難點04三個“二次”及關系doc

1、難點 4三個“二次”及關系三個“二次” 即一元二次函數、一元二次方程、 一元二次不等式是中學數學的重要內容，具有豐富的內涵和密切的聯(lián)系，同時也是研究包含二次曲線在內的許多內容的工具.高考試題中近一半的試題與這三個“二次”問題有關.本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數、方程及不等式的思想和方法.難點磁場2已知對于x 的所有實數值，二次函數f(x)=x 4ax+2 a+12(a R)的值都是非負的，求關于 x 的方程x=|a 1|+2的根的取值范圍 .a2案例探究例1已知二次函數2和一次函數g(x)= bx，其中a 、 b、 c 滿足f(x)=ax +bx+ca>b>c

2、,a+b+c=0,( a,b,c R).(1)求證：兩函數的圖象交于不同的兩點A、 B；(2)求線段 AB 在 x 軸上的射影A1B1 的長的取值范圍.命題意圖：本題主要考查考生對函數中函數與方程思想的運用能力.屬于題目.知識依托：解答本題的閃光點是熟練應用方程的知識來解決問題及數與形的完美結合.錯解分析：由于此題表面上重在“形”，因而本題難點就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解問題的突破口，而忽略了“數”.技巧與方法：利用方程思想巧妙轉化.(1)證明：由yax2bxc 消去 y 得 ax2+2bx+c=0ybx2222c23 2=4b 4ac=4( a c) 4ac=4( a +a

3、c+c )=4 (a+)c 24 a+b+c=0,a>b>c, a>0,c<032>0,即兩函數的圖象交于不同的兩點 .4c >0,(2)解：設方程 ax2+bx+c=0 的兩根為 x1 和 x2,則 x1+x2=2b,x1x2= c .aa|A1B1|2=(x1 x2 )2=(x1+x2)2 4x1x2(2b) 24c4b24ac 4(a c) 24acaaa 2a24( c ) 2c14( c1 ) 23aaa24 a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0 a>a c>c,解得 c ( 2, 1 )a2 f ( c

4、)4( c ) 2c1 的對稱軸方程是c1.aaaa2c ( 2, 1 )時，為減函數a 2 |A1B1|2 (3,12), 故 |A1B1 |(3,23 ).例 2已知關于x 的二次方程2x +2 mx+2m+1=0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間( 1， 0)內，另一根在區(qū)間(1， 2)內，求 m 的范圍 .(2)若方程兩根均在區(qū)間(0， 1)內，求 m 的范圍 .命題意圖：本題重點考查方程的根的分布問題，屬級題目.知識依托：解答本題的閃光點是熟知方程的根對于二次函數性質所具有的意義.錯解分析：用二次函數的性質對方程的根進行限制時，條件不嚴謹是解答本題的難點 .技巧與方法： 設出二次方

5、程對應的函數， 可畫出相應的示意圖，然后用函數性質加以限制 .解：(1) 條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1 與 x 軸的交點分別在區(qū)間 ( 1， 0)和 (1，2) 內，畫出示意圖，得m1f ( 0)2m10,2mR,f ( 1)20,1 ,f (1)4m20,mf ( 2)6m5025m65 1 m.6 2f (0)0,f (1)0,(2)據拋物線與x 軸交點落在區(qū)間(0，1)內，列不等式組0,0m1m 1 ,2m 1 ,2m12或 m 1 2,1m0.(這里 0<m<1 是因為對稱軸x=m 應在區(qū)間 (0， 1)內通過 )錦囊妙計1.二次函數的基本性質(1)二次函

6、數的三種表示法：y=ax2+bx+c;y=a(x x1)( xx2);y=a(x x0)2 +n.(2)當 a>0,f(x)在區(qū)間 p,q上的最大值M，最小值m,令 x0= 1(p+q).2若b <p,則 f(p)=m,f(q)=M;2a若 pb <x0,則 f( b )=m,f(q)= M;2a2a若 x0 b <q,則 f(p)=M,f( b )=m;2a2a若b q,則 f(p)=M,f(q)=m.2a2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0 的實根分布及條件.(1)方程 f(x)=0 的兩根中一根比r 大，另一根比r 小a· f(r)<0;b2

7、4ac0,(2)二次方程f(x)=0 的兩根都大于br ,r2aa f ( r )0b 24ac 0,pbq,(3)二次方程2af(x)=0 在區(qū)間 (p,q)內有兩根af (q)0,af ( p)0;(4)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內只有一根f( p) · f(q)<0, 或f(p)=0( 檢驗 )或f(q)=0( 檢驗 )檢驗另一根若在(p,q)內成立 .(5)方程 f(x)=0 兩根的一根大于a f ( p) 0p,另一根小于 q( p<q).a f ( q)03.二次不等式轉化策略2的解集是： ( , ) ,+ )a<0 且(1) 二次不等 式 f

8、(x)=ax +bx+c 0f( )=f( )=0;(2)當 a>0 時， f( )<f( )| +bbb|<| +|,當 a<0 時， f( )<f( ) | +|>2a2a2ab| +|;b(3) 當a>0 時 ， 二 次 不 等 式 f(x)>0 在 p,q 恒 成 立 2a p, 或 f ( p) 0,pbq,bp;2a或2af (b ) 0,f ( q) 0;2a(4)f(x)>0 恒成立a 0,或 ab 0, f ( x) 0恒成立a 0,或 ab 00,c0;0, c0.殲滅難點訓練一、選擇題1.( )若不等式 (a2)x2+

9、2( a 2)x 4<0 對一切 x R 恒成立，則a 的取值范圍是()A.( ,2 B. 2,2 C.( 2,2 D.( ,2)2.( )設二次函數f(x)=x2 x+a(a>0), 若 f(m)<0,則 f( m 1)的值為 ()A. 正數B.負數C.非負數D.正數、負數和零都有可能二、填空題3.( )已知二次函數f(x)=4 x2 2(p 2)x 2p2 p+1,若在區(qū)間1， 1內至少存在一個實數c,使 f(c)>0, 則實數 p 的取值范圍是 _.4.( )二次函數 f(x)的二次項系數為正，且對任意實數x 恒有 f(2+x)= f(2 x),若f(1 2x2)

10、<f(1+2x x2), 則 x 的取值范圍是 _.三、解答題tlog ay(a>0且 a 1)5.( )已知實數 t 滿足關系式 log a3a3(1)令 t= ax,求 y=f(x)的表達式；a(2)若 x (0,2 時， y 有最小值8，求 a 和 x 的值 .6.( )如果二次函數y=mx2+(m 3)x+1 的圖象與 x 軸的交點至少有一個在原點的右側，試求 m 的取值范圍 .7.( )二次函數2滿足pqrf(x)=px +qx+r 中實數 p、q、 rm 2m=0,其中1 mm>0, 求證：m)<0;(1)pf(m1(2)方程 f(x)=0 在(0， 1)內

11、恒有解 .8.( )一個小服裝廠生產某種風衣，月銷售量 x(件 )與售價 P(元 /件 )之間的關系為P=1602x,生產 x 件的成本 R=500+30x 元 .(1)該廠的月產量多大時，月獲得的利潤不少于1300 元？(2)當月產量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？參考答案難點磁場解：由條件知 0,即 ( 4a） 24(2a+12) 0, 3 a 22(1)當3 a 1 時，原方程化為： x=a2+a+6, a2+a+6= (a1)2 +25.224 a= 3 時， xmin= 9 ,a= 1 時， xmax= 25 .2424 9 x 25 .44(2)當 1 a 2 時， x

12、=a2+3a+2=( a+ 3 )2 124當 a=1 時， xmin=6, 當 a=2 時， xmax=12, 6 x12.綜上所述 , 9 x 12.4殲滅難點訓練一、 1.解析：當a 2=0 即 a=2 時,不等式為 4 0,恒成立 . a=2,當 a2 0 時，則a滿足a 2 0,解得 2 a 2,所以 a 的范圍是 2 a2.0答案： C2.解析： f( x)=x2 x+a 的對稱軸為 x= 1,且 f(1)>0, 則 f(0)>0, 而 f(m)0, m (0,1),2 m 1 0,f(m 1)>0.答案： A二、 3.解析：只需f(1)= 2p2 3p+9>

13、;0 或 f( 1)= 2p2 +p+1>0 即 3 p 3 或 1 p22 1. p ( 3, 3 ).2答案： (3， 3 ）24.解析：由f(2+x)=f(2 x)知 x=2 為對稱軸，由于距對稱軸較近的點的縱坐標較小， |1 2x2 2| |1+2x x2 2|, 2 x 0.答案： 2 x 0三、 5.解： (1）由 logaty 得 log at 3=log t y 3log t aa3log t a 3xlog a y3,由 t=a知 x=log at，代入上式得 x 3=xx logay=x2 3x+3，即 y=a x23x 3(x 0).2323u(2)令 u=x 3x

14、+3=( x2) +(x 0),則 y=a4若 0 a 1,要使 y=au 有最小值8，則 u=(x323在 (0， 2 上應有最大值，但u 在 (0， 2 上不存在最大值 .2) +4若 a>1,要使 y=au 有最小值8，則 u=( x 3)2+3,x (0,2 應有最小值24當 x= 3 時， umi n =33,ymi n= a 4243由 a 4 =8 得 a=16.所求 a=16,x= 3 .26.解： f(0)=1>0(1)當 m0 時，二次函數圖象與x 軸有兩個交點且分別在y 軸兩側，符合題意.0(2）當 m>0 時，則 3 m解得 0 m 1m0綜上所述，

15、m 的取值范圍是 m|m 1 且 m 0.7.證明： (1) pf ( m)p p(m) 2q(m)r m1m 1m1pmpmqr pmpmp(m 1) 2m 1 m( m 1) 2m2p 2m m( m2) (m1)2( m1) 2 ( m2)pm21,由于 f(x)是二次函數，故p 0,又 m>0, 所以， pf(m) 0.( m 1) 2 ( m 2)m1(2)由題意，得 f(0)= r ,f(1)= p+q+r當 p 0 時，由 (1）知 f(m) 0m1若 r>0, 則 f(0)>0, 又 f(m) 0,所以 f(x)=0m)內有解 ;在 (0，m 1m 1若 r 0,則 f(1)= p+q+r=p+(m+1)=( prpr2)+ r =>0,mmm2 m又 f(m)0,所以 f(x)=0在 (m,1)內有解 .m1m1當 p 0 時同理可證 .8.解： (1）設該廠的月獲利為