空間向量法解決立體幾何證明ppt課件

1、數(shù)學(xué)專題二1復(fù)習(xí):2. 向量的夾角:abOABab0ab ，ab ，向量 的夾角記作:ab與a b | | cos,aba b 1.空間向量的數(shù)量積:111222( , , ),( , )ax y z bx y z設(shè)12121 2x xy yz zcos| |a babab ，12121 2222222111222x xy yz zxyzxyz24.向量的模長:2222|aaxyz( , , )ax y z設(shè)3.有關(guān)性質(zhì):兩非零向量111222(,),(,)axyzbxyz12121 20 x xy yz z0aba b 35.5.共面向量定理共面向量定理: :如果兩個向量如果兩個向量 不共線

2、不共線, ,則向量則向量 與向量與向量 共面的充要共面的充要條件是存在實數(shù)對條件是存在實數(shù)對 使使 pOMabABAPp pxayb 4空間四點空間四點P、M、A、B共面共面 存存在在唯唯一一實數(shù)對實數(shù)對,xyMPxMAyMB （） 使得(1)OPxOMyOAzOBxyz 其其中中，推論推論: :5一一.引入兩個重要的空間向量引入兩個重要的空間向量 1.直線的方向向量直線的方向向量 把把與直線平行的向量都稱為與直線平行的向量都稱為直線的方向向直線的方向向量量.如圖如圖,在空間直角坐標(biāo)系中在空間直角坐標(biāo)系中,由由A(x1,y1,z1)與與B(x2,y2,z2)確定的直線確定的直線AB的方向向量的

3、方向向量是是212121(,)ABxx yy zz zxyAB62.平面的法向量 與平面與平面垂直的向量叫做平面垂直的向量叫做平面的的法向量法向量. n7oxyzABCO1A1B1C1例1. 如圖所示, 正方體的棱長為1(1)直線OA的一個方向向量坐標(biāo)為_(2)平面OABC 的一個法向量坐標(biāo)為_(3)平面AB1C 的一個法向量坐標(biāo)為_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)8910 練習(xí)練習(xí):在棱長為在棱長為2的正方體的正方體ABCD-A1B1C1D1中中,O是面是面AC的中心的中心,求面求面OA1D1的法向量的法向量. A AABCDOA1B1C1D1zxy11解：以解：以A為原點建立

4、空間直角坐標(biāo)系為原點建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,設(shè)平面設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為的法向量的法向量為n=(x,y,z), 那么那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1).取取z =120 xzy解得解得:2020 x yzx yz 得得:1OA1OD 由由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）12 練習(xí)練習(xí) 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，側(cè)棱正方形，側(cè)棱PD底面底面ABCD，PD=DC=1 ,E是是PC的中點，的中點， 求平面求平面EDB的一個法向量

5、的一個法向量.ABCDP PE E解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.(0,0,0),(0,0,1),1 1(0, )2 2PE依依題題意意得得D DB(1, 1，B(1, 1，0)0)1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)XYZ設(shè)平面設(shè)平面EDB的法向量為的法向量為( , ,1)nx y, nnDEDB 則1101, 1, 1220ynxy于是13二、立體幾何中的向量方法二、立體幾何中的向量方法平行關(guān)系平行關(guān)系14mlab一一. 平行關(guān)系：平行關(guān)系：15au16v u 17(1) lm0aba b 二、垂直關(guān)系：二、垂直關(guān)系：l

6、mab18(2) l /auau lauABC193 （）0uvu v u v 20 例例1 四棱錐四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形形, PD底面底面ABCD，PD=DC=6, E是是PB的的中點，中點，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求證：求證：AE/FG.ABCDP PG GXYZF FE EA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2), AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)32 AE =FGAE =FGAE/FG 證證 ：如圖所示：如圖所示, , 建立建立空間直角坐標(biāo)系空

7、間直角坐標(biāo)系. ./ AEFGAEFGAEAE與與FGFG不共線不共線幾何法呢？幾何法呢？21 例例2 四棱錐四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方形，方形，PD底面底面ABCD，PD=DC, E是是PC的的中點，中點， 求證：求證：PA/平面平面EDB.ABCDP PE EXYZG解解1 立體幾何法立體幾何法22ABCDP PE EXYZ解解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點D為坐標(biāo)原點，設(shè)為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=1證明：證明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0, ),2 2APE依依題題意意得得B(1, 1，B(1, 1，0)0)(1,0,

8、 1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0, )2 2DE DB =(1, 1，DB =(1, 1，0)0)設(shè)平面設(shè)平面EDB的法向量為的法向量為( , ,1)nx y, nnDEDB 則1101, 1, 1220ynxy于是0PA nPAn 23ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE，/MNCDE平平面面練練 如圖，已知矩形如圖，已知矩形和矩形和矩形所在平面相交于所在平面相交于ADAD，點，點分別在對角線分別在對角線上，且上，且求證：求證：ABCEFDMN24ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE，/MNCDE平平面面練練 如

9、圖，已知矩形如圖，已知矩形和矩形和矩形所在平面相交于所在平面相交于ADAD，點，點分別在對角線分別在對角線上，且上，且求證：求證：ABCEFDMN幾何法呢？幾何法呢？25ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBD ANAE，/MNCDE平平面面練練 如圖，已知矩形如圖，已知矩形和矩形和矩形所在平面相交于所在平面相交于ADAD，點，點分別在對角線分別在對角線上，且上，且求證：求證：2133DCDE MNMDDEEN 證明2233DBDEEA 22()()33DADCDEDADE ABCEFDMN MNDCDE 所以、共面/MNCDE故故平平面面MNCDE 但但平平面面幾何法呢？幾何法呢？

10、26 練習(xí)練習(xí) 棱長為棱長為a a 的正方體的正方體 中中,E,E、F F分別是棱分別是棱AB,OAAB,OA上的動點，且上的動點，且AF=BE,AF=BE,求證：求證： CBAOOABC OCBAOAB CEFZ11A FO Exy 解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AF=BE=b.1( , , )A a a a(0,0)Fab1(0,0, )Oa(, ,0)E ab a1(,)A Faba 1(, ,)O Eab aa 110A F O E 11A FO E 1A FO E27ABCDPEFXYZ-, ,. (2) :.PABCDABCDPDABCD PDDCEPCEFPBPBFPBEFD

11、 例例2 2. . 四四棱棱錐錐中中 底底面面是是正正方方形形底底面面點點是是的的中中點點 作作交交于于點點求求證證平平面面 證1：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.)1,1 ,1(PB021210故DEPB)21,21,0(DEDEPB 所以,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以28ABCDPEFXYZ-, ,:.PABCDABCDPDABCD PDDCEPCEFPBPBFPBEFD 例例2 2. . 四四棱棱錐錐中中底底面面是是正正方方形形底底面面點點是是的的中中點點作作交交于于點點求求證證平平面面 證2：29,E,E是是AA1 1中點，中點，1111DCBAABCD 例例3

12、 3 正方體正方體平面平面C1 1BD. 證明：證明：E求證：求證：平面平面EBD設(shè)正方體棱長為設(shè)正方體棱長為2, 建立如圖所示坐標(biāo)系建立如圖所示坐標(biāo)系平面平面C1BD的一個法向量是的一個法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)(2,0, 1)EB (0,2, 1)ED 設(shè)平面設(shè)平面EBD的一個法向量是的一個法向量是( , ,1)ux y0u EBu ED 由1 1(,1)2 2u 得1( 1, 1,1)vCA 0,u v 平面平面C1 1BD. 平面平面EBD30 證明證明2：E,E,E是是AA1 1中點，中點，1111DCBAABCD 例例3 3 正方體正方體平面平面C1 1BD. 求證：求證：平面平面EBD31-,:P ABCDABCDPDABCD GPB 練練習(xí)習(xí) 四四棱棱錐錐中中 底底面面是是正正方方形形底底面面是是上上的的點點求求證證 平平面面GACGAC平平面面PDBPDBABCDPXYZG32 例例4棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分別是AC,CC1的中點,求證: (1)A1E 平面DBC1; (2)AB1 平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy33 解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則 A(-1,0,0)