新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-學(xué)案(知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)匯總及配套習(xí)題)

1、第五章 計(jì)數(shù)原理1計(jì)數(shù)原理- 1 -1.1計(jì)數(shù)原理- 1 -1.2計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用- 9 -2排列- 15 -2.1排列與排列數(shù)- 15 -2.2排列數(shù)公式- 15 -3組合- 23 -3.1組合- 23 -3.2組合數(shù)及其性質(zhì)- 23 -4二項(xiàng)式定理- 31 -4.1二項(xiàng)式定理- 31 -4.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)- 39 -1計(jì)數(shù)原理1.1計(jì)數(shù)原理學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1掌握分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理(重點(diǎn))2能正確選擇分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))1通過(guò)對(duì)計(jì)數(shù)原理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2借助計(jì)數(shù)原理的實(shí)際應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)一個(gè)三

2、層書(shū)架的上層放15本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，中層放16本不同的語(yǔ)文書(shū)，下層放14本不同的物理書(shū)1現(xiàn)某人從中取出一本書(shū)，應(yīng)該如何“完成這件事”？2現(xiàn)從三層書(shū)架上各取一本書(shū)，應(yīng)該如何“完成這件事”？1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理(1)定義：完成一件事，可以有n類(lèi)辦法，在第1類(lèi)辦法中有m1種方法，在第2類(lèi)辦法中有m2種方法，在第n類(lèi)辦法中有mn種方法，那么，完成這件事共有Nm1m2mn種方法(也稱(chēng)“加法原理”)(2)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的理解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中的“完成一件事有n類(lèi)辦法”，是指完成這件事的所有方法可以分為n類(lèi)，即任何一類(lèi)中的任何一種方法都可以完成任務(wù)，n類(lèi)中沒(méi)有相同的方法，且完成這件事的任何一種方法都在某一類(lèi)中

3、2分步乘法計(jì)數(shù)原理(1)定義：完成一件事需要經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟，缺一不可，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么，完成這件事共有Nm1·m2··mn種方法(也稱(chēng)“乘法原理”)(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理的理解分步乘法計(jì)數(shù)原理中的“完成一件事需要n個(gè)步驟”，是指完成這件事的任何一種方法，都需要分成n個(gè)步驟在每一個(gè)步驟中任取一種方法，然后相繼完成這兩個(gè)步驟就能完成這件事，即各個(gè)步驟是相互依存的，每個(gè)步驟都要做完才能完成這件事如何區(qū)分“分類(lèi)”還是 “分步”？提示如果完成這件事，可以分幾種情況，每種情況中任何一種方法都能完成任務(wù)，則是

4、分類(lèi)；而從其中一種情況中任取一種方法只能完成一部分任務(wù)，且只有依次完成各種情況，才能完成這件事，則是分步1思考辨析(正確的畫(huà)“”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)在分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，不同類(lèi)方案中的方法可以相同()(2)在分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，每類(lèi)方案中的方法都能完成這件事()(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中，完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的()(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情若是分n步完成的，那么其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有n步驟都完成后，這件事情才算完成()答案(1)×(2)(3)(4)2完成一項(xiàng)工作，有兩種方法，有5個(gè)人只會(huì)用第一種方法，另外4個(gè)人只會(huì)用第二種

5、方法，從這9個(gè)人中選1人完成這項(xiàng)工作，不同的選法種數(shù)是()A5B4C9D20C由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求解，549(種)故選C3已知集合A1，2，B3，4，5，從集合A、B各取一個(gè)元素分別作為一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位、十位數(shù)字，則可確定的不同兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)6完成這件事可分兩步：第一步，從集合A中任選一個(gè)元素作為個(gè)位數(shù)字，有2種不同的方法；第二步，從集合B中任選一個(gè)元素作為十位數(shù)字， 有3種不同的方法由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，一共有2×36種不同的方法4從甲地到乙地，如果翻過(guò)一座山，上山有2條路，下山有3條路如果不走山路，由山北繞道有2條路，由山南繞道有3條路(1)如果翻山而過(guò)，有多少種不同的走法？(

6、2)如果繞道而行，有多少種不同的走法？(3)從甲地到乙地共有多少種不同的走法？解(1)分兩步：第一步，選一條上山路有2種方法；第二步，選一條下山路有3種方法所以翻山而過(guò)，有2×36種不同的走法(2)分兩類(lèi)：第一類(lèi)：由山北繞道，有2種走法；第二類(lèi)：由山南繞道，有3種走法所以繞道而行，有235種不同的走法(3)分兩類(lèi)：第一類(lèi)：翻山而過(guò)，有6種走法；第二類(lèi)：繞道而行，有5種走法所以從甲地到乙地共有6511種不同的走法疑難問(wèn)題 類(lèi)型1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理【例1】設(shè)有5幅不同的油畫(huà)，2幅不同的國(guó)畫(huà)，7幅不同的水彩畫(huà)從這些油畫(huà)、國(guó)畫(huà)、水彩畫(huà)中只選一幅布置房間，有幾種不同的選法？思路點(diǎn)撥解選一幅畫(huà)布置

7、房間分三類(lèi)計(jì)數(shù)：第一類(lèi)：選油畫(huà)，有5種不同的選法；第二類(lèi)：選國(guó)畫(huà)，有2種不同的選法；第三類(lèi)：選水彩畫(huà)，有7種不同的選法根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有N52714種不同的選法分類(lèi)時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類(lèi)；其次，分類(lèi)時(shí)要注意滿足兩條基本原理：(1)完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類(lèi)；(2)分別屬于不同兩類(lèi)的兩種方法是不同的方法.,前者保證完成這件事的方法不遺漏，后者保證不重復(fù)，即分類(lèi)要做到不重不漏.跟進(jìn)訓(xùn)練1某校高三共有三個(gè)班，各班人數(shù)如下表：男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)從三個(gè)班

8、中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法？(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng)，有多少種不同的選法？解(1)從每個(gè)班選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席，共有3類(lèi)不同的方案：第1類(lèi)，從高三(1)班中選出1名學(xué)生，有50種不同的選法；第2類(lèi)，從高三(2)班中選出1名學(xué)生，有60種不同的選法；第3類(lèi)，從高三(3)班中選出1名學(xué)生，有55種不同的選法根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，從三個(gè)班中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席，共有506055165(種)不同的選法(2)從高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng)，共有3類(lèi)不同的方案：第1類(lèi)，從高三

9、(1)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第2類(lèi)，從高三(2)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第3類(lèi)，從高三(3)班女生中選出1名學(xué)生，有20種不同的選法根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，從高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng)，共有30302080(種)不同的選法 類(lèi)型2分步乘法計(jì)數(shù)原理【例2】某大學(xué)食堂備有6種葷菜，5種素菜，3種湯現(xiàn)要配成一葷一素一湯的套餐，問(wèn)可以配制成多少種不同的品種？思路點(diǎn)撥解完成這件事是配制套餐，選一個(gè)葷菜，選一個(gè)素菜，選一個(gè)湯，因此需分三步完成此事，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：配制成不同的套餐品種共有6×5×

10、;390種解決分步乘法計(jì)數(shù)問(wèn)題的思考過(guò)程是(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，怎樣才算是完成這件事；(2)完成這件事如何進(jìn)行分步，每一步中有多少種方法；(3)完成這件事共有多少種方法.跟進(jìn)訓(xùn)練2將3封信投到4個(gè)郵筒，共有多少種投法？解完成這件事是“把3封信投完”，需分三步完成，而每一封有4種投法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有4×4×44364種投法 類(lèi)型3兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用【例3】已知集合M1，2，3，N4，5，6，7，從兩個(gè)集合中任取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中，第一、二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A18B16 C14D10思路點(diǎn)撥C完成這件事是確定第一、

11、二象限內(nèi)的總的坐標(biāo)，確定點(diǎn)的坐標(biāo)可分兩步完成，一是先確定橫坐標(biāo)，二是確定縱坐標(biāo)；而哪個(gè)集合中的元素作橫坐標(biāo)，哪個(gè)集合中的元素作縱坐標(biāo)，需要分兩類(lèi)完成因此，完成此事可分兩類(lèi)辦法第一類(lèi)，以集合M中的元素作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，集合N中的元素作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)在集合M中任取一個(gè)元素，有3種不同的方法，而適合題意的點(diǎn)在第一、二象限，必須且只需從集合N中的5，6中取1個(gè)，有2種不同的取法由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有3×26個(gè)不同的點(diǎn)第二類(lèi)，以集合N中的元素作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，集合M中的元素作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)在集合N中任取一個(gè)元素，有4種不同的方法，而適合題意的點(diǎn)在第一、二象限，必須且只需從集合M中的1，3中取1個(gè)，有2

12、種不同的取法由分步乘法計(jì)數(shù)原理有4×28個(gè)不同的點(diǎn)由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，得第一、二象限內(nèi)不同的點(diǎn)共有6814個(gè)應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問(wèn)題的方法(1)分清是“分類(lèi)”還是“分步”；(2)清楚“分類(lèi)”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么；(3)“分類(lèi)”時(shí)，要遵循“不重、不漏”的原則；在“分步”時(shí)，要正確設(shè)計(jì)“分步”的程序，注意“步”與“步”之間的連續(xù)性.跟進(jìn)訓(xùn)練3現(xiàn)有3名醫(yī)生、5名護(hù)士、2名麻醉師(1)從中選派1名去參加外出學(xué)習(xí)，有多少種不同的選法？(2)從這些人中選出1名醫(yī)生、1名護(hù)士和1名麻醉師組成1個(gè)醫(yī)療小組，有多少種不同的選法？解(1)分三類(lèi)：第一類(lèi)，選出的是醫(yī)生，有3種選法；第二類(lèi)，選出的

13、是護(hù)士，有5種選法；第三類(lèi)，選出的是麻醉師，有2種選法根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有35210(種)選法(2)分三步：第一步，選1名醫(yī)生，有3種選法；第二步，選1名護(hù)士，有5種選法；第三步，選1名麻醉師，有2種選法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3×5×230(種)選法1加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類(lèi)”問(wèn)題，完成一件事要分為若干類(lèi)，各類(lèi)中的各種方法相互獨(dú)立，用任何一類(lèi)中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事2乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問(wèn)題，完成一件事要分為若干個(gè)步驟，每個(gè)步驟都完成了，才算完成一個(gè)事件，注意各步驟間的連續(xù)性即不漏步驟也不重步驟1十字路口來(lái)往的車(chē)輛，如果不允許回頭，則不同的

14、行車(chē)路線有()A24種B16種C12種D10種C完成該任務(wù)可分為四類(lèi)，從每一個(gè)方向的入口進(jìn)入都可作為一類(lèi)，如圖，從第1個(gè)入口進(jìn)入時(shí)，有3種行車(chē)路線；同理，從第2個(gè)，第3個(gè)，第4個(gè)入口進(jìn)入時(shí)，都分別有3種行車(chē)路線，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得共有333312種不同的行車(chē)路線，故選C 2教學(xué)大樓共有5層，每層均有兩個(gè)樓梯，由一樓到五樓的走法種數(shù)為()A10B25C52D24D根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的走法為N24(種)3現(xiàn)有4名同學(xué)去聽(tīng)同時(shí)進(jìn)行的3個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同選法的種數(shù)是()A81B64C48D24A每個(gè)同學(xué)都有3種選擇，所以不同選法共有3481(種)，故選A

15、4從甲地到乙地，可以乘飛機(jī)，也可以乘火車(chē)，還可以乘長(zhǎng)途汽車(chē)，每天飛機(jī)有2班，火車(chē)有4班，長(zhǎng)途汽車(chē)有10班，一天中，乘坐這些交通工具，從甲地到乙地共有_種方法16利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有241016種方法5從1到200這200個(gè)自然數(shù)中，各個(gè)數(shù)位上都不含數(shù)字8的共有多少個(gè)？解應(yīng)分三類(lèi)來(lái)解決該問(wèn)題第一類(lèi)，一位數(shù)中符合要求的數(shù)有8個(gè)第二類(lèi)，兩位數(shù)中，十位上的數(shù)字有8種選法，個(gè)位上的數(shù)字有9種選法，故兩位數(shù)中符合要求的數(shù)有8×972個(gè)第三類(lèi)，三位數(shù)中百位上的數(shù)字為1，十位和個(gè)位上的數(shù)字都有9種選法，故三位數(shù)中，百位上的數(shù)字為1的符合要求的數(shù)有9×981個(gè)；三位數(shù)中百位上的數(shù)字為2

16、的只有200符合要求所以三位數(shù)中符合要求的數(shù)有81182個(gè)由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，符合要求的數(shù)共有87282162個(gè)1.2計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1進(jìn)一步掌握分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(重點(diǎn))2會(huì)應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問(wèn)題(難點(diǎn))通過(guò)計(jì)數(shù)原理的實(shí)際應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)1若集合Aa，b，c，集合A所有子集的個(gè)數(shù)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理如何來(lái)求？2對(duì)于問(wèn)題1中，用分步計(jì)數(shù)原理如何來(lái)求？3問(wèn)題1、2的相同點(diǎn)是什么？不同點(diǎn)是什么？?jī)蓚€(gè)計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別：原理分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)完成一件事不同點(diǎn)與分類(lèi)有關(guān)與分步有關(guān)每類(lèi)方法都能完成這件事，它們是相互獨(dú)立的，且每一次

17、得到的都是最后結(jié)果，只需一種方法就可以完成這件事每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不可能獨(dú)立地完成這件事，缺少任何一步都不可能完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了，才能完成這件事各類(lèi)方法之間是互斥的，并列的，獨(dú)立的各步之間是有關(guān)聯(lián)的，不獨(dú)立的1思考辨析(正確的畫(huà)“”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)一項(xiàng)，共有81種報(bào)名方法()(2)4名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍，冠軍不并列，共有64種可能的結(jié)果()(3)由1，2，3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有6個(gè)()(4)由1，2，3組成的含有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有27個(gè)()答案(1)(2)(3)(4)2有不同的語(yǔ)文

18、書(shū)9本，不同的數(shù)學(xué)書(shū)7本，不同的英語(yǔ)書(shū)5本，從中選出不屬于同一學(xué)科的書(shū)2本，則不同的選法有()A21種B315種C143種D153種C從不同種類(lèi)的物體中按要求選取，是應(yīng)用計(jì)數(shù)原理的典型題型，解答時(shí)通常按先分類(lèi)再分步的程序進(jìn)行本題可分三類(lèi)，即第一類(lèi)不選數(shù)學(xué)，有5×945種方法；第二類(lèi)不選英語(yǔ)，有9×763種方法；第三類(lèi)不選語(yǔ)文，有7×535種方法，于是所有選法N456335143種3如圖AC有_種不同走法6AC的走法可分兩類(lèi)：第一類(lèi)：AC，有2種不同走法；第二類(lèi)：ABC，有2×24種不同走法根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，得共有246種不同走法4某校學(xué)生會(huì)由高一年級(jí)

19、5人，高二年級(jí)6人，高三年級(jí)4人組成(1)選其中一人為學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法？(2)若每年級(jí)學(xué)生會(huì)選1人為校學(xué)生會(huì)常委成員，有多少種不同的選法？ (3)若要從學(xué)生會(huì)中選出不同年級(jí)的兩人分別參加市里組織的兩項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？解(1)分三類(lèi)：第一類(lèi)，從高一年級(jí)選一人，有5種選擇；第二類(lèi)，從高二年級(jí)選一人，有6種選擇；第三類(lèi)，從高三年級(jí)選一人，有4種選擇由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有56415種選法(2)分三步完成：第一步，從高一年級(jí)選一人，有5種選擇；第二步，從高二年級(jí)選一人，有6種選擇；第三步，從高三年級(jí)選一人，有4種選擇由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×6×4120種

20、選法(3)分三類(lèi)：高一、高二各一人，共有5×630種選法；高一、高三各一人，共有5×420種選法；高二、高三各一人，共有6×424種選法由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有30202474種選法疑難問(wèn)題 類(lèi)型1與數(shù)字有關(guān)的計(jì)數(shù)問(wèn)題【例1】從0到9十個(gè)數(shù)字中選出4個(gè)組成一個(gè)四位數(shù)，問(wèn)組成的數(shù)字不重復(fù)的四位偶數(shù)共有多少個(gè)？思路點(diǎn)撥本題就要根據(jù)0在末位和0不在末位的情況來(lái)解解0在末位時(shí)，十、百、千分別有9、8、7種安排方法，共有9×8×7504個(gè)；0不在末位時(shí)，2，4，6，8中的一個(gè)在末位，有4種排法，首位有8種(0除外)，其余兩位各有8、7種排法共有4

21、5;8×8×71 792個(gè)由以上知，共有符合題意的偶數(shù)為1 7925042 296個(gè)1對(duì)于數(shù)字問(wèn)題的計(jì)數(shù)：一般按特殊位置(末位或首位)由誰(shuí)占分類(lèi)，每類(lèi)中再按特殊位置(或元素)優(yōu)先的方法分步來(lái)計(jì)數(shù)；但當(dāng)分類(lèi)較多時(shí)，可用間接法2注意合理的畫(huà)出示意圖，直觀的展出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)跟進(jìn)訓(xùn)練1將本例問(wèn)題改為：數(shù)字不重復(fù)的四位奇數(shù)有多少個(gè)？解法一：無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有9×9×8×74 536個(gè)，由本例知無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有2 296個(gè)，所以數(shù)字不重復(fù)的四位奇數(shù)有4 5362 2962 240個(gè)法二：按末位是1，3，5，7，9分五類(lèi)計(jì)數(shù)每一類(lèi)都有8×8

22、×7448個(gè)，所以共有5×4482 240個(gè)數(shù)字不重復(fù)的四位奇數(shù) 類(lèi)型2與幾何有關(guān)的計(jì)數(shù)問(wèn)題【例2】如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱(chēng)此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是()A60B48C36D24B長(zhǎng)方體的6個(gè)表面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6×636，另含4個(gè)頂點(diǎn)的6個(gè)面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6×212，故符合條件的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是361248兩個(gè)計(jì)數(shù)原理在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)常采用的方法跟進(jìn)訓(xùn)練2如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八

23、邊形有公共邊的三角形有_個(gè)(用數(shù)字作答)40把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類(lèi)：第一類(lèi)，有一條公共邊的三角形共有8×432(個(gè))第二類(lèi)，有兩條公共邊的三角形共有8(個(gè))由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，共有32840(個(gè)) 類(lèi)型3涂色(種植)問(wèn)題【例3】用5種不同的顏色給圖中所給出的四個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，若要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色，那么共有多少種不同的涂色方法？思路點(diǎn)撥按1，2，3，4順序涂色時(shí)，2，3區(qū)域顏色的異同對(duì)4有影響，所以應(yīng)注意分類(lèi)討論解完成該件事可分步進(jìn)行涂區(qū)域1，有5種顏色可選涂區(qū)域2，有4種顏色可選涂區(qū)域3，可先分類(lèi)：若區(qū)域3的顏色與2相同，則區(qū)域4有4種顏

24、色可選若區(qū)域3的顏色與2不同，則區(qū)域3有3種顏色可選，此時(shí)區(qū)域4有3種顏色可選所以共有5×4×(1×43×3)260種涂色方法涂色(種植)問(wèn)題的一般思路(1)為便于分析問(wèn)題，應(yīng)先給區(qū)域(種植的品種)標(biāo)上相應(yīng)序號(hào).(2)按涂色(種植)的順序分步或按顏色(種植的品種)恰當(dāng)選取情況分類(lèi).(3)利用兩個(gè)原理計(jì)數(shù).跟進(jìn)訓(xùn)練3從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，共有多少種不同的種植方法？解黃瓜有3種種植方法，剩下的兩塊地，一塊有3種種植方法，一塊有2種種植方法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的種植方法有3

25、5;3×218種1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的共同點(diǎn)就是將“完成一件事”分解成若干個(gè)事件來(lái)完成；不同點(diǎn)是一個(gè)與分類(lèi)有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)2在解決組數(shù)問(wèn)題，選(抽)問(wèn)題，涂色(種植)問(wèn)題時(shí)，一定要分清完成一件事是做什么？是分類(lèi)還是分步？為何分類(lèi)、分步等問(wèn)題1一生產(chǎn)過(guò)程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有()A24種B36種C48種D72種B分兩類(lèi)：(1)第一道工序安排甲時(shí)有1×1×4×312種；(2)第一道工序不安排甲時(shí)

26、有1×2×4×324種共有36種2如圖所示，在A、B間有四個(gè)焊接點(diǎn)，若焊接點(diǎn)脫落，則可能導(dǎo)致電路不通，今發(fā)現(xiàn)A、B之間線路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況的種數(shù)有()A16種B15種C14種D13種D四個(gè)焊點(diǎn)共有24種情況，其中使線路通的情況有：1、4都通，2和3至少有一個(gè)通時(shí)線路才通共有3種可能故不通的情況有24313(種)可能3“漸升數(shù)”是指每個(gè)數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù)(如1 458)，若把四位“漸升數(shù)”按從小到大的順序排列，則第30個(gè)數(shù)為_(kāi)1 359漸升數(shù)由小到大排列，形如12××的漸升數(shù)共有：65432121(個(gè))，如123×

27、，個(gè)位可從4，5，6，7，8，9六個(gè)數(shù)字選一個(gè)，有6種等；形如134×的漸升數(shù)共有5個(gè)；形如135×的漸升數(shù)共有4個(gè)，故此時(shí)共有215430個(gè)，因此從小到大的漸升數(shù)的第30個(gè)必為1 3594圓周上有2n個(gè)等分點(diǎn)(n>1)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)個(gè)2n(n1)2n個(gè)等分點(diǎn)可以組成n條直徑，對(duì)每一條直徑，其余的(2n2)個(gè)等分點(diǎn)均可作為直角頂點(diǎn)，因此可以組成的直角三角形共有2n(n1)個(gè)5某藝術(shù)小組有9人，每人至少會(huì)鋼琴和小號(hào)中的1種樂(lè)器，其中7人會(huì)鋼琴，3人會(huì)小號(hào)，從中選出會(huì)鋼琴和會(huì)小號(hào)的各1人，有多少種不同的選法？解由題意知，在藝術(shù)小組的9人中，有且

28、僅有1人既會(huì)鋼琴又會(huì)小號(hào)(稱(chēng)為“多面手”)，只會(huì)鋼琴的有6人，只會(huì)小號(hào)的有2人按“多面手”的選法分為兩類(lèi)：若“多面手”入選，則有628種選法；若“多面手”不入選，則有6×212種選法因此選法共有81220種2排列2.1排列與排列數(shù)2.2排列數(shù)公式學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1了解排列及排列數(shù)的概念(重點(diǎn))2掌握排列數(shù)公式(難點(diǎn))1通過(guò)排列及排列數(shù)的概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2借助排列數(shù)公式的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)1從1，2，3三個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做除法，用枚舉法，寫(xiě)出所有不同的結(jié)果2在問(wèn)題1中，與是不同結(jié)果嗎？這說(shuō)明什么問(wèn)題？1排列一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(mn，且m，nN)

29、個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列我們把有關(guān)求排列的個(gè)數(shù)的問(wèn)題叫作排列問(wèn)題2排列數(shù)及排列數(shù)公式排列數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(mn，且m，nN)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)排列數(shù)表示法A排列數(shù)公式乘積式An(n1)(n2) (nm1)階乘式A性質(zhì)A10！1備注n，mN，mn兩個(gè)排列相同的條件是什么？提示這兩個(gè)排列的元素完全相同，且元素排列的順序也相同1思考辨析(正確的畫(huà)“”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)1，2，3與3，2，1是同一個(gè)排列()(2)求集合a，b，c二元子集個(gè)數(shù)是一個(gè)排列問(wèn)題()(3)An(n1)

30、(n2)(nm)()(4)A中的x滿足x()答案(1)×(2)×(3)×(4)2從4名學(xué)生中選出2名學(xué)生當(dāng)正、副班長(zhǎng)，共有選法種數(shù)為()A4B6C8D12D共有A4×312種選法3將3張電影票分給10人中的3人，每人1張，共有_種不同的分法720問(wèn)題相當(dāng)于從10張電影票中選出3張排列起來(lái)，共有A10×9×8720種分法4解方程：3A2A6A解由排列數(shù)公式得：3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)，x3，3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，即3x217x100，解得x5或x，x3，且xN*，原方程的解為x5疑難問(wèn)題 類(lèi)型1排列

31、的定義【例1】判斷下列問(wèn)題是否為排列問(wèn)題(1)選2個(gè)小組分別去種樹(shù)和種菜，共有多少種選法；(2)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組，共有多少選法；(3)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員、生活委員，共有多少種選法；(4)某班40名學(xué)生在假期相互通信，共需寫(xiě)多少封信思路點(diǎn)撥解決本題的關(guān)鍵是要明確排列的定義，看選出的元素在安排時(shí)是否與順序有關(guān)，若與順序有關(guān)，則是排列問(wèn)題，否則就不是排列問(wèn)題解(1)中種樹(shù)和種菜是不同的，存在順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題；(2)中不存在順序問(wèn)題，不屬于排列問(wèn)題；(3)中每個(gè)人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長(zhǎng)與甲當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題；(4)中A給B寫(xiě)信與B給A寫(xiě)信是不同的

32、，所以存在著順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題所以在上述各題中(1)、(3)、(4)屬于排列問(wèn)題1保證是排列問(wèn)題應(yīng)滿足兩個(gè)條件：(1)元素互異；(2)元素有序2判斷一個(gè)具體問(wèn)題是否為排列問(wèn)題的思路跟進(jìn)訓(xùn)練1判斷下列哪些問(wèn)題是排列問(wèn)題：(1)從10名學(xué)生中抽出2名學(xué)生開(kāi)會(huì)，共有多少種抽法；(2)從2，3，5，7，11中任取兩個(gè)數(shù)相除，共有多少種不同的商；(3)以圓上的10個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)作弦，可以得到多少條弦解(1)選出同學(xué)甲、乙與乙、甲開(kāi)會(huì)是同一回事，所以與兩名學(xué)生的先后順序無(wú)關(guān)，所以(1)不是排列問(wèn)題(2)由于2÷33÷2，所以本題與兩數(shù)的順序有關(guān)，是排列問(wèn)題(3)因?yàn)橄褹B與弦BA是同一

33、條弦，所以本題不是排列問(wèn)題 類(lèi)型2排列數(shù)的計(jì)算或化簡(jiǎn)【例2】計(jì)算或化簡(jiǎn)下列各式：(1)A；(2)A；(3)；(4)1！2·2！n·n！；(5)思路點(diǎn)撥利用排列數(shù)公式和階乘的定義進(jìn)行計(jì)算，并考慮排列數(shù)之間的關(guān)系，化簡(jiǎn)可減少運(yùn)算量解(1)A15×14210；(2)A8！8×7×6×5×4×3×2×140 320；(3)·(nm)！··(nm)！·1；(4)1！2·2！n·n！(2！1)(3！2！)(n1)！n！(n1)！1；(5)，11排列

34、數(shù)的第一個(gè)公式An(n1)(nm1)適用于具體計(jì)算以及解當(dāng)m較小時(shí)含有排列數(shù)的方程和不等式，在運(yùn)用該公式時(shí)要注意它的特點(diǎn)2排列數(shù)的第二個(gè)公式A，適用于與排列數(shù)有關(guān)的證明，解不等式等，在具體運(yùn)用時(shí)，則應(yīng)注意先提取公因式，再計(jì)算，同時(shí)還要注意隱含條件“mn且m，nN”的運(yùn)用3常見(jiàn)技巧(1)n·n！(n1)！n??；(2)；(3)AnA跟進(jìn)訓(xùn)練2(1)計(jì)算；(2)已知A5×6×7××2 020，求m，n的值解(1)原式4×141244(2)5×6×7××2 020中最大的數(shù)為2 020，共有2 0205

35、12 016個(gè)數(shù)，5×6×7××2 020A，m12 016，n2 020，m2 017，n2 020 類(lèi)型3簡(jiǎn)單的排列問(wèn)題探究問(wèn)題16個(gè)人站成一排照相，問(wèn)有多少種不同的排法？提示共有A6×5×4×3×2×1720種26個(gè)人站成前后兩排照相，要求前排2人，后排4人，問(wèn)有多少種不同的排法？提示共有A×A(6×5)×(4×3×2×1)720種36個(gè)人站成前后兩排照相，要求前排3人，后排3人，問(wèn)有多少種不同的排法？提示共有A×A(6×

36、;5×4)×(3×2×1)720種4通過(guò)前面的探究，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？提示本題實(shí)際上和6個(gè)人站成一排照相共有多少種不同排法的問(wèn)題完全相同，所以不同的排法總數(shù)為A720種因此“分排”問(wèn)題可“直排”處理【例3】(1)寫(xiě)出從4個(gè)不同元素a、b、c、d中任取3個(gè)元素的所有排列，并指出有多少種不同的排列？(2)從3、5、7、8中任意選兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，能構(gòu)成多少個(gè)不同的對(duì)數(shù)值？思路點(diǎn)撥(1)依據(jù)排列的定義，用枚舉法求解；(2)看能不能把問(wèn)題歸結(jié)為排列問(wèn)題，若能，進(jìn)一步確定m與n的取值解(1)由題意作樹(shù)形圖，如下故所有的排列為abc，abd，acb，ac

37、d，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb共有A4×3×224種(2)選出的任意兩個(gè)數(shù)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)時(shí)，構(gòu)成的對(duì)數(shù)值是不一樣的，因此是一個(gè)有序問(wèn)題，應(yīng)用排列去解故能構(gòu)成A4×312個(gè)不同的對(duì)數(shù)值解決簡(jiǎn)單的排列問(wèn)題的方法(1)要看能不能把問(wèn)題歸結(jié)為排列問(wèn)題，也就是判斷問(wèn)題是否與順序有關(guān)，如果與順序有關(guān)，就可歸結(jié)為排列問(wèn)題來(lái)解；如果與順序無(wú)關(guān)，則不能用排列問(wèn)題求解.(2)分析問(wèn)題中n個(gè)不同元素指的是什么，m個(gè)元素指的是什么，從n個(gè)不同元素中

38、每次取出m個(gè)元素的每一個(gè)排列對(duì)應(yīng)著問(wèn)題里的什么事件，最后再根據(jù)排列數(shù)公式An(n1)(n2)(nm1)進(jìn)行計(jì)算.跟進(jìn)訓(xùn)練3若將本例第(2)小題中的“3、5、7、8”改為“2、3、4、9”，能構(gòu)成多少個(gè)不同的對(duì)數(shù)值？解由于log23log49，log32log94，log24log39，log42log93，故能構(gòu)成A44×348個(gè)不同的對(duì)數(shù)值1排列的定義中包括兩個(gè)基本內(nèi)容：一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”2有關(guān)排列數(shù)公式的應(yīng)用，應(yīng)注意選擇哪種形式的公式，還要注意其隱含條件1()AB2 021 CDA 2下列問(wèn)題不是排列問(wèn)題的是()A從2，3，5，7，11中任取兩數(shù)相乘，可得多

39、少個(gè)不同的積B從2，3，5，7，11中任取兩數(shù)相減，可得多少個(gè)不同的差C某班共有50名學(xué)生，現(xiàn)要投票選舉正副班長(zhǎng)各一名，共有多少種選舉結(jié)果D某商場(chǎng)有四個(gè)大門(mén)，若從一個(gè)門(mén)進(jìn)入，購(gòu)買(mǎi)商品后再?gòu)牧硪粋€(gè)大門(mén)出來(lái)，不同的出入方式共有多少種A只有A中兩數(shù)相乘與順序無(wú)關(guān)不是排列問(wèn)題，其余都與順序有關(guān)，屬于排列問(wèn)題3從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做除法，則不同的商有()A12個(gè)B10個(gè)C8個(gè)D6個(gè)B，不同的商有A24×32104已知A7A，則n_7A7A，n(n1)7(n4)(n5)，n2，n42，且nN，n7或n(舍)，n75寫(xiě)出A，B，C，D四名同學(xué)站成一排照相，A不站在兩端的所有可能站法

40、解如圖所示的樹(shù)形圖：故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12種3組合3.1組合3.2組合數(shù)及其性質(zhì)學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1理解組合及組合數(shù)的定義(重點(diǎn))2掌握組合數(shù)公式，并會(huì)應(yīng)用求值(難點(diǎn))1通過(guò)組合及組合數(shù)的概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2借助組合數(shù)公式的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)1從1，2，3，5四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)數(shù)作加法，試寫(xiě)出所有不同的結(jié)果2問(wèn)題1中12與21是不同結(jié)果嗎？這說(shuō)明什么問(wèn)題？1組合及組合數(shù)的概念(1)組合：一般地，從n個(gè)不同元素中，任取m(mn，且m，nN)個(gè)元素為一

41、組，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合(2)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(mn，且m，nN)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫作從n個(gè)不同元素中取出m(mn，且m，nN)個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)C表示2組合數(shù)公式及其性質(zhì)公式CC性質(zhì)性質(zhì)1CC性質(zhì)2CCC規(guī)定C1從組合數(shù)的定義這個(gè)角度，怎樣理解組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)？提示(1)對(duì)CC的理解：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后，剩下(nm)個(gè)元素，也就是說(shuō)，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的每一個(gè)組合，都對(duì)應(yīng)于從n個(gè)不同元素中取(nm)個(gè)元素的唯一的一個(gè)組合，反過(guò)來(lái)也如此，因此有CC(2)對(duì)CCC的理解：設(shè)a是(n1)個(gè)元素中的一個(gè)元素，從(n1)個(gè)元素取m個(gè)

42、元素的組合可分為不含元素a和含元素a兩類(lèi)不含a這一類(lèi)，從(n1)個(gè)元素中取m個(gè)元素的組合，相當(dāng)于從n個(gè)元素中取m個(gè)元素的組合，組合數(shù)為C；含a的這一類(lèi)，a必被取出，從(n1)個(gè)元素中取m個(gè)元素的組合，相當(dāng)于從其余的n個(gè)元素中取(m1)個(gè)元素的組合，組合數(shù)為C根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，有CCC1思考辨析(正確的畫(huà)“”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)元素相同的兩個(gè)組合即為同一組合()(2)若組合式CC，則xm成立()(3)CCC()(4)kCnC()答案(1)(2)×(3)(4)2某新農(nóng)村社區(qū)共包括8個(gè)自然村，且這些村莊分布零散，沒(méi)有任何三個(gè)村莊在一條直線上，現(xiàn)要在該社區(qū)內(nèi)建造“村村通”工

43、程，共需建公路的條數(shù)為()A4B8C28D64C共需要建C28條公路3CC_36CC1521364已知2CCC，求C的值解由2CCC，得2·，整理得n221n980，解得n7或n14，又n12，所以n14，于是CC91疑難問(wèn)題 類(lèi)型1組合概念【例1】判斷下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，并求出相應(yīng)的排列數(shù)或組合數(shù)(1)10個(gè)人相互寫(xiě)一封信，共寫(xiě)出了多少封信？(2)10個(gè)人相互通一次電話，共通了多少次電話？(3)10支球隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽(每?jī)申?duì)比賽一次)，這次比賽需要進(jìn)行多少場(chǎng)次？(4)從10個(gè)人中選3人去開(kāi)會(huì)，有多少種選法？(5)從10個(gè)人中選出3人擔(dān)任3個(gè)不同學(xué)科的科代表，有多少種

44、選法？解(1)是排列問(wèn)題，因?yàn)榘l(fā)信人與收信人是有順序區(qū)別的，排列數(shù)為A90(2)是組合問(wèn)題，因?yàn)榧着c乙通一次電話，也就是乙與甲通一次電話，沒(méi)有順序區(qū)別，組合數(shù)為C45(3)是組合問(wèn)題，因?yàn)槊績(jī)芍蜿?duì)比賽一次，沒(méi)有順序的區(qū)別，組合數(shù)為C45(4)是組合問(wèn)題，因?yàn)檫x出的3個(gè)人之間沒(méi)有順序的區(qū)別，組合數(shù)為C120(5)是排列問(wèn)題，因?yàn)?個(gè)人擔(dān)任哪一科的科代表是有區(qū)別的，排列數(shù)為A720區(qū)分排列與組合的方法是看事件是否有順序，而區(qū)分事件有無(wú)順序的方法是：把問(wèn)題的一個(gè)選擇結(jié)果寫(xiě)出來(lái)，然后交換這個(gè)結(jié)果中任意兩個(gè)元素的位置，若對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，即說(shuō)明有順序，是排列問(wèn)題；若對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，即說(shuō)明無(wú)順序，是組合問(wèn)

45、題.跟進(jìn)訓(xùn)練1給出下列問(wèn)題：(1)在北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線上，有多少種不同的飛機(jī)票？(2)在北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線上，有多少種不同的飛機(jī)票價(jià)？(往返票價(jià)相同)(3)從全班40人中選出3人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員三個(gè)職務(wù)，有多少種不同的選法？(4)從全班40人中選出3人參加某項(xiàng)勞動(dòng)，有多少種不同的選法？在上述問(wèn)題中，哪些是組合問(wèn)題？哪些是排列問(wèn)題？解(1)飛機(jī)票與起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)，有順序，是排列問(wèn)題(2)票價(jià)與起點(diǎn)、終點(diǎn)無(wú)關(guān)，沒(méi)有順序，是組合問(wèn)題(3)3人分別擔(dān)任三個(gè)不同職務(wù)，有順序，是排列問(wèn)題(4)3人參加某項(xiàng)相同勞動(dòng)，沒(méi)有順序，是組合問(wèn)題 類(lèi)型2組合數(shù)

46、公式及性質(zhì)的應(yīng)用【例2】(1)計(jì)算：3C2C；CC；CCC(2)證明：CC2CC解(1)3C2C3× 2×1489.5n10.5，nN*，n10，CCCC466法一：原式CCCCCCCC330法二：原式CCCCCCCCCCCCC330(2)證明：法一：左邊(nm)(nm1)m(m1)2(m1)(nm1)(n2)(n1)C右邊，原結(jié)論得證法二：利用公式CCC推得左邊(CC)(CC)CCC右邊1組合數(shù)的兩個(gè)公式的應(yīng)用范圍C一般偏向于具體組合數(shù)的計(jì)算；公式C常用于有關(guān)組合數(shù)的恒等式的證明2關(guān)于組合數(shù)的性質(zhì)1(CC)(1)該性質(zhì)反映了組合數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，即從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素

47、的每一個(gè)組合，都對(duì)應(yīng)著剩下的nm個(gè)元素的一個(gè)組合，反過(guò)來(lái)也一樣，這是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系(2)當(dāng)m時(shí)，通常不直接計(jì)算C，而改為計(jì)算C3關(guān)于組合數(shù)的性質(zhì)2(CCC)(1)形式特點(diǎn)：公式的左端下標(biāo)為n1，右端下標(biāo)為n，相差1，上標(biāo)左端與右端的一個(gè)相同，右端的另一個(gè)比它們少1；(2)作用：常用于有關(guān)組合數(shù)式子的化簡(jiǎn)或組合數(shù)恒等式的證明應(yīng)用時(shí)要注意公式的正用、逆用和變形用正用是將一個(gè)組合數(shù)拆成兩個(gè)，逆用則是“合二為一”，使用變形CCC，為某些項(xiàng)前后抵消提供了方便，在解題中要注意靈活應(yīng)用跟進(jìn)訓(xùn)練2求值：CC解解得4n5又因?yàn)閚N，所以n4或n5當(dāng)n4時(shí)，原式CC5；當(dāng)n5時(shí)，原式CC163求證：CC證明因?yàn)镃

48、，C·，所以CC4計(jì)算：(1)CC·C；(2)C·C解(1)原式CC×1564 9505 006(2)原式C·C(n1)nn2n 類(lèi)型3簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題【例3】現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？(2)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？思路點(diǎn)撥第(1)小題選2名教師不考慮男女，實(shí)質(zhì)上是從10個(gè)不同的元素中取出2個(gè)的組合問(wèn)題，可用直接法求解第(2)小題必須選男、女教師各2名，才算完成所做的事，因此需要分兩步進(jìn)行，先從6名男教師中選2名，再?gòu)?名女教師中選2名，可用直

49、接法求解解(1)從10名教師中選2名去參加會(huì)議的選法數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，即C45(種)(2)從6名男教師中選2名的選法有C種，從4名女教師中選2名的選法有C種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，因此共有不同的選法C·C·90(種)解簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題的方法(1)先判斷它是不是組合問(wèn)題，取出的元素只是組成一組，與順序無(wú)關(guān)則是組合問(wèn)題；取出元素排成一列，與順序有關(guān)則是排列問(wèn)題.(2)由上面得出組合(排列)數(shù)，然后用公式計(jì)算.跟進(jìn)訓(xùn)練5平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，其中任何3個(gè)點(diǎn)不共線(1)以其中任意2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有多少條？(2)以其中任意2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段有多少條？解(

50、1)所求線段的條數(shù)即為從10個(gè)元素中任取2個(gè)元素的組合，共有C45(條)(2)所求有向線段的條數(shù)即為從10個(gè)元素中任取2個(gè)元素的排列共有A10×990(條)1組合的定義中包括兩個(gè)內(nèi)容：一是“取出元素”；二是“組成一組”是與順序無(wú)關(guān)的問(wèn)題2與組合數(shù)有關(guān)的計(jì)算或證明，要合理地選擇公式，計(jì)算時(shí)，一般用C，而證明時(shí)，一般用C3本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是利用組合數(shù)性質(zhì)CC解題時(shí)，易誤認(rèn)為一定有xy，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤事實(shí)上，CC1若C36，則n的值為()A7B8C9 D10CC36，n(n1)36，即n2n720，(n9)(n8)0nN，n92下列問(wèn)題中是組合問(wèn)題的個(gè)數(shù)是()從全班50人中選出5名組成班委

51、會(huì)；從全班50人中選出5名分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記、學(xué)習(xí)委員、生活委員；從1，2，3，9中任取出兩個(gè)數(shù)求積；從1，2，3，9中任取出兩個(gè)數(shù)求商A1B2C3D4B與順序無(wú)關(guān)，屬于組合問(wèn)題；與順序有關(guān)，屬于排列問(wèn)題，故選B3某施工小組有男工7名，女工3名，現(xiàn)要選1名女工和2名男工去支援另一施工小組，不同的選法有()AC種 BA種CAA種DCC種D每個(gè)被選的人都無(wú)順序差別，是組合問(wèn)題分兩步完成：第一步，選女工，有C種選法；第二步，選男工，有C種選法故共有CC種不同的選法4某單位需同時(shí)參加甲、乙、丙三個(gè)會(huì)議，甲需2人參加，乙、丙各需1人參加，從10人中選派4人參加這三個(gè)會(huì)議，不同的安排方法有_種2 520從10人中選派4人有C種方法，對(duì)選出的4人具體安排會(huì)議有CC種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的選派方法種數(shù)為CCC2 5205一位教練的足球隊(duì)共有17名初級(jí)學(xué)員，他們中以前沒(méi)有一人參加過(guò)比賽按照足球比賽規(guī)則，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是11人問(wèn)：(1)這位教練從這17名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場(chǎng)方案？(2)在選出11名上場(chǎng)隊(duì)員時(shí)，還要確定其中一人為守門(mén)員，那么教練員有多少種方法做這件事情？解(1)由于上場(chǎng)學(xué)員沒(méi)有角色差異，所以可以形成的學(xué)員上場(chǎng)方案有C12 376(種)(2)教練員可以分兩