隨機(jī)事件的概率

1、隨機(jī)事件的概率.等可能性事件的概率.互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). 考試要求: (1)了解隨機(jī)事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的意義. (2)了解等可能性事件的概率的意義，會(huì)用排列組合的基本公式計(jì)算一些等可能性事件的概率. (3)了解互斥事件、相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用互斥事件的概率加法公式與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率. (4)會(huì)計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率. 6、概率與統(tǒng)計(jì) 考試內(nèi)容: 離散型隨機(jī)變量的分布列.離散型隨機(jī)變量的期望值和方差. 抽樣方法.總體分布的估計(jì).正態(tài)分布.線性回歸. 考試要求: (1)了解離散型

2、隨機(jī)變量的意義，會(huì)求出某些簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列. (2)了解離散型隨機(jī)變量的期望值、方差的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出期望值、方差. (3)會(huì)用隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層.抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本. (4)會(huì)用樣本頻率分布去估計(jì)總體分布. (5)了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì). (6)了解線性回歸的方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用- 二、高考數(shù)學(xué)試題對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)的考查特點(diǎn) 1、試題特點(diǎn) (1) 與教材聯(lián)系密切，有些試題是通過(guò)教材改編的問題或從實(shí)際生活中概括出來(lái)的，具有新的情境，并賦予時(shí)代的氣息，貼近學(xué)生的生活，并解決生產(chǎn)生活中的一些實(shí)際問題.如:天津卷理科第18題是有關(guān)投球問題、陜西卷

3、理科第18題是射擊問題、浙江卷理科第19題和湖北卷理科第17題都是取球問題，它們基本上是來(lái)自教材原題的改編，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重組，拓廣成為立意較高的題目;安徽卷文科第18題是有關(guān)學(xué)生普通話測(cè)試 的題目，海南寧夏卷文科第19題是有關(guān)道路交通法在中學(xué)生中的普及程度問題，貼近學(xué)生的實(shí)際生活;北京卷理科第17題和文科第18題以?shī)W運(yùn)志愿者為問題情境，山東卷理科第7題和第18題是分別以?shī)W運(yùn)志愿者和火炬手為情境的問題，具有很強(qiáng)的時(shí)代氣息;全國(guó)卷I理科第20題是有關(guān)患病動(dòng)物的化驗(yàn)問題，江西卷理科第18題是有關(guān)冰凍自然災(zāi)害問題，安徽卷理科第19題是有關(guān)綠化問題，全國(guó)卷理科第18題是有關(guān)保險(xiǎn)的問題等解決生產(chǎn)生活中

4、的一些實(shí)際問題.由此我們看到高考中出現(xiàn)的概率問題與其他題目有區(qū)別，其應(yīng)用性較強(qiáng). (2)所有的試題注重對(duì)概率中四個(gè)公式的考查:等可能性事件的概率、互斥事件的概率加法公式、獨(dú)立事件的概率乘法公式、事件在n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，及分布列和數(shù)學(xué)期望，并相應(yīng)地增加了對(duì)抽樣方法、直方圖、條形圖、頻率分布估計(jì)總體分布、線性回歸等方面的考查. (3)注重與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合.如: 浙江卷理科第19題和海南寧夏卷理科第19題都是與函數(shù)求最值綜合的問題;山東卷理科的第7題是與等差數(shù)列綜合的問題;廣東卷理科的第17題是與解不等式綜合的問題. (4)對(duì)分類討論思想的要求較高.分類討論是數(shù)學(xué)中非常重要的

5、一種數(shù)學(xué)思想，且在平時(shí)的生活中應(yīng)用較為廣泛，從高考數(shù)學(xué)試題來(lái)看，大部分的試題都需要分類討論且討論的層次較多.有時(shí)當(dāng)分類討論的情況較多時(shí)，要求學(xué)生會(huì)從事物的反面出發(fā)利用對(duì)立事件解決問題，可收到事半功倍的效果，這就要求學(xué)生思維具有一定的靈活性.三、各套高考數(shù)學(xué)試卷概率與統(tǒng)計(jì)專題分類詳解 (1) 考題具有時(shí)代氣息，增加了數(shù)學(xué)的趣味性與應(yīng)用性 例1、(北京卷理17) 甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被隨機(jī)地分到ABCD，四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者 （）求甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率； （）求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率； （）設(shè)隨機(jī)變量x為這五名志愿者中參加A崗位服務(wù)的人數(shù)，求x的

6、分布列 例2、(湖北卷文14) 明天上午李明要參加奧運(yùn)志愿者活動(dòng)，為了準(zhǔn)時(shí)起床，他用甲、乙兩個(gè)鬧鐘叫醒自己，假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是0.80，乙鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是0.90，則兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響的概率是 . 除了以上兩個(gè)例題與奧運(yùn)有關(guān)之外還有山東卷理科第7、18題分別是有關(guān)奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f和奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽的問題，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)的實(shí)用性和趣味性。 (2)以概率中四個(gè)典型的計(jì)算公式為核心，考查基礎(chǔ)知識(shí) 例3、(湖南卷理15) 對(duì)有n(n4)個(gè)元素的總體1,2,3,n進(jìn)行抽樣，先將總體分成兩個(gè)子總體1,2,，m和m+1、m+2,，n(m是給定的正整數(shù)，且22mn-),再?gòu)拿總€(gè)子總體中各隨機(jī)抽取2個(gè)元素組成

7、樣本，用ijp表示元素i和j同時(shí)出現(xiàn)在樣本中的概率，則1np= ;所有(1)ijpijn的和等于 . 例4、(湖南卷理16) 甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)每人面試合格的概率都是12，且面試是否合格互不影響.求：（）至少有1人面試合格的概率;（）簽約人數(shù)x的分布列和數(shù)學(xué)期望.例5、(山東卷理7) 在某地的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)中，有編號(hào)為12318L，的18名火炬手若從中任選3人，則選出的火炬手的編號(hào)能組成以3為公差的等差數(shù)列的概率為（ ） A151 B168 C1306 D1408

8、 例6、(山東卷理18) 甲、乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為23，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為221332，且各人回答正確與否相互之間沒有影響用x表示甲隊(duì)的總得分 （）求隨機(jī)變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望； （）用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求()PAB (3)對(duì)分類討論的要求較高 例7、(全國(guó)卷理20) 已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定患病的動(dòng)物血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為患病動(dòng)物，呈陰性即沒患病下面是兩種化驗(yàn)方法： 方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)

9、，直到能確定患病動(dòng)物為止 方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)若結(jié)果呈陽(yáng)性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn) （）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率； （）x表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求x的期望 例8、(江西卷理18) 因冰雪災(zāi)害，某柑桔基地果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果樹的方案，每種方案都需分兩年實(shí)施若實(shí)施方案一，預(yù)計(jì)第一年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.25倍、1倍的概率分別是0.5、0

10、.5若實(shí)施方案二，預(yù)計(jì)第一年可以使柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前的1.2倍、1倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.2倍、1倍的概率分別是0.4、0.6實(shí)施每種方案第一年與第二年相互獨(dú)立，令()1,2iix=表示方案i實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù) （1）寫出12,xx的分布列； （2）實(shí)施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大? （3）不管哪種方案，如果實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)不到、恰好達(dá)到、超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)利潤(rùn)分別為10萬(wàn)元、15萬(wàn)元、20萬(wàn)元問實(shí)施哪種方案的平均利潤(rùn)更大? (4)注重在與其他知識(shí)部分知識(shí)交匯處結(jié)合來(lái)考查學(xué)生的綜合能力 例9、(

11、遼寧卷理18) 某批發(fā)市場(chǎng)對(duì)某種商品的周銷售量(單位:噸)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),最近100周的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示: 周銷售量 2 3 4 頻數(shù) 20 50 30 根據(jù)上面統(tǒng)計(jì)結(jié)果,求周銷售量分別為2噸,3噸和4噸的頻率; 已知每噸該商品的銷售利潤(rùn)為2千元,x表示該種商品兩周銷售利潤(rùn)的和(單位:千元),若以上述頻率作為概率,且各周的銷售量相互獨(dú)立,求x的分布列和數(shù)學(xué)期望. 例10、(海南寧夏理19) AB，兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2根據(jù)市場(chǎng)分析，X1和X2的分布列分別為 X1 5 10 P 0.8 0.2 （）在AB，兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)

12、，求方差DY1，DY2； （）將(0100)xx萬(wàn)元投資A項(xiàng)目，100x-萬(wàn)元投資B項(xiàng)目，()fx表示投資A項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和求()fx的最小值，并指出x為何值時(shí)，()fx取到最小值 （注：2()DaXbaDX+=）例11、(浙江卷理19) 一個(gè)袋中裝有若干個(gè)大小相同的黑球，白球和紅球已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是25；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是79 （）若袋中共有10個(gè)球， 求白球的個(gè)數(shù)；從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為x，求隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望Ex （）求證：從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于710并指出

13、袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少 四、復(fù)習(xí)建議 概率等知識(shí)既是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，又是高考的重點(diǎn)，綜觀近幾年各地高考數(shù)學(xué)試題，概率是新課程高考的一大熱點(diǎn)和亮點(diǎn)，常與函數(shù)、數(shù)列、幾何、實(shí)際生活等內(nèi)容交叉滲透，使數(shù)學(xué)問題情境新穎別致.試題的難度由易向中等難度靠近，并逐步成為高考試卷中的主流應(yīng)用題.從學(xué)生答題情況看，概率試題失分率較大，表明學(xué)生對(duì)這一部分內(nèi)容掌握往往不到位，因此，在復(fù)習(xí)備考中，建議做到以下幾點(diǎn). 1.重視教材，回歸基礎(chǔ) 綜觀高考數(shù)學(xué)試卷中的概率統(tǒng)計(jì)試題，大多數(shù)試題是由教材例題和習(xí)題經(jīng)過(guò)組合、加工和拓展而成，充分體現(xiàn)出教材的基礎(chǔ)作用.復(fù)習(xí)階段要以課本的例題和習(xí)題為素材，舉一反三地類比高考試

14、題，力求對(duì)教材內(nèi)容融會(huì)貫通，收到事半功倍的效果.注重基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，從最基本的公式、定理人手，恰當(dāng)選取典型例題，構(gòu)建思維模式，造成思維依托和思維的合理定勢(shì).復(fù)習(xí)概率最重要的是搞清概念，弄懂過(guò)程，區(qū)分事件的種類，選擇相關(guān)的概率公式，同時(shí)要注意閱讀例題和習(xí)題的解答格式. 2.關(guān)注生活，注重聯(lián)系 高考中概率以考查實(shí)際問題為主，解決此類問題不能機(jī)械地套用模式，而要認(rèn)真分析，抽象出其中的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)加以解決. 2008年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷的概率問題是聚焦人民生活、百姓普遍關(guān)注和熟悉的保險(xiǎn)問題，引導(dǎo)學(xué)生深入社會(huì)實(shí)際，關(guān)注社會(huì)生活，在加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的同時(shí)，對(duì)隨機(jī)變量考查的

15、深度、難度明顯加強(qiáng)，思維價(jià)值高，需在深刻理解題意和數(shù)學(xué)期望概念的基礎(chǔ)上，運(yùn)用多種方法解決，著重考查了學(xué)生提煉數(shù)學(xué)模型、應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.從考生答題情況看，概率得分率明顯低于往年，原因在于讀不懂題目，不熟悉題目背景，缺乏語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力，不了解數(shù)學(xué)期望的實(shí)際意義.數(shù)學(xué)閱讀能力與語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力的形成不是一獻(xiàn)而就的，為此要注意復(fù)習(xí)中尋找或自行編制一些貼近生活的實(shí)際應(yīng)用題，重點(diǎn)抓好運(yùn)用概率知識(shí)解決生活中實(shí)際問題能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練. 3.強(qiáng)化思想，提煉方法 概率中蘊(yùn)含了許多重要的數(shù)學(xué)思想，如分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想，在復(fù)習(xí)中不可就題論題，將問題孤立，片面強(qiáng)調(diào)單一知識(shí)和題型，要注意對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的挖掘、提煉、總結(jié)，以增強(qiáng)分析問題和解決問題的能力.許多概率問題求解的關(guān)鍵在于利用轉(zhuǎn)化的思想，搞清文字如至少、至多、恰好、都發(fā)生、不都發(fā)生、都不發(fā)生等一類詞語(yǔ)的含義，把具有現(xiàn)實(shí)意義的事件轉(zhuǎn)化為容易列式求解的各種事件.分類討論思想在概率問題中體現(xiàn)較多，即把概率分成若干個(gè)分支的概率之和，其關(guān)