度量空間的可分性與完備性

1、1.3 度量空間的可分性與完備性 在實數(shù)空間R中，有理數(shù)處處稠密，且全體有理數(shù)是可列的，我們稱此性質(zhì)為實數(shù)空間R 的可分性.同時，實數(shù)空間R還具有完備性，即R中任何基本列必收斂于某實數(shù).現(xiàn)在我們將這些概念推廣到一般度量空間. 1.3.1 度量空間的可分性 定義1.3.1設X是度量空間，A,BcX,如果B中任意點xWB的任何鄰域O(x,6)內(nèi)都含有A的點，則稱A在B中稠密.若AUB,通常稱A是B的稠密子集. 注1：A在B中稠密并不意味著有AUB.例如有理數(shù)在無理數(shù)中稠密；有理數(shù)也在實數(shù)中稠密.無理數(shù)在有理數(shù)中是稠密的，無理數(shù)在實數(shù)中也是稠密的，說明任何兩個不相等的實 數(shù)之間必有無限多個有理數(shù)也有

2、無限多個無理數(shù). 定理1.3.1設(X,d)是度量空間，下列命題等價： 8ed ? ? ? ? ? ? ? A在B中稠密； 8ed ? ? ? ? X?XB,5xn匚A,使得limd(4,x)=0; n_： 8ed ? ? ? ? ? ? ? BUA(其中A=A|JA,A為A的閉包，A，為A的導集(聚點集)； (4)任取50,有BuUO(x,6).即由以A中每一點為中心6為半徑的開球組成的集合x5A 覆蓋B. 證明按照稠密、閉包及聚點等相關(guān)定義易得. 定理1.3.2稠密集的傳遞性設X是度量空間，A,B,CUX,若A在B中稠密，B在 C中稠密，則A在C中稠密. 證明由定理1.1知BUA,CUB,

3、而B是包含B的最小閉集， 所以B二B匚A,于是有CuA,即A在C中稠密.口 注2：利用維爾特拉斯定理可證得定理(Weierstrass多項式逼近定理)閉區(qū)間a,b上 的每一個連續(xù)函數(shù)都可以表示成某一多項式序列的一致收斂極限. (1)多項式函數(shù)集Pa,b在連續(xù)函數(shù)空間Ca,b中稠密. 參考其它資料可知： (2)連續(xù)函數(shù)空間Ca,b在有界可測函數(shù)集Ba,b中稠密. (3)有界可測函數(shù)集Ba,b在p次塞可積函數(shù)空間Lpa,b中稠密(1Ep/). 利用稠密集的傳遞性定理1.3.2可得： (4)連續(xù)函數(shù)空間Ca,b在p次哥可積函數(shù)空間Lpa,b中稠密(1Ep(收). 因此有Pa,bUCa,b仁Ba,b仁

4、Lpa,b. 定義1.3.2設X是度量空間，AUX,如果存在點列xnUA,且xn在A中稠密，則稱A是可分點集(或稱可析點集).當X本身是可分點集時，稱X是可分的度量空間. 注3:X是可分的度量空間是指在X中存在一個稠密的可列子集. 例1.3.1歐氏空間Rn是可分的.坐標為有理數(shù)的點組成的子集構(gòu)成Rn的一個可列稠 密子集. 證明設Qn=(1,2,川,rn)|rWQ,i=1,2,|,n為Rn中的有理數(shù)點集，顯然Qn是可數(shù)集，下 證Qn在Rn中稠密. 對于Rn中任意一點x=(x，X2，|H，Xn),尋找Qn中的點列rj,其中rk=(r/,r2k川，r：),使得rktx(kTg).由于有理數(shù)在實數(shù)中稠

5、密，所以對于每一個實數(shù)x(i=1,2,HI，n),存在有理 數(shù)列ikTx(kTg).于是得到Qn中的點列rk,其中 k=(r；,r2k,|,由，k=1,2,|. 現(xiàn)證ktx(kT9).VsA0,由r；Tx(kT8)知，三KiWN,當kAKi時，有 |rx|-,i=1,2,H|,n .n WK=maxK1,K2,IH,Kn,當kK時，對于i=1,2,川,n,都有|rkx|0,存在(實系數(shù))多項式pjt),使得 d(x,P)=max|x(t)-p；(t)|；2 另外，由有理數(shù)在實數(shù)中的稠密性可知存在有理數(shù)多項式p0(t)WP0a,b,使得 一 d(p；,Po)=max|p(t)-Po(t)|- 因

6、此，d(x,po)Wd(x,p+d(papo)名，即po(t)W0(xe),在Ca,b中任意點x(t)的任意鄰域內(nèi)必有P0a,b中的點,按照定義知Poa,b在Ca,b中稠密.口 例1.3.3p次哥可積函數(shù)空間Lpa,b是可分的. 證明由于P0a,b在Ca,b中稠密，又知Ca,b在Lpa,b中稠密，便可知可數(shù)集Ra,b在Lpa,b中稠密.口 例1.3.4p次哥可和的數(shù)列空間1P是可分的. 證明取E。=(r1,r2,|l|,rn,0,|,0,|)|riWQ,nWN,顯然E。等價于0Qn,可知E?？蓴?shù)，nT 下面證E。在lp中稠密. QQ Vx=(x1,x2,IH,xn,lll)W|p,有以0,小w

7、N,當nN時， 1 .:P |Xi1P- n 112 又因Q在R中稠密，對每個x(1iN),存在rWQ,使得 p 由Weierstrass多項式逼近定理知，x(t)可 |Xr|P宗，(i=1,2,3,川，N) 2N 于是得 Np lx-rlp* 12 令xo=(R,r2,|,rN,0,H|,0,H|)WEo,則 N1.P,P1 d(Xo,x)=|xf1Plx|p)p：(,一)p=； i1i-N122 因此Eo在1P中稠密.口 例1.3.5設X=0,1,則離散度量空間(X,do)是不可分的. 證明假設(X,d。)是可分的，則必有可列子集*UX在X中稠密.又知X不是可列集 *一1 所以存在xWX,

8、x更xn.取-2,則有 一*、1 ，xd(x,x)0,存在N,當m,nN時，有 d(xm,xn)名則稱*是X中的一個基本列(或Cauchy歹U). 定理1.3.3(基本列的性質(zhì))設(X,d)是度量空間，則 (1)如果點列4收斂，則4是基本列； (2)如果點列%是基本列，則%有界； (3)若基本列含有一收斂子列，則該基本列收斂，且收斂到該子列的極限點. 證明(1)設xnuX,xX,且tx.則X/a0,三NWN,當nN時，d(xn,x)N時， _* O(x、 .)= gsd(xn,xm)Wd(xn,x)+d(x,。)N時，有d(xN+,xn)&=1,記M=maxd(x,X+),dx冰書1)

9、1dx心中,那么對任意的m,n,均有 d(xn,xm)Ed(xn,XN+)+d(xm,xN+)0,5NIN,當m,nAM時，d(Xn,Xm)|;5N2WN,當kAN2時，d(xnk,x)N,kN時，nkkN,從而有 名S-d(Xn,X)d(Xn,Xnk)+d(Xnk,X)0,存在NwN,使得N-,那么對于m=N+a&n=N+b,其中a,beN,有 maxa,bab ：(Na1)(Nb1)；NaNb 1 即得4是基本列.顯然lim=0正X,故、不是X的收斂列. -n1 或者利用=1是R上的基本列，可知ys0,5NNN,當n,mN時有n1 .于是可知4=,!也是X上的基本列.口n1 如果一

10、個空間中的基本列都收斂，那么在此空間中不必找出序列的極限，就可以判斷它是 否收斂，哪一類度量空間具有此良好性質(zhì)呢？是完備的度量空間. 定義1.3.4完備性 如果度量空間X中的任何基本列都在X中收斂，則稱X是完備的度量空間. 例1.3.8n維歐氏空間Rn是完備的度量空間. 證明由Rn中的點列收斂對應于點的各坐標收斂，以及R的完備性易得.口 例1.3.9連續(xù)函數(shù)空間Ca,b是完備的度量空間. (距離的定義:d(f,g)=max|f(t)-g(t)|)t.a,b 證明設4是Ca,b中的基本列，即任給g0,存在N,當m,nN時，d(xm,“)(名即maxxm(t)-xn(t)|二t.-a,b 故對所有

11、的twa,b,xm(t)xn(t)|,由一致收斂的Cauchy準則，知存在連續(xù)函數(shù)x(t),使 xn(t)在a,b上一致收斂于x(t),即d(xm,x)T0(nT叼，且xWCa,b.因此Ca,b完備.口 1 例1.3.10設X=C0,1,f(t),g(t)WX,7E乂d1(f,g)=(|f(t)g(t)dt，那么(X,d1)不是 完備的度量空間.(注意到例1.3.9結(jié)論(X,d)完備) 證明設 一一1 00t- 2 1.1.1 fn(t)=n(t-)-t-+ 22n 11 1t0,二N一，當m,nAN時，有d(xnxm)xn-xm a-b (N+a+1)(N+b+1) 圖1.3.1fn(t)W

12、C0,1圖像及有關(guān)積分示意圖 于是fn是X的基本列.下面證fn在X中不收斂.若存在f(t)WX,使得 di(fn,f)T0(nTs). 111J1 由于d1(fn,f)=|fn(t)f(t)|dt=f|f(t)|dt+|fn(t)f(t)|dt+J|1f(t)|dt,顯然上式右邊2 的三個積分均非負，因此d1(fn,f)T0時，每個積分均趨于零.推得 f(t)= 可見f(t)不連續(xù)，故3在X中不收斂，即C0,1在距離4下不完備.口 表1.3.1常用空間的可分性與完備性 由于有理數(shù)系數(shù)的多項式函數(shù)集F0a,b是可列的，以及F0a,b在Pa,b、Ca,b、Ba,b 以及Lpa,b中稠密， 可知閉區(qū)

13、間a,b上多項式函數(shù)集Pa,b、連續(xù)函數(shù)集Ca,b、 有界可測函數(shù)集Ba,b、p次哥可積函數(shù)集Lpa,b均是可分的.前面的例子說明n維歐氏空間Rn以及p次哥可和的數(shù)列空間1P也是可分空間，而有界數(shù)列空間l迂和不可數(shù)集X對應的離散度量空間度量空間 n維歐氏空間(Rn,d) X可數(shù) 離散度量空間(X,d0) X不可數(shù) 連續(xù)函數(shù)空間Ca,b 有界數(shù)列空間l二 p次哥可和的數(shù)列空間lp p次哥可積函數(shù)空間(Lpa,b,d) 距離 d(x,y)=、(x-y)2 0當x=y時 d0(x,y)： 1當x:y時 d(f,g)=嚅|f(t)-g(t)| b d1(f,g)=af(x)g(x)dx a d(x,y

14、)=sup|x-y| 一一 1 dp(x,y)=|x-yi|p i土土 1 d(f,g)=(1,b|f(t)g(t)|pdt)p 可分性 完備性 (X,do)是不可分的. 從上面的例子及證明可知，n維歐氏空間Rn是完備的度量空間，但是按照歐氏距離 X=(0,1)卻不是完備的；連續(xù)函數(shù)空間Ca,b是完備的度量空間，但是在積分定義的距離 1 d1(f,g)=J|f(t)g(t)dt下，C0,1卻不元備由于離散度重空間中的任何一個基本列只是同 一個元素的無限重復組成的點列，所以它是完備的.我們還可以證明p次哥可和的數(shù)列空間ip 是完備的度量空間，p次塞可積函數(shù)空間Lpa,b(p*)是完備的度量空間，

15、有界數(shù)列空間的完 備性.通常所涉及到的空間可分性與完備性如表 1.3.3所示. 在度量空間中也有類似于表示實數(shù)完備性的區(qū)間套定理，就是下述的閉球套定理. 定理1.3.4(閉球套定理)設(*刀)是完備的度量空間，Bn=6(xn,&)是一套閉球: B1二巳口|nBn=111. 如果球的半徑8T0(nTg),那么存在唯一的點xwjjBn.n-4 證明(1)球心組成的點列Xn為X的基本列.當mn時，有 XmWBmUBn(=6(4,缶)，可得 d(xm,Xn)h- 寸名0,取N,當nAN時，使得6n名，于是當m,nAN時，有 d(Xm,Xn)W&S, 所以%為X的基本列. 椀洀勻甀渀 ?

16、 漀甀爀椀攀爀一攀眀 耈? ? 梔? 昀 曇 ? 攙 x的存在性.由于(X,d)是完備的度量空間，所以存在點xWX,使得limXn=x.令(2.4)n: 式中的mt,可得 d(XX)_、n 即知xWBn,n=1,2,3,川，因此xWnBn.n 00 椀洀勻甀渀 ? 漀甀爀椀攀爀一攀眀 耈? ? 梔? 昀 曇 ? 攙 x的唯一性.設還存在yWX,滿足yW|Bn,那么對于任意的n=N,有x,yWBn, n3 從而d(x,y)N時，有 x二2 |arctanm|-,|arctann|-,于是 222 冗n，一 d(x,xm)=|arctan%-arctanxm|arctanxn-|-|arctan4|：:：- 因此點列%是基本列，卻不是收斂列.口11_1、 (0.101)2=(-X1+-X0十一父1)10=(0.625)10 248 因此0,1與子集A=x=(x1,x2,l|l,xn,|)xn=0或1對等，由0,1不可數(shù)知A不可列. 例1.3.6有界數(shù)列空間l0c是不可分的. l*=x=(X,x2,|,xn,l|l