橢圓的基本性質(zhì)

1、課題：12.4橢圓的基本性質(zhì)(二課時(shí))教學(xué)目標(biāo)：i掌握橢圓的對(duì)稱性，頂點(diǎn)，范圍等幾何性質(zhì)2、能根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)對(duì)橢圓方程進(jìn)行討論，在此基礎(chǔ)上會(huì)畫橢圓的圖形.3、 學(xué)會(huì)判斷直線與橢圓的位置，能夠解決直線與橢圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，中點(diǎn)問(wèn)題等.4、在對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的討論中，注意數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化，學(xué)會(huì)分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和探究能力的培養(yǎng)；培養(yǎng)探究新事物的欲望， 獲得成功的體驗(yàn)，樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)：直線與橢圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題和中點(diǎn)問(wèn)題教學(xué)過(guò)程：一課前準(zhǔn)備:1知識(shí)回憶(1) 橢圓和圓的概念(2) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 2、課前練習(xí)1) 圓的定義：到一定點(diǎn)的距離

2、等于 的圖形的軌跡。橢圓的定義：的圖形的軌跡。2) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：1。焦點(diǎn)在X軸上 ()2。焦點(diǎn)在y軸上 ()2 2若 +=1,則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)短半軸長(zhǎng),焦點(diǎn)為1625頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦距為二. 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、引入課題“曲線與方程”是解析幾何中最重要最基本的內(nèi)容其中有兩類基本問(wèn)題：一是由曲線求方程，二是由方程畫曲線.前面由橢圓定義推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程屬于第一類問(wèn)題，本節(jié)課將研究第二類問(wèn)題， 由橢圓方程畫橢圓圖形， 為使列表描點(diǎn)更準(zhǔn)確，避免盲印性， 有必要先 對(duì)橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)進(jìn)行討論 二、講授新課(一) 對(duì)稱性問(wèn)題1:觀察橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，利用方程研究橢圓曲線的對(duì)稱性？-X代X后方程不

3、變，說(shuō)明橢圓關(guān)于 y軸對(duì)稱；-y代y后方程不變，說(shuō)明橢圓曲線關(guān)于x軸對(duì)稱；-x、-y代x, y后方程不變，說(shuō)明橢圓曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；問(wèn)題2:從對(duì)稱性的本質(zhì)上入手，如何探究曲線的對(duì)稱性? 成一x方程不變，相當(dāng)于點(diǎn) P (x, y)在曲線上，點(diǎn) P點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q (- x, y)也 在曲線上，所以曲線關(guān)于 y軸對(duì)稱其它同理.以把x換成一x為例，如圖在曲線的方程中，把相關(guān)概念：在標(biāo)準(zhǔn)方程下，坐標(biāo)軸是對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心.(二) 頂點(diǎn)問(wèn)題1觀察橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，禾U用方程求出橢圓曲線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)？在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令 x=0,得y , y=0,得x =

4、a頂點(diǎn)概念：橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)；4(-a,0),鼻3,0) , B(0,b), B2(0,-b).相關(guān)概念：線段 Ai A2, B1 B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于2a,2b ,a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng).在橢圓的定義中，2c表示焦距，這樣，橢圓方程中的a,b, c就有了明顯的幾何意義.問(wèn)題2：在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中令a2 -c2 =b2能使方程簡(jiǎn)單整齊，其幾何意義是什么？c表示半焦距，b表示短半軸長(zhǎng)，因此，聯(lián)結(jié)頂點(diǎn) B2和焦點(diǎn)F2，可以構(gòu)造一個(gè)直角三 角形，在直角三角形內(nèi)，0F2 2 = B2F2 2 OB2 2，即a2 c2 =b2 .

5、(三) 范圍問(wèn)題1結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，利用方程研究橢圓曲線的范圍？即確定兩個(gè)變量的允許 值范圍.2 222篤與=1 變形為：1 -x0, x2_a2= x_a二-a_x_aa2 b2b2a2，這就得到了橢圓在標(biāo)準(zhǔn)方程下x的范圍：-a豈x乞a同理，我們也可以得到 y的范圍：- b乞y乞b問(wèn)題2:思考是否還有其他方法？2 2方法一：可以把- y1看成si n2cos2- =1，利用三角函數(shù)的有界性來(lái)考慮 -a2 b2a b的范圍；x2方法二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為1,那么這兩個(gè)數(shù)都不大于 1,所以土空1,a同理可以得到y(tǒng)的范圍由橢圓方程中x, y的范圍得到橢圓位于直線 x二-a和y

6、二-b所圍成的矩形里.三、例題解析例1已知橢圓的方程為9x?亠4y2 =36.（1）求它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）寫出與橢圓9x2 4y2 =36有相同焦點(diǎn)的至少兩個(gè)不同的橢圓方程.解：解答見(jiàn)書本 P48說(shuō)明這是本節(jié)課重點(diǎn)安排的基礎(chǔ)性例題，是橢圓的幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用例2（ 1 ）求以原點(diǎn)為中心，一個(gè)焦點(diǎn)為（0,-1）,且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的,2倍的橢圓方程；（2）過(guò)點(diǎn)（2，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2倍的橢圓方程.解:（ 1）由題意可知：c =1,a 2b，由 a2 - b2 c2，有 2b2 - b2 = 1, b =1 , a - 2；2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2 y 1.22

7、22(2)y2=1 或x 1.4164說(shuō)明此題利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a, b, c的關(guān)系來(lái)解題，要注意焦點(diǎn)在x軸上或y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.例3已知直線kx - y 3二0與橢圓2x162=1，當(dāng)k在何范圍取值時(shí),4(1)(2)(3)直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn); 直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn);直線與橢圓無(wú)公共點(diǎn).解：由y = kx + 3x2y2可得(4k2 +1)x2+24kx + 20 = 0 二人=16(16k2 5)；164 _125 : =16(16k2 -5) 0即k-亠， '4時(shí)，直線kx-y，3 = 0與橢圓2x162y4=1有兩個(gè)公共點(diǎn);江=16(16k2 _5) =0目卩 k 5

8、或k4時(shí)，直線kx-y，3 = 0與橢圓2 x162y1有一個(gè)公共點(diǎn);4（3 ）當(dāng)厶=16（16k2 -5） ：. 0即卩.k時(shí)，直線 kx_ y 3=0 與橢圓442 2=1無(wú)公共點(diǎn).164說(shuō)明由直線方程與橢圓方程聯(lián)立的方程組解的情況直接說(shuō)明兩曲線的交點(diǎn)狀況，而方程 解的情況由判別式來(lái)決定，直線與橢圓有相交、相切、相離三種關(guān)系，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y或X得到關(guān)于X或y的一元二次方程，則（1）直線與橢圓相交 U 0（ 2）直線與橢圓相切 U厶=0（ 3）直線與橢圓相離 =0，所以判定直線與橢圓的位置關(guān) 系，運(yùn)用方程及其判別式是最基本的方法.2 2例4若直線y =kx 1（ R）與橢圓

9、-I =1恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.5 m解法一:y由X25=kx 1y2 可得1m2(5k2 m)x2 10kx 5 _ 5m = 0，:二 m - 5k-1_0 即m _5k21 _1解法二：直線恒過(guò)一定點(diǎn) （0,1）當(dāng)m <5時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，短半軸長(zhǎng)bm，要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)則m _ 1即1 < m : 5當(dāng)m5時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)可保證直線與橢圓恒有交點(diǎn)即m 5要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)，即要保證定點(diǎn)2 2(0,1)在橢圓內(nèi)部-<1即m-15 m綜述：m -1且 m = 5解法三：直線恒過(guò)一定點(diǎn) （0,1）m _ 1且 m = 5說(shuō)明法一轉(zhuǎn)化為k

10、的恒成立問(wèn)題；法二是根據(jù)兩曲線的特征觀察所至；法三則緊抓定點(diǎn)在2 2Xy橢圓內(nèi)部這一特征：點(diǎn) M （x。, yo）在橢圓內(nèi)部或在橢圓上則 弋-1.a b例5橢圓中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10. 3 , 一個(gè)焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)(0,5),求經(jīng)過(guò)此橢圓內(nèi)的一點(diǎn)1 1M ()，且被點(diǎn)M平分的弦所在的直線方程.2 22 2解：由已知，a =5. 3,c =5，且焦點(diǎn)在y軸上，=a2 _c2 =50，橢圓方程為- X 1 .755099設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線交橢圓于點(diǎn)A(x1, y2)、B(x2,y2)M是弦AB的中點(diǎn)，則99x1 x2 = 1, y1y -1，將A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程,2y1方y(tǒng)f752J150

11、2x2-150，兩式相減整99理得：yy = _3 xx = 3，即“)X1 X22 yy2 221 31所求的直線方程為 y(x )，即6x_4y_5 = 0.2 22說(shuō)明此題因?yàn)樯婕皺E圓的弦中點(diǎn)問(wèn)題，除通法外，可以優(yōu)先考慮“點(diǎn)差法”.但需注意兩點(diǎn)：1)斜率是否存在？ 2)應(yīng)檢驗(yàn)直線和橢圓是否相交？即聯(lián)立直線和橢圓方程，得到關(guān)于x或y的一元二次方程，檢驗(yàn)其根的判別式是否大于0？2例6求橢圓y2 =1中斜率為1的平行弦的中點(diǎn)的軌跡.4解：見(jiàn)書本P50說(shuō)明此題因?yàn)樯婕皺E圓的弦中點(diǎn)問(wèn)題，本題也可使用“點(diǎn)差法”2 2例7已知橢圓x 丫 1的左右焦點(diǎn)分別為片尸2,若過(guò)點(diǎn)P( 0, -2)及F1的直線交

12、橢圓2 1于A,B兩點(diǎn)，求"ABF2的面積 解法一：由題可知：直線 |ab方程為2x y 0| y 2x -"2由 x2 y2，可得 9y2 4y -4 = 0,1.2 1% y?l = J(y1 +y2)2 4y24"09-2x -22y2可得 9x +16x+6 = 0，又 AB = =11k2Xi X210,29二|ABh“ 24.109說(shuō)明在利用弦長(zhǎng)公式AB = 11 + k2 x1 -x2（k為直線斜率）應(yīng)結(jié)合韋達(dá)定理解決問(wèn)題.2x 例8已知直線y =x 1交橢圓二 a2-爲(wèi)=1于P,Q兩點(diǎn),b2PQ 二丫10，OP 丄 OQ，求2橢圓方程.解：為簡(jiǎn)便運(yùn)

13、算，設(shè)橢圓為mx22ny 1， (m 0, n 0,m = n)解法二：4、'5F2到直線AB的距離h二52+ n(x +2x+1) =1，整理得:2丄2彳omx + ny =1 二 mx2y = x 12(m n)x 2nx n -1=0( 1)-2nn -1 、X1 ' X2 ， X1 x ，設(shè) P(X1, yj、Q(X2, y2)，m + nm + nOP _ OQ ,X1X2 y1 y2 = 0，即 X1X2 (為 1)(x2 1)=0，有 m n = 2.X1 -X2，有 4n2 -8n 3=0，得:23n =一2方程（1）變形為：2n 12x 2nx n -1 =

14、0 . x1 x2 二-n, % x2 :222 22橢圓的方程為x3yy3xd1或12 22 2說(shuō)明應(yīng)注意P,Q兩點(diǎn)設(shè)而不求，善于使用韋達(dá)定理四、鞏固練習(xí)練習(xí) 12.4 （ 1）;練習(xí) 12.4 （ 2）五、課堂小結(jié)1橢圓的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程2 2冷 +爲(wèi)=1 ( a> b>0) ab2 2爲(wèi) +篤=1 (a> b> 0) ab圖形y a1/2少x1px性質(zhì)范圍a< x< a, b< yw bb< x< b, a< y< a對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)(a, 0)、(一 a， 0)、(0, b)、(0, b)(0, a)、

15、(0, a)、(b, 0)、(一 b, 0)焦占八'、八、F1 ( c, 0)、F2 (c, 0)F1 (0, c )、F2 ( 0, c)兩軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b焦距| F1F2I = 2c, c2= a2 b22 直線與橢圓位置關(guān)系如何判斷3弦長(zhǎng)問(wèn)題和弦中點(diǎn)問(wèn)題4有關(guān)弦中點(diǎn)問(wèn)題，“點(diǎn)差法”的應(yīng)用六、課后作業(yè)練習(xí)冊(cè)、補(bǔ)充作業(yè)：2 21橢圓ax by =1與直線y =1 -x交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線段 AB中點(diǎn)的直線的斜 率為一3，求a值.b2 22. 橢圓-y1的焦點(diǎn)為Fi、F2，過(guò)0作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若厶ABF?的面積為20,4520求直線AB方程.2 23. 已知橢圓

16、2 2 =1 a b 0上一點(diǎn)P 6,8 , Fi、F?為橢圓的焦點(diǎn)，且 PFi _ PF?，求橢a b圓的方程.4. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0, ± 5、2）的橢圓被直線3x-y-2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為11，求橢圓方程.22X25已知橢圓y=1.2(1) 過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)P的軌跡方程；(2) 求斜率為2的平行弦中點(diǎn)Q的軌跡方程2 26. P為直線x 一 y 9 = 0上的點(diǎn)，過(guò)P且以橢圓 1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓，問(wèn) P123在何處時(shí)所作橢圓的長(zhǎng)軸最短？并求出相應(yīng)橢圓的方程2 2 27.已知橢圓C： - y m(m 0),經(jīng)過(guò)其右焦點(diǎn)F且以a=i1,1為方向向量的直線l532交橢圓C于N點(diǎn).A、B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)O為橢圓的中心，射線 OM交橢圓C于(1)證明:!<fe-rOA OB 二 ON(2)求OA OB的值.&已知 A (- 2, 0)、B (2,一 一 10),點(diǎn) C、點(diǎn) D 滿足 | AC |=2,AD = (AB + AC).222(1)求點(diǎn)D的軌跡方程;(2)過(guò)點(diǎn)A作直線I交以A、B為焦點(diǎn)的橢圓于 M、N兩點(diǎn),4線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為一，且直線l與點(diǎn)D的軌跡相切，求該橢圓的方程5229