整式的乘法與因式分解培優(yōu)

1、第二章 整式的乘法【知識點歸納】1.同底數(shù)冪相乘， 不變， 相加。an.am= (m,n是正整數(shù))2.冪的乘方， 不變， 相乘。(an)m= (m,n是正整數(shù))3.積的乘方，等于把 ，再把所得的冪 。 (ab)n= (n是正整數(shù))4.單項式與單項式相乘，把它們的 、 分別相乘。5.單項式與多項式相乘，先用單項式 ，再把所得的積 ，a（m+n）= 6.多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘 ，再把所得的積 ，（a+b）（m+n）= 。7.平方差公式，即兩個數(shù)的 與這兩個數(shù)的 的積等于這兩個數(shù)的平方差（a+b）（a-b）= 8.完全平方公式，即兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的 ，加（或減

2、）它們的積的 。（a+b）2= ,（a-b）2= 。9.公式的靈活變形：（a+b）2+（a-b）2= ，（a+b）2-（a-b）2= ，a2+b2=（a+b）2- ，a2+b2=（a-b）2+ ，（a+b）2=（a-b）2+ ，（a-b）2=（a+b）2- ?！纠?】若代數(shù)式的值與字母的取值無關(guān)，求代數(shù)式的值【例2】已知兩個多項式和，試判斷是否存在整數(shù)，使是五次六項式？【例3】已知為自然數(shù)，且，當(dāng)時，求的所有值中最大的一個是多少？【例4】如果代數(shù)式當(dāng)時的值為,那么當(dāng)時,該式的值是 .【例5】已知為實數(shù),且使,求的值.【例6】（1）已知2x+2=a，用含a的代數(shù)式表示2x； （2）已知x=3m+

3、2，y=9m+3m，試用含x的代數(shù)式表示y【例7】我們知道多項式的乘法可以利用圖形的面積進行解釋，如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就能用圖1或圖2等圖形的面積表示：（1）請你寫出圖3所表示的一個等式： （2）試畫出一個圖形，使它的面積能表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2【例8】歸納與猜想：（1）計算：（x1）（x+1）= ；（x1）（x2+x+1）= ；（x1）（x3+x2+x+1）= ；（2）根據(jù)以上結(jié)果，寫出下列各式的結(jié)果（x1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；（x1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；（3）（x1）

4、（xn1+xn2+xn3+x2+x+1）= （n為整數(shù)）；（4）若（x1）m=x151，則m= ；（5）根據(jù)猜想的規(guī)律，計算：226+225+2+1【例9】認(rèn)真閱讀材料，然后回答問題：我們初中學(xué)習(xí)了多項式的運算法則，相應(yīng)的，我們可以計算出多項式的展開式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，下面我們依次對（a+b）n展開式的各項系數(shù)進一步研究發(fā)現(xiàn)，n取正整數(shù)時可以單獨列成表中的形式：上面的多項式展開系數(shù)表稱為“楊輝三角形”；仔細(xì)觀察“楊輝三角形”，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問題：（1）多項式（a+b）n的展

5、開式是一個幾次幾項式？并預(yù)測第三項的系數(shù)；（2）推斷出多項式（a+b）n（n取正整數(shù)）的展開式的各項系數(shù)之和為S，（結(jié)果用含字母n的代數(shù)式表示） 課后作業(yè)：1、若，求的值。2、在的積中，不含有項，則必須為 。3、已知的結(jié)果是 。4、已知的值為 。5、已知的值等于 。6、已知，則= 。7、若的值為 。8、當(dāng)時，代數(shù)式的值等于，那么當(dāng)時，代數(shù)式的值 .9、已知，求多項式的值為。10、已知均不為，且，那么的值是多少？“整體思想”在整式運算中的運用1、當(dāng)代數(shù)式的值為7時,求代數(shù)式的值.2、 已知，求：代數(shù)式的值。3、已知，求的值.4、若a22a+1=0求代數(shù)式的值5、先化簡，再求值：(1) ，其中x=

6、-2,y=-3(2) 第四講 乘法公式（1）公式的逆用1、已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值2、 已知，都是有理數(shù)，求的值。3、已知 求與的值。4、已知求與的值。5、已知，求的值。6、，求（1）（2）7、試說明不論x,y取何值，代數(shù)式的值總是正數(shù)。8、已知三角形ABC的三邊長分別為a,b,c且a,b,c滿足等式，請說明該三角形是什么三角形？9、計算（1）（xy）（x+y）（x2+y2） （2）（a2b+c）（a+2bc）（3）（ab+cd）（cadb）； （4）（x+2y）（x2y）（x48x2y2+16y4）10、已，求下列各式的值：（1）； （2）第五講 乘法公式（2）例

7、1 已知a-b=2,b-c=1,求代數(shù)式的值。例2 已知a、b、c為有理數(shù)，且滿足的值。例3 已知試求下列各式的值： （1） （2） (3) 例4 已知x、y滿足x2十y2十2x十y，求代數(shù)式的值例5 已知a、b、c均為正整數(shù)，且滿足，又a為質(zhì)數(shù) 證明：(1)b與c兩數(shù)必為一奇一偶； (2)2(a+b+1)是完全平方數(shù)鞏固練習(xí)1、 若的值為 2、如果： 3、計算：= 4、若是一個完全平方式，則的值為 。5、當(dāng)= ，= 時，多項式有最小值，此時這個最小值是 。6、的個位數(shù)字是 。7、若的值是 。8、計算的結(jié)果為 。9、若的值為 。10、多項式是一個六次四項式，則 。11、若代數(shù)式的值為0，則 ，

8、 。12、已知, 求 的值 13、已知a,b,c是三角形的三邊，且a2+b2+c2=ab=bc+ca,試判斷三角形的形狀14、已知的值四 作業(yè)1觀察下列各式： (x一1)(x+1)x2一l； (x一1)(x2+x+1)=x3一1； (x一1)(x3十x2+x+1)=x4一1 根據(jù)前面的規(guī)律可得 (x一1)(x n+x n-1+x+1)= 2已知，則= 3計算： (1)19492一19502+19512一19522+19972一19982+19992 = (2) 4如圖是用四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請利用圖中空白部分的面積的不同表示方法寫出一個關(guān)于a、b的恒等式 5已知，則= 6已知，則代數(shù)

9、式的值為( ) A一15 B一2 C一6 D67乘積等于( )A B C D8若，則的值是( ) A4 B20022 C 22002 D420029若，則的個位數(shù)字是( ) A1 B3 C 5 D710如圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一個矩形(如圖)，通過計算兩個圖形(陰影部分)的面積，驗證了一個等式，則這個等式是( )A BC D 11(1)設(shè)x+2z3y，試判斷x2一9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否則請說明理由(2)已知x2一2x=2，將下式先化簡，再求值：(x1)2+(x+3)(x一3)+(x一3)(

10、x一1)12一個自然數(shù)減去45后是一個完全平方數(shù)，這個自然數(shù)加上44后仍是一個完全平方數(shù)，試求這個自然數(shù)13觀察： (1)請寫出一個具有普遍性的結(jié)論，并給出證明； (2)根據(jù)(1)，計算2000×2001×2002×2003+1的結(jié)果(用一個最簡式子表示)14你能很快算出19952嗎? 為了解決這個問題，我們考察個位上的數(shù)字為5的自然數(shù)的平方，任意一個個位數(shù)為5的自然數(shù)可寫成l0n+5(n為自然數(shù))，即求(10n+5)2的值，試分析 n=1，n=2，n3這些簡單情形，從中探索其規(guī)律，并歸納猜想出結(jié)論(1)通過計算，探索規(guī)律 152 =225可寫成100×

11、1×(1+1)+25；252=625可寫成100×2×(2+1)+25；352=1225可寫成100× 3×(3+1)+25；4522025可寫成100×4×(4+1)+25；7525625可寫成 ；8527225可寫成 (2)從第(1)題的結(jié)果，歸納、猜想得(10n+5)2= (3)根據(jù)上面的歸納猜想，請算出19952 第3章 因式分解【知識點歸納】1.把一個多項式表示成若干個 的形式，稱為把這個多項式因式分解。（因式分解三注意：1.乘積形式；2.恒等變形；3.分解徹底。）2.幾個多項式的 稱為它們的公因式。3.如果一個多

12、項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到 外面，這種把多項式因式分解的方法叫做提公因式法。am+an=a（ ）4.找公因式的方法：找公因式的系數(shù)：取各項系數(shù)絕對值的 。確定公因式的字母：取各項中的相同字母，相同字母的 的。5.把乘法公式從右到左的使用，把某些形式的多項式進行因式分解的方法叫做公式法。a2-b2= ，a2+2ab+b2= ，a2-2ab+b2= 。【典型例題】1仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項式x24x+m有一個因式是（x+3），求另一個因式以及m的值解：設(shè)另一個因式為（x+n），得x24x+m=（x+3）（x+n）則x24x+m=x2+（n+3）x+3n解得：n=

13、7，m=21另一個因式為（x7），m的值為21仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項式2x2+3xk有一個因式是（2x5），求另一個因式以及k的值2閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）1+x+x（x+1）=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是 ，共應(yīng)用了 次（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）2004，則需應(yīng)用上述方法 次，結(jié)果是 （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）n（n為正整數(shù)）3已知乘法公式：a5+b5=（a+b）（a4a3b+a2b2ab3+b4）；

14、a5b5=（ab）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）利用或者不利用上述公式，分解因式：x8+x6+x4+x2+14、先化簡，再求值：，其中 5、已知能被整除，其商式為，求m、n的值。6、已知a、b、c分別為ABC的三邊，你能判斷的符號嗎？第六講 因式分解（一）【例題精講】例1：（1）4x（ab）（b2a2）；（2）（a2b2）24a2b2；（3）x42x23； （4）（xy）23（xy）2；（5）x32x23x； （6）4a2b26a3b；（7）a2c2+2ab+b2d22cd （8）a24b24c28bc例2：分解因式：【鞏固】分解因式：1、； 2、；3、； 4、分解因式：；例3：把下

15、列各式分解因式：1、； 2、?！眷柟獭糠纸庖蚴剑?、； 2、。例4：分解因式：?！眷柟獭糠纸庖蚴剑?、； 2、；【拓展】分解因式：。例5：已知多項式的值恒等于兩個因式，乘積的值，則_。例6：分解因式：?！眷柟獭糠纸庖蚴剑?、； 2、；【拓展】1、為何值時，多項式能分解成兩個一次因式的積？2、多項式的一個因式是，試確定的值。3、求證：可以化為兩個整系數(shù)多項式的平方差?！咀鳂I(yè)】1、 分解因式：_；2、 分解因式：_；3、 分解因式：_；4、 已知滿足，則_；5、 分解因式：的結(jié)果是_；6、已知能分解成兩個整系數(shù)一次因式的乘積，求的值。7、把下列各式分解因式：（1） ； （2）；（3） 用換元法分解

16、； （4） 用待定系數(shù)法分解。7、 是什么數(shù)時，能分解成兩個一次因式的積？第七講 因式分解的應(yīng)用【例題精講】例1：若的三條邊滿足關(guān)系式，則的形狀是_?！眷柟獭?、已知是三角形三邊長，則代數(shù)式的值是（ ） A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.符號不定2、設(shè)是三角形三邊長，化簡?！就卣埂恳阎且粋€三角形的三邊，則的值是（ ）A.恒正 B.恒負(fù) C.可正可負(fù) D.非負(fù)例2：已知，則的值是多少？【鞏固】1、已知，求的值。2、 已知，求的值。3、 設(shè)，求的值。例3：已知是自然數(shù)，且，求與的值?！眷柟獭吭O(shè)是自然數(shù)，求的值?！就卣埂吭O(shè)是相鄰的兩個自然數(shù)，問是否為平方數(shù)？例4：（1）求證：能被45整除； （2）證明：當(dāng)