空間向量和立體幾何知識(shí)點(diǎn)和例題

1、空間向量與立體幾何知方法總結(jié)知識(shí)要點(diǎn)。1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示+同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量（2）向量具有平移不變性2. 空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）Ga*AB = a b ；運(yùn)算律：加法交換律：ab aa( R)加法結(jié)合律：（a b） c二a （b c）數(shù)乘分配律： （a b）二 a b運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行 向量，a平行于b

2、，記作a / b。矚慫潤(rùn)厲釤瘞睞櫪廡賴(lài)。（2） 共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量 a、b （ b豐0 ），a / b存在實(shí)數(shù)人使a =Ab。（3） 三點(diǎn)共線：A、B、C三點(diǎn)共線v=> ABAC<=> 0C 二 xOA yOB（其中x y = 1）（4）與a共線的單位向量為4. 共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的。彳彳（2） 共面向量定理：如果兩個(gè)向量 a,b不共線，p與向量a,b共面的條件是存在實(shí)數(shù) x, y使44 Tp = xa yb。（3）四點(diǎn)共面：若a、b、c、P四點(diǎn)共面<=> AP二xAB yA

3、C<=> OP = xOA yOB 彳 zOC（其中 x y z = 1）彳5. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量 a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量 p，存在一個(gè)唯一的有 序?qū)崝?shù)組x, y，z，使x yb zc。若三向量a,b,c不共面，我們把a(bǔ),b,c叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c叫做基向量，空間任意 三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。聞創(chuàng)溝燴鐺險(xiǎn)愛(ài)氌譴凈。推論：設(shè)O,使 OP = xOA是不共面的四點(diǎn)，貝U對(duì)空間任一點(diǎn)：zOC。p，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x, y, z ,6. 空間向量的直角坐標(biāo)系：(1)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系O - xyz中，對(duì)空

4、間任一點(diǎn)A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x, y,z)，使OA =xi yi zk，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量A在空間直角 坐標(biāo)系O xyz中的坐標(biāo)，記作 A(x, y,z)， x叫橫坐標(biāo)， y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。殘騖樓諍錈瀨濟(jì)溆塹籟。注：點(diǎn)A (x,y,z)關(guān)于x軸的的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x,-y,-z),關(guān)于xoy平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x,y,-z).即點(diǎn)關(guān)于什么軸 /平面對(duì)稱(chēng)，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。在y軸上的點(diǎn)設(shè)為(0,y,0),在平面yOz中的點(diǎn)設(shè)為(0,y,z) 釅錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐。4*(2)若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為i，這個(gè)基底叫單位正交基底，用i, j, k表示

5、。空間中任一向量= xP yj zk = (x,y,z)彈貿(mào)攝爾霽斃攬磚鹵廡。(3) 空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：呻片若a = (ai,a2,a3)，b = QbQ)，則b =佝九還鳥(niǎo)總戈)， $ J =佝 - $,已2 一 bzd - b3),a = ( aa?, a?"R)，a bj aiE azd asb?，單/叮 ai 二 ma?二 b2,a3 二 d( R)，a _ b = a1b1 a2b2= 0。. 若 A(Xi,yi,zJ，B(X2,y2,Z2)，則 AB = (x? - N, y? 一 %厶-乙)。o，B(X2,y2,Z2)， ap 八 pb，則點(diǎn) p 坐標(biāo)為一個(gè)向量

6、在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo) 定比分點(diǎn)公式：若A(Xi, yi, zj（x,y,z）則（x-X-,z-乙）=丸（屜-x$2 - y,z2- z）,zxiX2 % y2 zi Z2、 “(-2, -2,2)。推導(dǎo)：設(shè) piiiXj + x2 yj + y2顯然，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，P( 12z +z2)2 2 2、32厶ABC的五心： ABC中，A (xi，yi，z)月區(qū)必衛(wèi)山區(qū)小,)，三角形重心p坐標(biāo)為 p ( xi x2 x3 yi y2 y3 W z2 z3內(nèi)心P:內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)。外心P:外接圓的圓心，中垂線的交點(diǎn)。)(單位向量)垂心

7、重心P：高的交點(diǎn)：PA-PB二PA-PC二PB PC (移項(xiàng)，內(nèi)積為o,則垂直) 1(AB AC)3P：中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)(中位線比)AP中心：正三角形的所有心的合一。扌(4)模長(zhǎng)公式：若(a1, a2,a3)， b = (bl,b2,b3)，TO?則a=2 , 2, 2b2ba22歹a2aa , b 卜a ba-jti a2b2 a3b3a b . a12 - a22 a3 b12 b22 b32 ABC中ABAC 0 <=>A為銳角ABAC ： 0 <=>A為鈍角，鈍角 (6)兩點(diǎn)間的距離公式：若 A(x1, y1,zl)， B(x2,y2,z2)，則 AB 卜A

8、B 二，'(X2 -xj2 M -)2 Z -乙)2，(5)夾角公式：cos a b2 2a2aa或 d A,B =« 'Xi) (y2 yi) (Z2 Zi)7.空間向量的數(shù)量積。(1)空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a, 則.AOB叫做向量a與b的夾角，記作*，在空間任取一點(diǎn)o,作,b ；且規(guī)定0a< ji,顯然有:a,b = ： b,a ;若：:a, =-，貝U稱(chēng)a與b互相垂直，記作：a_ b。謀養(yǎng)摶篋飆鐸懟類(lèi)蔣薔。(2)向量的模：設(shè)O=a，則有向線段OA的長(zhǎng)度叫做向量a的長(zhǎng)度或模，記作：a。量積：已知向量 a,b，則abCOS ： a,b 叫做a,

9、b的數(shù)量積，記作a b，即a b = a b cos a,b 。(4)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： a e = a cos a,e 。(5)空間向量數(shù)量積運(yùn)算律 C(a b)=a (b c a b a c (分配律)。ab=。冷鳥(niǎo)；。(b)。a b a (交換律)。不滿足乘法結(jié)合率：(a，b)c = a(b c)二.空間向量與立體幾何（高考答題必考）1線線平行U兩線的方向向量平行1- 1線面平行二 線的方向向量與面的法向量垂直1- 2面面平行二 兩面的法向量平行2線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直2- 1線面垂直二 線與面的法向量平行2-2面面垂直=兩面的法向量垂直3線線夾角二兩條異面直線所成

10、的角：1、定義：設(shè)a b是兩條異面直線，過(guò)空間任一點(diǎn) 0作直線/dbS/b，則a/與b，所夾的銳角或直 角叫做a與b所成的角.0<Q <-cos： -|cos T二：，則有a2、 范圍：兩異面直線所成角9的取值范圍是2+ +3、向量求法：設(shè)直線a、b的方向向量為a、b，其夾角為4、注意：兩異面直線所成的角可以通過(guò)這兩條直線的方向向量的夾角來(lái)求得，但兩者不完全相等, 當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角.廈礴懇蹣駢時(shí)盡繼價(jià)騷。3- 2線面夾角 珂0°,90°:求線面夾角的步驟：先求線的方向向量AP與面的法向量n的夾角，若為銳角角即可，若為鈍

11、角，貝U取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾角.sin日=cos AP,n >,0蘭日蘭一 煢楨廣鰳鯡選塊網(wǎng)羈淚23-3面面夾角（二面角）二0°,180°: （1）若AB、CD分別是二面角的兩個(gè)面內(nèi)與棱I垂 T T直的異面直線，則二面角的大小就是向量 AB與CD的夾角（如圖（a） 所示）.鵝婭盡損鶴慘歷蘢鴛賴(lài)。（2）設(shè)ni、n2是二面角T - '的兩個(gè)角a、B的法向量，則向量ni與陽(yáng)的夾角（或其補(bǔ)角）就 是二面角的平面角的大?。ㄈ鐖D（b）所示）.籟叢媽羥為贍債蟶練淨(jìng)。若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量ni,n2的夾角；法向量同進(jìn)同出，貝面角等于法向量的

12、夾角的補(bǔ)角.cos二 cos”： n1,n24點(diǎn)面距離h :如圖(a)所示，BO丄平面a，垂足為O,則點(diǎn)B到平面a的距離就是線段BO的長(zhǎng)度.若AB是 平面a的任一條斜線段，預(yù)頌圣鉉儐歲齦訝驊糴。則在Rt BOA中， BO = BA'co%dABO=O 二'b' BO cos. ABOBO如果令平面a的法向量為n,考慮到法向量的方向，可以得到B點(diǎn)到平面a的距離為h=BO =4- 1線面距離(線面4-2面面距離(面面平行)：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離應(yīng)用舉例:例1:如右下圖，在長(zhǎng)方體 ABCA1B1C1D中， =3, AA二2. E、F分別是線段 AB BC上的點(diǎn)， 嗆儼勻諤鱉調(diào)硯錦。

13、(1) 求二面角C- DE- C的正切值；(2) 求直線EG與FD所成的余弦值.解：(I )以A為原點(diǎn)，AB, AD, AA分別為X軸，面距離ab n平行):轉(zhuǎn)化為點(diǎn)已知 AB= 4, AD 且EB= FB=1滲釤y軸,z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系,則 D(0,3,0)、D(0,3,2) 、E(3,0,0)、F(4,1,0)、 C(4,3,2)TT于是，DEj (3, -3,0), EG =(1,3,2), FD1 =(-4,2,2)詁設(shè)法向量n =(x,y,2)與平面CDE垂直，則有n DE T卜n _ EC1一 3x 3y = 0 一=x = y = -1x +3y +2z =0n = (

14、-1, 1,2),4：向量AA(0, 0, 2)與平面 CDE垂直，.n與AA1所成的角二為二面角C-DE-&的平面角3-1 0 T 02 2| n | | AA |、114，004tan v2(II )設(shè)EG與FD所成角為B，則EC FDcos旨 |ECi 卜 |FDi |1 x(T) +3 乂 2 +2漢2：2 2 2 2 2 2132,(-4)22,2114A1z1/C/A.：:：£.D ,E1/Fc例2:如圖，已知四棱錐P-ABCD底面ABC是菱形,/ DAB=60, PD丄平面 ABCDPD二AD點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為PD中點(diǎn)。鐃誅臥瀉噦圣騁貺頂廡。(1)證明平面P

15、EDL平面PAB(2)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值證明：(1)v面 ABCD是菱形，/ DAB=60, ABD是等邊三角形，又E是AB中點(diǎn)，連結(jié)BD/ EDB=30,/ BDC=6&,./ EDC=90如圖建立坐標(biāo)系 D-ECP設(shè)AD=AB=1貝S PF=FD=* , ED3 ,2 2二 P (0, 0,1) , e(¥ , 0, 0), B( ¥, i, 0) PB= (221 "1), PE=(乎,0, -1),平面PED的一個(gè)法向量為DC = (0, 1,0)，設(shè)平面PAB的法向量為n= (X, y, 1) J3 1丄PB(xy"；

16、 ,2,*°由2 2=ln 丄 PE(x,y,1)(¥,0, 1) = 01 “ cx y -1 = 02仝 x-1=02_2_x 一(V3y = 02n = ( , 0, 1)/ DC n=0 即 DC 丄 n 平面 PEDL平面 PAB解：由(1)知平面PAB勺法向量為n =oT(2二，0, 1),設(shè)平面 FAB的法向量為 n1=(X, y, -1), 、3擁締鳳襪備訊顎輪爛薔。-2),FE =(子,0,冷),由 T-FBh _ FE二嚴(yán)T爛沁* (x,y,1)(¥,0,1)=0亦1+ 1cx -y+ -= 022 217310x 022V3(=0由(&quo

17、t;知：F( 0, 0, 2 )FB=( f ,11 5聽(tīng)=14 n1=(" .3, °,-1)二面角P-AB-F的平面角的余弦值cos 0 = |cos<例3:在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-AB1C1D中 C是正方形ABGDi的中心，點(diǎn)P在棱CC上,且CO4CP.贓熱俁閫歲匱閶鄴鎵騷。(I )求直線AP與平面BCGB1所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；(II )設(shè)O點(diǎn)在平面DAP上的射影是H,求證：DIAP；(皿)求點(diǎn)P到平面ABD的距離. 解：(I )如圖建立坐標(biāo)系D-ACD,T棱長(zhǎng)為4 M4, 0, 0) , B (4 , 4 , 0),匕(0 , 4 ,

18、 1) AP = (-4, 4, 1),顯然 DC = (0 , 4 , 0)為平面BCGB1的一個(gè)法向量二直線AP與平面BCGB1所成的角B的正弦值 sin 0 =|cos<Ap, DC>|= J42 + 42 +1 丁4233pD-yz* XT0為銳角，直線AP與平面BCGB所成的角0為arcsin 侶,33(皿)設(shè)平面ABD的法向量為丄=(x, y, 1),T AB= (0, 4, 0), AD1= (-4 , 0, 4) AB , n 丄 Ad1 得 y =04x + 4 = 0n=( 1, 0, 1),點(diǎn)P到平面ABD的距離d =AP n 372與BiC的距離壇搏鄉(xiāng)囂懺蔞鍥鈴氈淚。解：如圖,建立坐標(biāo)系 D-ACD,則0( 1, 1,C(0，2, 0)(2, 2, 3), - AO =(T,1,-3) BC =(-2,0,-3)tABi =(0,2,0)設(shè)AiO與BC的公共法向量為n = (x,y,1)，則x = -3:A°=(x, y,1)(-1,1,-3)=0 二！-X y-3=0=2:_EC(x,y,1)(-2,0,-3)=0一 -2x-3 =