§8-1-多元函數(shù)的概念-副本W(wǎng)ord版

1、第八章 多元函數(shù)微分學(xué)在自然科學(xué)和工程技術(shù)中，遇到的函數(shù)往往不只有一個自變量，通常它依賴于兩個甚至更多個自變量.對于自變量多于一個的函數(shù)稱為多元函數(shù).一元函數(shù)微分學(xué)中的許多概念、方法與理論都可以推廣到多元函數(shù)，同時也會產(chǎn)生許多新問題.由二元函數(shù)推廣到二元以上的函數(shù)時不會發(fā)生什么困難.因此，本章主要以二元函數(shù)為研究對象來討論和分析.8.1 多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)8.1.1多元函數(shù)的概念定義8.1.1設(shè)是平面上的一個非空點集，為三個變量若對于中任意一點，按照某一對應(yīng)法則，總有唯一確定的數(shù)值與之對應(yīng)，則稱是的二元函數(shù)，記為其中稱為自變量，稱為因變量；集合稱為函數(shù)的定義域；變量取值的集合稱為該函數(shù)

2、的值域二元函數(shù)在點處所取得的函數(shù)值記為或類似地,可以定義三元函數(shù)以及三元以上的函數(shù)一般地，可以定義個變量的函數(shù)二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)例8.1.1已知，則.例8.1.2設(shè)求.解:將第一變量用，第二變量用來代，有=.8.1.2二元函數(shù)的定義域求二元函數(shù)定義域的方法與一元函數(shù)相類似：在數(shù)學(xué)上，對用解析式表達的二元函數(shù)，使該二元函數(shù)的表達式有意義的點的集合稱為二元函數(shù)的定義域；實際問題中的二元函數(shù)，則要根據(jù)自變量的具體意義及問題本身對自變量取值的限定范圍來確定其定義域例8.1.3求下列函數(shù)的定義域，并用圖形表示.(1) ；（2）.解:(1)要使函數(shù)的解析式有意義，必須滿足，所以函數(shù)的定義域

3、是，即以原點為圓心、半徑為的圓內(nèi)及圓周上一切點構(gòu)成的集合，如圖8-1所示.(2)要使函數(shù)的解析式有意義，必須滿足，所以函數(shù)的定義域是(如圖8-2所示).二元函數(shù)的定義域，在數(shù)學(xué)上常表示為的不等式或不等式組；在幾何上則常常是一條或幾條線及一些點來界定平面的一部分1 / 32設(shè)X是一平面點集,如果對于X內(nèi)的任意兩點,都可用含于X內(nèi)的一條折線相連結(jié),則稱點集X是連通的,稱連通的點集為區(qū)域.例如,圖8-1、圖8-2所示的都是區(qū)域.通常區(qū)域是由一條或幾條曲線所圍成，圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界；包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉區(qū)域，不包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為開區(qū)域；區(qū)域內(nèi)的點稱為內(nèi)點，邊界上的點稱為邊界點.如果區(qū)

4、域能含于一個以原點為中心，半徑適當(dāng)大的圓內(nèi)，則稱該區(qū)域是有界區(qū)域，否則，稱為無界區(qū)域8.1.3二元函數(shù)的圖形取定空間直角坐標(biāo)系后，從二元函數(shù)的定義域中任取一點，把所對應(yīng)的函數(shù)值作為豎坐標(biāo)，就在空間得到了一個對應(yīng)點，當(dāng)點遍取上所有的點，對應(yīng)點的全體形成空間的一張曲面，曲面稱為函數(shù)的圖形，而也就是曲面的方程.曲面在平面上的投影即為函數(shù)的定義域的圖形，如圖8-3所示例如，的一次函數(shù)的圖形是一個平面；函數(shù)的圖象是球心在原點、半徑為的上半球面；函數(shù)的圖象是上半橢球面8.1.4二元函數(shù)的極限定義8.1.2設(shè)函數(shù)在點的某空心鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)點以任意方式趨向于點時，總趨向于一個確定的常數(shù)，那么就稱是二元函

5、數(shù)當(dāng)時的極限，記為或.在定義中應(yīng)注意點趨向于點的方式是任意的，即趨向于常數(shù)與的方式無關(guān).與一元函數(shù)相類似，二元函數(shù)的極限也有四則運算法則，同樣地，一元函數(shù)求極限的方法也可以推廣到求二元函數(shù)極限.例8.1.4求下列極限：(1) ；(2) .解：(1) 原式=(2) 令，有.例8.1.5證明：函數(shù)當(dāng)時極限不存在證明:當(dāng)沿直線趨于時，有=,顯然，當(dāng)沿不同斜率的直線(即不同的)趨于時，趨于不同的值，根據(jù)二元函數(shù)極限的定義，有當(dāng)時極限不存在.8.1.5二元函數(shù)的連續(xù)定義8.1.3設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果，則稱函數(shù)在處連續(xù)，稱為函數(shù)的連續(xù)點如果在區(qū)域內(nèi)的每都一點連續(xù)，則稱它在區(qū)域內(nèi)連續(xù)顯然，如果函

6、數(shù)在處連續(xù)，則必須同時滿足三個條件：1.在點的某鄰域內(nèi)有定義；2.極限要存在；3.若以上三條中有一條不滿足，點就稱為間斷點，稱函數(shù)在點處間斷.例如,函數(shù)，當(dāng)時極限不存在，所以在點處間斷.又例如,函數(shù)，因為在拋物線上的每一點都無定義，所以拋物線上的每一點都是函數(shù)的間斷點也稱拋物線 是函數(shù)的間斷線.相應(yīng)于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，在閉區(qū)域上連續(xù)的函數(shù)也有如下性質(zhì).性質(zhì)1（最大值和最小值定理）在有界閉區(qū)域上連續(xù)的函數(shù)必有最大值和最小值。性質(zhì)2（介值定理）在有界閉區(qū)域上連續(xù)的函數(shù)必取得介于函數(shù)最大值和最小值之間的任何值.習(xí)題8-11.設(shè)函數(shù)，試求:(1)；(2)；(3).2.確定并畫出下列函數(shù)的定義域D

7、：(1)；(2)z=.（3）； （4）；（5）； （6）.3.求下列極限：(1)；(2)4.求下列函數(shù)的間斷點或間斷曲線：(1) ；(2)；(3) ；(4) .8.2偏導(dǎo)數(shù)前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它定義為函數(shù)的增量和自變量增量的比值的極限，現(xiàn)在將導(dǎo)數(shù)的概念推廣到多元函數(shù)，從而得到偏導(dǎo)數(shù)的概念.8.2.1 一階偏導(dǎo)數(shù)1.一階偏導(dǎo)數(shù)的概念在研究多元函數(shù)時，經(jīng)常需要考察多元函數(shù)關(guān)于其中某一個變量的變化率，而其余變量暫時看作常量，先看一個實例.例8.2.1一定量的理想氣體的壓強、體積和熱力學(xué)溫度之間，遵循波義耳-馬略特定律，即這三者之間存在如下的函數(shù)關(guān)系： (比例系數(shù)是常數(shù))當(dāng)溫度一定(=常數(shù))

8、時，壓強關(guān)于體積的變化率為；當(dāng)體積一定(=常數(shù))時，壓強關(guān)于溫度的變化率為.定義8.2.1設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量保持不變，而自變量有增量時，函數(shù)相應(yīng)地有關(guān)于的增量（偏增量）,如果極限存在，則稱極限值為函數(shù)在點處關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，記作或 或 或即=類似地，可以定義函數(shù)在點處關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)：= 2.一階偏導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點處對或的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么求偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)果還是的函數(shù)，稱為函數(shù)對自變量或的偏導(dǎo)函數(shù)，記作, , , 或 , , ,有了函數(shù)的偏導(dǎo)函數(shù)，在某點處的偏導(dǎo)數(shù)是相應(yīng)偏導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值在不會引起混淆的地方，也把偏導(dǎo)函數(shù)簡稱為偏導(dǎo)數(shù)注意偏導(dǎo)函數(shù)和中仍然是變量，求偏導(dǎo)數(shù)和時

9、，暫時只讓或變動, 另一個變量相對地看做常量，求偏導(dǎo)完成后，仍然是變量二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的多元函數(shù).3.偏導(dǎo)數(shù)的求法 由偏導(dǎo)數(shù)的定義可以知道，對某一變量求偏導(dǎo)數(shù)，就是將其他變量看作常數(shù)，對該變量進行求導(dǎo)，求偏導(dǎo)數(shù)與求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法相同.例8.2.2求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和，并求和.解:將看作常量，有,將看作常量，有,于是；.例8.2.3求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和.解:將看作常量，有,將看作常量，有.例8.2.4求函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù).解:將看作常量，有,將看作常量，有.例8.2.5設(shè)函數(shù)，求其三個偏導(dǎo)數(shù)解:此函數(shù)為三元函數(shù)，求函數(shù)對某一自變量的偏導(dǎo)數(shù)，應(yīng)將其它兩個自變量看作常量.從而有，.

10、8.2.2 二階偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)一般仍為的二元函數(shù)，如果這兩個偏導(dǎo)數(shù) 仍存在對的一階偏導(dǎo)數(shù)，則可以繼續(xù)對它們求一階偏導(dǎo)，并稱求偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)果為函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)依照對變量的不同求導(dǎo)次序，二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)有下列四個：；.分別用下列記號來表示：=；=；=；=.其中，稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù).例8.2.6求函數(shù)的四個二階偏導(dǎo)數(shù)解:因為, ，所以=6xy2；.由例8.2.6可見，兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)，雖然對和的求導(dǎo)次序不同，但它們是相等的，即一般地，有如下定理：定理8.2.1如果函數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)和在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)一定相等，即有.這個定理說明，只要兩個二階混合

11、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則它們與求導(dǎo)次序無關(guān).習(xí)題8-21.求下列函數(shù)對和的偏導(dǎo)數(shù)（1）；（2）；（3）；（4）;(5)；（6）；（7）2. 設(shè)，求，.3. 設(shè)，求.4. 設(shè)函數(shù)，證明.5. 設(shè)函數(shù)，求其四個二階偏導(dǎo)數(shù).6. 設(shè)函數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù).8.3全微分及其應(yīng)用在求一元函數(shù)的增量時，可以用微分來近似表示.當(dāng)很小時，用微分作為的近似值，所產(chǎn)生的誤差為的高階無窮小.將此方法推廣到二元函數(shù)上，建立和微分概念類似的全微分概念.8.3.1 全微分的定義1.全微分的概念一般地，設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，分別給自變量以改變量，,則稱為函數(shù)在點處相對于自變量的改變量的全增量定義.設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果在點處

12、相對于自變量的改變量、的全增量能表示成，其中是與無關(guān)的數(shù)，為的高階無窮小，則稱函數(shù)在點處可微，且稱為在點處的全微分，記作或或，即.可以證明：定理8.3.1若在點可微，則二元函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)和一定存在，且有和.所以，.定理8.3.2若二元函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)和在點存在且連續(xù)，則 在點一定可微.現(xiàn)將二元函數(shù)在點處的微分推廣到任一點處的微分，有.習(xí)慣上分別記作和，于是二元函數(shù)的全微分又可記為.二元函數(shù)全微分的概念可以推廣到三元和三元以上的函數(shù)。例如，如果三元函數(shù)的三個偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則.例8.3.1求函數(shù)的全微分.解：，.的定義域為，在定義域內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)，因此存在，且有.例8.3.2求函數(shù)在處當(dāng)、時的全

13、微分.解：，所以.8.3.2 全微分在近似計算中的應(yīng)用設(shè)函數(shù)在點 處可微，則函數(shù)的全增量與全微分之差是比高階的無窮小，所以當(dāng)和都很小時，全增量可以近似地用全微分代替，即例8.3.3有一正圓錐體，其底面半徑r由60cm增大到60.1cm，高h由90cm減小到89.5cm，求體積V改變量的近似值解:圓錐體體積公式為 ,.記 ， ,， . 即此圓錐體的體積約減少了240 例8.3.4求的近似值 解:設(shè)，取,.因此，.習(xí)題8-31. 求函數(shù)在點處當(dāng)時的全增量及全微分2. 求下列函數(shù)的全微分(1) ；(2) ；(3)（）；(4).3求下列近似值（1）；（2）.4.設(shè)有一無蓋的圓柱形容器，其側(cè)壁和底的厚度

14、都是，內(nèi)徑為，深為，求此容器外殼體積的近似值.8.4多元復(fù)合函數(shù)的微分法在一元函數(shù)微分學(xué)中，復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則是最重要的求導(dǎo)法則之一，它解決了很多比較復(fù)雜的函數(shù)的求導(dǎo)問題對于多元函數(shù)，也有類似的求導(dǎo)法則.8.4.1多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1.二元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)相比，二元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題要復(fù)雜的多.對于二元函數(shù)，中間變量和都可以是和的二元函數(shù)；也可以只是某一個變量的函數(shù)，還可能中間變量和分別是不同個數(shù)自變量的函數(shù)，譬如是的函數(shù)，而只是的函數(shù)；等等.下面討論二元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，對二元以上的多元函數(shù)的求導(dǎo)法則可類似推出定理8.4.1設(shè)函數(shù)是的函數(shù)，若在點處偏導(dǎo)數(shù)都存在，在

15、對應(yīng)點處可微，則復(fù)合函數(shù)在點處關(guān)于的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，且 (8-1)借助于復(fù)合函數(shù)的函數(shù)結(jié)構(gòu)圖對復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的過程進行分析.函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖，如圖8-4所示.從函數(shù)結(jié)構(gòu)圖可以看出，和的函數(shù)關(guān)系可以由兩條路徑得到.一條是經(jīng)中間變量到達自變量，還有一條是經(jīng)中間變量到達自變量的.從公式(1)的第一式可以看出，和的函數(shù)關(guān)系有兩條路徑，對應(yīng)公式中就有兩項，其中每一項由兩個因子的乘積表示，兩個因子的乘積都是函數(shù)關(guān)于中間變量的偏導(dǎo)數(shù)和中間變量關(guān)于自變量的偏導(dǎo)數(shù)的乘積構(gòu)成.例8.4.1設(shè)，求和解：令，則 函數(shù)結(jié)構(gòu)圖，如圖8-5所示.=+=,=+=.例8.4.2設(shè)，求和解：令，則，函數(shù)結(jié)構(gòu)圖，如圖8-5所示.=

16、+=,=+=.2.二元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的推廣和變形多元復(fù)合函數(shù)的中間變量可能是一個，也可能多于一個，同樣，自變量的個數(shù)可能只有一個，也可能是兩個或者更多.可以對定理8.4.1進行推廣和變形，分以下幾種情形討論：（1）當(dāng)函數(shù)有兩個中間變量，而自變量只有一個，即函數(shù)結(jié)構(gòu)圖，如圖8-6所示.因此(8-1)變形成為因為復(fù)合結(jié)果和中間變量都是的一元函數(shù)，應(yīng)該使用一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記號；為了與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相區(qū)別，我們稱復(fù)合后一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為全導(dǎo)數(shù)當(dāng)函數(shù)有三個中間變量，而自變量只有一個，即,函數(shù)結(jié)構(gòu)圖，如圖8-7所示.因此公式(8-1)可以推廣成為（2）當(dāng)函數(shù)有一個中間變量，而自變量有兩個.例如.函數(shù)結(jié)構(gòu)圖，

17、如圖8-8所示.此時(8-1)變形成為在上面第一個式中，表示在復(fù)合函數(shù)中，把看作常量，求得的對的偏導(dǎo)數(shù)；表示在復(fù)合函數(shù)中，把看作常量，求得的對的偏導(dǎo)數(shù)，因此和表示的含義不同，在求偏導(dǎo)數(shù)是一定要注意，記號上不能混淆.例如，函數(shù)結(jié)構(gòu)圖，如圖8-9所示.此時(8-1)變形成為(3)當(dāng)函數(shù)有兩個中間變量，而自變量有三個，即函數(shù)結(jié)構(gòu)圖，如圖8-10所示.公式(8-1)推廣成為(4) 當(dāng)函數(shù)有三個中間變量，而自變量有兩個，例如函數(shù)結(jié)構(gòu)圖，如圖8-11所示.公式(8-1)推廣成為例8.4.3設(shè),求解:=例8.4.4,求解: 設(shè)中間變量。函數(shù)結(jié)構(gòu)圖，如圖8-12所示。+=.例8.4.5若函數(shù)，證明.證明：令，

18、則,從而有.復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)時要注意：函數(shù)關(guān)系要明確，復(fù)合層次要清晰，最好畫出函數(shù)結(jié)構(gòu)圖；在求偏導(dǎo)數(shù)的過程中，要注意求導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別，要注意記號與的區(qū)別.一般情況下，如果復(fù)合函數(shù)的層次只有兩層，那么中間變量有幾個，則其偏導(dǎo)數(shù)（全導(dǎo)數(shù)）在形式上必由幾項的和構(gòu)成，其中每一項由兩個因子的乘積表示，兩個因子的乘積都是函數(shù)關(guān)于中間變量的偏導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)數(shù)）和中間變量關(guān)于自變量的偏導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)數(shù)）的乘積構(gòu)成.8.4.2二元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式在一元函數(shù)微分學(xué)中，求由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是通過方程兩邊同時對求導(dǎo)，并注意到是的函數(shù)，的函數(shù)是的復(fù)合函數(shù).現(xiàn)在利用多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的方法求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并將此結(jié)果推廣到多

19、元隱函數(shù)的求偏導(dǎo)數(shù)的情況.1.由方程確定是的函數(shù)將代入方程，得到，函數(shù)結(jié)構(gòu)圖，如圖8-13所示，等式兩邊對求全導(dǎo)數(shù)得,便得到F(=0所確定隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：.這就是利用多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的方法求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.例8.4.6求由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:設(shè)，則，,由隱函數(shù)求導(dǎo)公式.2.方程確定的隱函數(shù)即,函數(shù)結(jié)構(gòu)圖,如圖8-14所示，方程兩端分別關(guān)于求偏導(dǎo)數(shù)，把原方程中的看做中間變量根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，可得=0, =0，在0的區(qū)域內(nèi)，得到隱函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)為和 ,這就是二元隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的公式例8.4.7由方程確定為和的函數(shù)，求，解:設(shè).則, ，所以,.習(xí)題8-41. ,，求, 2. (1)

20、設(shè)，求, (2)設(shè)，求.3. (1)設(shè)，而，求.(2)設(shè)，求.(3)設(shè)，求，.4. 證明可微函數(shù)滿足5. 設(shè),求 6.(1)設(shè)，而，求.(2)設(shè)，求.7. 設(shè)，而，求.8. (1)設(shè)，求.(2)函數(shù)由方程確定，求.*8.5偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用8.5.1空間曲線的切線和法平面定義.設(shè)是空間曲線上的一點，是上與鄰近的點當(dāng)點沿趨于點時，若割線存在極限位置，則稱為曲線在點處的切線，如圖8-15所示，過點與垂直的平面，稱為曲線在點處的法平面設(shè)空間曲線G的參數(shù)方程為點對應(yīng)的參數(shù)，即，點對應(yīng)的參數(shù)，的方向向量為=,則割線的方程為各式分母同除以Dt，得現(xiàn)設(shè)在處可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)不同時為0，則當(dāng)時，存在極限方程為.曲線G

21、在點處切線的方向向量稱為G在點處的切向量在點處的法平面以為法向量，根據(jù)平面方程的點法式，可得法平面方程為.例8.5.1求曲線在點處的切線及法平面方程解: 點所對應(yīng)于的參數(shù),所求的切線方程，法平面方程,即.8.5.2曲面的切平面和法線通過曲面上一點，在曲面上可以作無數(shù)多條曲線，若每一條曲線在點處都有一條切線，可以證明這些切線落在同一個平面上，稱該平面為曲面上一點處的切平面。過與切平面垂直的直線稱為曲面在點處的法線，如圖8-16所示.設(shè)曲面的方程為,是曲面上的一點.可以證明向量可以作為曲面在點處的法線的方向向量，從而也可以作為曲面在點處切平面的法向量.因此，曲面在點處切平面方程為.在點M0處的法線

22、方程為.例8.5.2求球面上一點處的切平面方程和法線解:令，則,于是球面在處的切平面的法向量為，所以切平面方程為,即 ,法線方程為 ,即 .習(xí)題8-51. (1)求曲線在點處的切線與法平面方程. (2)求曲線在處的切線和法平面方程.2. 求出曲線上的點，使在該點的切線平行于平面.3. (1)求橢球面上平行于平面的切平面方程. (2)求曲面的切平面方程，使它垂直于已知直線.8.6多元函數(shù)的極值和最值學(xué)習(xí)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用時，借助于導(dǎo)數(shù)解決了某些極值和最值問題.本節(jié)介紹如何利用偏導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)多元函數(shù)的極值和最值問題.本節(jié)的內(nèi)容和方法和一元函數(shù)相對應(yīng)，是一元函數(shù)極值和最值的推廣.8.6.1 二元函數(shù)

23、極值的概念1.二元函數(shù)極值定義定義.設(shè)是函數(shù)的定義域內(nèi)一點，若存在的一個包含在內(nèi)的鄰域，對于該鄰域內(nèi)所有異于點的點，都有 或,則稱是函數(shù)的極大值(或極小值)，稱為的極大值點(或極小值點)極大值和極小值統(tǒng)稱為極值；極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點例如：在點處取得極小值4.在的任意鄰域內(nèi)，既能取正值，也能取負(fù)值，所以不是的極值點如果函數(shù)在處取得極值，從極值的定義可以得到一元函數(shù)在處取得極值.根據(jù)函數(shù)極值存在的必要條件，如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，則導(dǎo)數(shù)在處的值一定等于零，即.同理，如果函數(shù)在處取得極值，從極值的定義可以得到一元函數(shù)在處取得極值。根據(jù)函數(shù)極值存在的必要條件，如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，則導(dǎo)數(shù)在處的值一

24、定等于零，即.因為，從而有如下定理.2.極值存在的必要條件定理8.6.1(極值必要條件)如果函數(shù)在點處兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，且函數(shù)在P0處取得極值，則必有,使同時成立的點，稱為函數(shù)的駐點. 注意：駐點僅是取得極值的必要條件，即函數(shù)在駐點不一定取得極值例如是函數(shù)的駐點，但并不是極值點3.極值的充分條件定理8.6.2(極值存在的充分條件)設(shè)為函數(shù)的駐點，且函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)記, ,則(1) 當(dāng)時，是函數(shù)的極值點；且若，為極小值點，若，為極大值點；(2) 當(dāng)時，不是函數(shù)的極值點；(3) 當(dāng)時，不能判定是否是函數(shù)的極值點例8.6.1求函數(shù)的極值解：解方程組，得駐點,所以在駐點處，有，則，又

25、，由取得極值的充分條件，可知點為極小值點，極小值為. 例8.6.2求函數(shù)極值 解：解方程組，得駐點, 對于駐點，有，則 ，可知駐點不是極值點.對于駐點，有，則 ，且顧由取得極值的充分條件，可知點為極小值點，極小值為.8.6.2 多元函數(shù)的最值對于一元函數(shù)而言，在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必有最值.對于二元函數(shù)也有類似的結(jié)論：在有界閉區(qū)域上連續(xù)的函數(shù)必定存在最大值和最小值.對于二元可微函數(shù)，如果該函數(shù)的最值在區(qū)域內(nèi)部取得，這個最值點必在函數(shù)的駐點之中；如果函數(shù)最值在區(qū)域的邊界上取得，則它一定也是函數(shù)在邊界上的最值.因此，求函數(shù)的最值的方法是：將函數(shù)在所討論的區(qū)域內(nèi)的所有駐點求出來，將函數(shù)在駐點處的函數(shù)值

26、與函數(shù)在邊界上的最大值和最小值進行比較，其中最大者就是函數(shù)在閉區(qū)域上的最大值，其中最小者就是函數(shù)在閉區(qū)域上的最小值. 例8.6.3求函數(shù)在閉區(qū)域上的最大值和最小值. 解：函數(shù)在閉區(qū)域上是連續(xù)的，最大值和最小值一定存在.，令，得駐點，且.考慮函數(shù)在區(qū)域邊界上的情況.區(qū)域邊界是一個圓，在邊界上，函數(shù)成為的一元函數(shù),.對此函數(shù)求導(dǎo)，有，令，得到函數(shù)在上的駐點為，此時相應(yīng)的函數(shù)值為，又，所以函數(shù)在閉區(qū)域上的最大值為，它在點和處取得；最小值為，它在點處取得.在實際問題中，常常從問題的本身能斷定它的最值肯定存在且在問題考慮范圍的內(nèi)部達到，這是如果函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)僅有唯一一個駐點，那么該駐點的函數(shù)值就是函數(shù)

27、的最大值或最小值例8.6.4欲做一個容量一定的長方體容器，問應(yīng)選擇怎樣的尺寸，才能使此容器的材料最?。拷?設(shè)箱子的長,寬,高分別為，容量為，則，箱子的表面積為要使使用的材料最少，則應(yīng)求S的最小值由于，所以，令 ，求得唯一的駐點根據(jù)問題的實際意義可知一定存在最小值，所以可以斷定即為的最小值點，即當(dāng)時，函數(shù)取得最小值此時，所以長方體實際上是正方體這表明在體積固定為長方體中，以正方體的表面積最小，最小值*8.6.3條件極值以上討論的極值問題，自變量在定義域內(nèi)可以任意取值，沒有受到任何限制，通常稱這樣的極值問題為無條件極值問題.但是，在實際問題中，求極值或最值時，對自變量的取值往往要附加一定的約束條件

28、，這類附有約束條件的極值問題，稱為條件極值.條件極值問題的一般提法是：求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的極值.求解這一條件極值問題的常用方法是拉格朗日乘數(shù)法.拉格朗日乘數(shù)法求極值的具體步驟如下：(1) 構(gòu)造輔助函數(shù)；(2) 求函數(shù)的駐點，即聯(lián)立解方程組：得到駐點；(3) 判別求出的是否為極值點，通常根據(jù)實際問題的實際意義去判定.例8.6.5試用條件極值的方法解決例8.6.4的問題解:設(shè)箱子的長、寬、高為，要求容量為，表面積為問題歸結(jié)為在約束條件下，求的極小值 令 ，解方程組 得因為實際問題有極小值，而可能達到極值的點又唯一，所以極小值必定在此點達到，即當(dāng)時表面積最小，最小值習(xí)題8-61.函數(shù)在適合條件時

29、的極大值.2.從斜邊長為的一切直角三角形中，求周長最大的直角三角形.3.求下列函數(shù)的極值.(1) (2)；(3）求在條件下的極小值.4.求函數(shù)的極值.5.求函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值.6.求曲面上在第一卦限中的一點，使它到原點的距離為最小.8.7軟件應(yīng)用8.7.1在中作二元函數(shù)的圖形1定義多元函數(shù)在中多元函數(shù)的定義方式與一元函數(shù)相同，如定義二元函數(shù)的命令格式：x_，y_：=.2二元函數(shù)的作圖用內(nèi)建函數(shù)來實現(xiàn)二元函數(shù)的作圖，命令格式：二元函數(shù)表達式，變量，下限，上限，變量，下限，上限，可選項，例8.7.1畫出函數(shù)z=sin(x y)的圖形.解:如圖8.7-1所示.圖8.7-18.7.2偏導(dǎo)數(shù)在中用內(nèi)建函數(shù)D來求偏導(dǎo)數(shù)，它的命令格式：(1),或，表示計算函數(shù)f關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)；(2),，表示計算函數(shù)f關(guān)于，,的混合偏導(dǎo)數(shù)；(3). ,，表示計算函數(shù)f關(guān)于x的n階偏導(dǎo)數(shù).例8.7.2設(shè)，求，.解：如圖8.7-2所示.圖8.7-2例8.7.3設(shè)，求對，