1an4×3n1(a3)2n22n2，當(dāng)n2時(shí)，an1an12·n2a30a9，又a2a13>a

12、1.綜上，所求的a的取值范圍是9，)§5-6等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和一、基礎(chǔ)知識(shí)梳理：1 等差數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母_d_表示2 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是ana1(n1)d.3 等差中項(xiàng)：如果A，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)4 等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)d，(n，mN*)(2)若an為等差數(shù)列，且klmn，(k，l，m，nN*)，則akalaman.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也

13、是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列(5)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列5等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，其前n項(xiàng)和Sn或Snna1d.6 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Snn2n.數(shù)列an是等差數(shù)列SnAn2Bn，(A、B為常數(shù))7 等差數(shù)列的最值在等差數(shù)列an中，a1>0，d<0，則Sn存在最_大_值；若a1<0，d>0，則Sn存在最_小_值8 等差數(shù)列的判斷方法：(1)定義法：anan1d (n2)；(2)等差中項(xiàng)法：2an1anan2.9

14、 等差數(shù)列與等差數(shù)列各項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì)(1)am，amk，am2k，am3k，仍是等差數(shù)列，公差為kd.(2)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差數(shù)列(3)S2n1(2n1)an.10 等差數(shù)列與函數(shù)：在d0時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)為d；Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)為，且常數(shù)項(xiàng)為0.二、典型例題講解：題型一等差數(shù)列基本量的計(jì)算【例1】(2011·福建)在等差數(shù)列an中，a11，a33.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an的前k項(xiàng)和Sk35，求k的值思維啟迪：等差數(shù)列基本量的計(jì)算，基本思想就是根據(jù)條件列方程，求等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差解(1)設(shè)等差數(shù)列an

15、的公差為d，則ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.從而an1(n1)×(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2.由Sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7.探究提高(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法【變式1】設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S

16、5S6150 . (1)若S55，求S6及a1；(2)求d的取值范圍解(1)由題意知S63，a6S6S58.所以解得a17，所以S63，a17.(2)方法一S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.因?yàn)殛P(guān)于a1的一元二次方程有解，所以81d28(10d21)d280，解得d2或d2.方法二S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.故(4a19d)2d28.所以d28.故d的取值范圍為d2或d2.題型二等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及綜合應(yīng)用【例2】(1)在等差數(shù)列an中，已知a120，前n項(xiàng)和為Sn，且S10S15，求當(dāng)n

17、取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an4n25，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和思維啟迪：(1)由a120及S10S15可求得d，進(jìn)而求得通項(xiàng)，由通項(xiàng)得到此數(shù)列前多少項(xiàng)為正，或利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求解(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)，判斷出數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始變號(hào)解(1)方法一a120，S10S15，10×20d15×20d，d.an20(n1)×n.a130，即當(dāng)n12時(shí)，an>0，n14時(shí)，an<0，當(dāng)n12或13時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為S13S1212×20×130.方

18、法二同方法一求得d.Sn20n·n2n2.nN*，當(dāng)n12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12S13130.方法三同方法一求得d.又由S10S15得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.當(dāng)n12或13時(shí)，Sn有最大值且最大值為S12S13130.(2)an4n25，an14(n1)25，an1an4d，又a14×12521.所以數(shù)列an是以21為首項(xiàng)，以4為公差的遞增的等差數(shù)列令由得n<6；由得n5，所以n6.即數(shù)列|an|的前6項(xiàng)是以21為首項(xiàng)，公差為4的等差數(shù)列，從第7項(xiàng)起以后各項(xiàng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，而|a7|a74×7253

19、.設(shè)|an|的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn探究提高求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和SnAn2Bn (A、B為常數(shù))看做二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值【變式2】 (2012·湖北)已知等差數(shù)列an前三項(xiàng)的和為3，前三項(xiàng)的積為8.(1)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a2a1d，a3a12d.由題意得解得或所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或

20、an3n7.(2)當(dāng)an3n5時(shí)，a2，a3，a1分別為1，4,2，不成等比數(shù)列；當(dāng)an3n7時(shí)，a2，a3，a1分別為1,2，4，成等比數(shù)列，滿足條件故|an|3n7|記數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和為Sn.當(dāng)n1時(shí)，S1|a1|4；當(dāng)n2時(shí)，S2|a1|a2|5；當(dāng)n3時(shí)，SnS2|a3|a4|an|5(3×37)(3×47)(3n7)5n2n10.當(dāng)n2時(shí)，滿足此式綜上，Sn題型三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【例3】設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，已知前6項(xiàng)和為36，Sn324，最后6項(xiàng)的和為180 (n>6)，求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n.思維啟迪：在等差數(shù)列中，若mnpq，則amanapaq，

21、在涉及數(shù)列前n項(xiàng)和及某些項(xiàng)和的問(wèn)題中常用到此性質(zhì)解由題意可知a1a2a636anan1an2an5180得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216.a1an36.又Sn324，18n324.n18.探究提高本題的解題關(guān)鍵是將等差數(shù)列性質(zhì)mnpqamanapaq與前n項(xiàng)和公式Sn結(jié)合在一起，采用整體思想，簡(jiǎn)化解題過(guò)程【變式3】 (1)設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a17，且滿足an1an2 (nN)，則a1a2a17_.(2)等差數(shù)列an中，a1a2a324，a18a19a2078，則此數(shù)列前20項(xiàng)和等于_答案(1)153(2)180解析(1)an1an2，an為等差數(shù)列an7(n1)&#

22、183;2，a17716×225，S17153.(2)由已知可得(a1a2a3)(a18a19a20)2478(a1a20)(a2a19)(a3a18)54a1a2018S20×20×20180.三、隨堂練習(xí)：1 (2012·江西)設(shè)數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，若a1b17，a3b321，則a5b5_.答案35解析兩個(gè)等差數(shù)列的和數(shù)列仍為等差數(shù)列設(shè)兩等差數(shù)列組成的和數(shù)列為cn，由題意知新數(shù)列仍為等差數(shù)列且c17，c321，則c52c3c12×21735.2 已知兩個(gè)數(shù)列x，a1，a2，a3，y與x，b1，b2，y都是等差數(shù)列，且xy，則的值為_(kāi)

23、答案解析a2a1(yx)，b2b1(yx)，.3 已知等差數(shù)列an中，a3a822，a67，則a5_.答案15解析an為等差數(shù)列，a3a8a5a622，a522a622715.4 (2011·江西)設(shè)an為等差數(shù)列，公差d2，Sn為其前n項(xiàng)和，若S10S11，則a1等于()A18 B20 C22 D24答案B解析因?yàn)镾10S11，所以a110.又因?yàn)閍11a110d，所以a120.5 (2012·遼寧)在等差數(shù)列an中，已知a4a816，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11等于()A58 B88 C143 D176答案B解析S1188.6 (2012·福建)等差數(shù)列an中，a

24、1a510，a47，則數(shù)列an的公差為()A1 B2 C3 D4答案B解析方法一設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意得解得d2.方法二在等差數(shù)列an中，a1a52a310，a35.又a47，公差d752.7 數(shù)列an為等差數(shù)列，a1033，a21，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則S202S10等于()A40 B200 C400 D20答案C解析S202S102×10(a20a10)100d，又a10a28d，3318d，d4，S202S10400.8 已知等差數(shù)列an滿足a1a2a3a1010，則有 ()Aa1a101>0 Ba2a100<0Ca3a990 Da5151答案C解析

25、由題意，得a1a2a3a101×1010.所以a1a101a2a100a3a990.9 在等差數(shù)列an中，a37，a5a26，則a6_.答案13解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由已知，得解得所以a6a15d13.10 (2011·遼寧)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S2S6，a41，則a5_.答案1解析由題意知解得a5a4d1(2)1.11 在數(shù)列an中，若a11，an1an2 (n1)，則該數(shù)列的通項(xiàng)an_.答案2n1解析an1an2(n1)，an為等差數(shù)列，an1(n1)×2，即an2n1.12 (10分)已知等差數(shù)列an的公差是正數(shù)，且a3a712，a4a6

26、4，求它的通項(xiàng)公式解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)閍3a7a4a64，a3a712，所以a3，a7是方程x24x120的兩根因?yàn)閐>0，所以a3<a7.解方程，得由a7a34d，得d2.所以ana3(n3)d62(n3)2n12.§5-7等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和一、基礎(chǔ)知識(shí)梳理：1 等比數(shù)列的定義： 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母_q_表示2 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： 設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)ana1·qn1.3 等比中項(xiàng)： 若G2a·

27、;b_(ab0)，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)4 等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam·qnm，(n，mN*)(2)若an為等比數(shù)列，且klmn (k，l，m，nN*)，則ak·alam·an.(3)若an，bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an(0)，a，an·bn，仍是等比數(shù)列5 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：等比數(shù)列an的公比為q(q0)，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q1時(shí)，Snna1；當(dāng)q1時(shí)，Sn.6 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為_(kāi)qn_.二、典型例題講解：題型一

28、等比數(shù)列的基本量的計(jì)算例1等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知S1，S3，S2成等差數(shù)列(1)求an的公比q；(2)若a1a33，求Sn.思維啟迪：(1)由S1，S3，S2成等差數(shù)列，列方程求出q.(2)由a1a33求出a1，再由通項(xiàng)和公式求出Sn.解(1)依題意有a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)由于a10，故2q2q0.又q0，從而q.(2)由已知可得a1a123.故a14.從而Sn.探究提高等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)可迎刃而解【變式1】 等比數(shù)列an滿足：a1a611，a3·

29、;a4，且公比q(0,1)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn21，求n的值解(1)a3·a4a1·a6，又a1a611，故a1，a6可看作方程x211x0的兩根，又q(0,1)，a1，a6，q5，q，an·n1·n6.(2)由(1)知Sn21，解得n6.題型二等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例2在等比數(shù)列an中，(1)若已知a24，a5，求an；(2)若已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值思維啟迪：注意巧用性質(zhì)，減少計(jì)算如：對(duì)于等比數(shù)列an，若mnpq (m、n、p、qN*)，則am·anap·aq；若mn2p(m，

30、n，pN*)，則am·ana.解(1)設(shè)公比為q，則q3，即q3，q，ana5·qn5n4.(2)a3a4a58，又a3a5a，a8，a42.a2a3a4a5a6a2532.探究提高在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若mnpq，則am·anap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度【變式2】 (1)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a1a2a35，a7a8a910，則a4a5a6等于 ()A5 B7 C6 D4(2)已知Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且S38，S67，則a4a5a9_.答案(1)A(2)解析(1)把a(bǔ)1

31、a2a3，a4a5a6，a7a8a9看成一個(gè)整體，則由題意，知它們分別是一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)，第4項(xiàng)和第7項(xiàng)，這里的第4項(xiàng)剛好是第1項(xiàng)與第7項(xiàng)的等比中項(xiàng)因?yàn)閿?shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以a4a5a65.(2)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，知S3，S6S3，S9S6成等比數(shù)列，即8,78，S97成等比數(shù)列，所以(1)28(S97)解得S97.所以a4a5a9S9S378.題型三等比數(shù)列的判定例3 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2an1，求證：an是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式證明Sn2an1，Sn12an11.an1Sn1Sn(2an11)(2an1)2an12an.an12an，又S12a11a1，a110.又由

32、an12an知an0，2.an是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列an1×2n12n1.三、隨堂練習(xí)：1 (2012·遼寧)已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且aa10，2(anan2)5an1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.答案2n 解析先判斷數(shù)列的項(xiàng)是正數(shù)，再求出公比和首項(xiàng)aa10>0，根據(jù)已知條件得25，解得q2.所以aq8a1q9，所以a12，所以an2n.2 在等比數(shù)列an中，各項(xiàng)均為正值，且a6a10a3a541，a4a85，則a4a8_.答案 解析由a6a10a3a541及a6a10a，a3a5a，得aa41.因?yàn)閍4a85，所以(a4a8)2a2a4a8a412&

33、#215;551.又an>0，所以a4a8.3 已知a，b，c成等比數(shù)列，如果a，x，b和b，y，c都成等差數(shù)列，則_.答案2 解析令a1，b3，c9，則由題意，有x2，y6.此時(shí)2.4 (2011·廣東)已知an是遞增等比數(shù)列，a22，a4a34，則此數(shù)列的公比q_.答案2 解析由a22，a4a34，得方程組q2q20，解得q2或q1.又an是遞增等比數(shù)列，故q2.5 (2012·課標(biāo)全國(guó))已知an為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10等于()A7 B5 C5 D7答案D 解析方法一由題意得或a1a10a1(1q9)7.方法二由解得或或a1a10a1(1q

34、9)7.6 在等比數(shù)列an中，a37，前3項(xiàng)之和S321，則公比q的值為 ()A1 B C1或 D1或答案C解析根據(jù)已知條件得3.整理得2q2q10，解得q1或q.7 在等比數(shù)列an中，a1a230，a3a460，則a7a8_.答案240 解析a1a2a1(1q)30，a3a4a1q2(1q)60，q22，a7a8a1q6(1q)a1(1q)·(q2)330×8240.8 (10分)已知等差數(shù)列an滿足a22，a58.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列bn中，b11，b2b3a4，求bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由已知得.a10，

35、d2.ana1(n1)d2n2.(2)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則由已知得qq2a4，a46，q2或q3.等比數(shù)列bn的各項(xiàng)均為正數(shù)，q2.bn的前n項(xiàng)和Tn2n1.§5-8數(shù)列求和一、基礎(chǔ)知識(shí)梳理：1 等差數(shù)列前n項(xiàng)和Snna1d，推導(dǎo)方法：倒序相加法；等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn推導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減法2 數(shù)列求和的常用方法(1)分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列(2)裂項(xiàng)相消：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過(guò)程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和. (3)錯(cuò)位相減：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和(4)倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)(

36、5)并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.3 常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式：(1)；(2)；(3).二、典型例題講解：題型一分組轉(zhuǎn)化求和例1已知數(shù)列xn的首項(xiàng)x13，通項(xiàng)xn2npnq (nN*，p，q為常數(shù))，且x1，x4，x5成等差數(shù)列求：(1)p，q的值；(2)數(shù)列xn前n項(xiàng)和Sn的公式思維啟迪：第(1)問(wèn)由已知條件列出關(guān)于p、q的方程組求解；第(2)問(wèn)分組后用等差、等比數(shù)列的求和公式求解解(1)由x13，得2pq3，又因?yàn)閤424p4q

37、，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2)由(1)，知xn2nn，所以Sn(2222n)(12n)2n12.探究提高某些數(shù)列的求和是將數(shù)列分解轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，這就要通過(guò)對(duì)數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分析研究，將數(shù)列的通項(xiàng)合理分解轉(zhuǎn)化特別注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論【變式】 求和Sn1.解和式中第k項(xiàng)為ak12.Sn22(111()22n2.題型二錯(cuò)位相減法求和例2設(shè)數(shù)列an滿足a13a232a33n1an，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.思維啟迪：(1)由已知寫(xiě)出前n1項(xiàng)之和

38、，兩式相減(2)bnn·3n的特點(diǎn)是數(shù)列n與3n之積，可用錯(cuò)位相減法解(1)a13a232a33n1an，當(dāng)n2時(shí)，a13a232a33n2an1，得3n1an，an.在中，令n1，得a1，適合an，an.(2)bn，bnn·3n.Sn32×323×33n·3n，3Sn322×333×34n·3n1.得2Snn·3n1(332333n)，即2Snn·3n1，Sn.探究提高解答本題的突破口在于將所給條件式視為數(shù)列3n1an的前n項(xiàng)和，從而利用an與Sn的關(guān)系求出通項(xiàng)3n1an，進(jìn)而求得an；另外乘

39、公比錯(cuò)位相減是數(shù)列求和的一種重要方法，但值得注意的是，這種方法運(yùn)算過(guò)程復(fù)雜，運(yùn)算量大，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)解題過(guò)程的訓(xùn)練，重視運(yùn)算能力的培養(yǎng)【變式2】 (2011·遼寧)已知等差數(shù)列an滿足a20，a6a810.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知條件可得解得.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n.(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，即Sna1，故S11，.所以，當(dāng)n1時(shí)，得a11()1(1).所以Sn.當(dāng)n1時(shí)也成立綜上，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.題型三裂項(xiàng)相消法求和例3在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足San.(1)求Sn的表達(dá)式；(2)設(shè)

40、bn，求bn的前n項(xiàng)和Tn.思維啟迪：第(1)問(wèn)利用anSnSn1 (n2)后，再同除Sn1·Sn轉(zhuǎn)化為的等差數(shù)列即可求Sn.第(2)問(wèn)求出bn的通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)相消求和解(1)San，anSnSn1 (n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由題意Sn1·Sn0，式兩邊同除以Sn1·Sn，得2，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列12(n1)2n1，Sn.(2)又bn，Tnb1b2bn(1)()().探究提高使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法

41、的根源與目的【變式3】 已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，nN*.(1)求證：數(shù)列an是等差數(shù)列；(2)設(shè)bn，Tnb1b2bn，求Tn.(1)證明Sn，nN*，當(dāng)n1時(shí)，a1S1 (an>0)，a11.當(dāng)n2時(shí)，由得2anaanaan1.即(anan1)(anan11)0，anan1>0，anan11(n2)所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)可得ann，Sn，bn.Tnb1b2b3bn11.三、隨堂練習(xí)：1 在等差數(shù)列an中，Sn表示前n項(xiàng)和，a2a818a5，則S9_.答案54解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，a2a818a5，即2a518a5，

42、a56，S99a554.2 等比數(shù)列an的公比q，a81，則S8_.答案255解析由a81，q得a127，S8281255.3 若Sn1234(1)n1·n，則S50_.答案25解析S5012344950(1)×2525.4 (2011·天津)已知an為等差數(shù)列，其公差為2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為an的前n項(xiàng)和，nN*，則S10的值為 ()A110 B90 C90 D110答案D解析a3a12da14，a7a16da112，a9a18da116，又a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，(a112)2(a14)·(a116)，解得a120.S1010×20×10×9×(2)110.5 (2012·大綱全國(guó))已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a55，S515，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為()A. B. C. D.答案A解析利用裂項(xiàng)相消法求和設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d.a55，S515，ana1(n1)dn.，數(shù)列的前100項(xiàng)和為11.6 等差數(shù)列an的通