第6節(jié) 角點(diǎn)系的角動(dòng)量定理

1、12.6.2 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理1、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理i質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的角動(dòng)量定理的角動(dòng)量定理)()(11iiinjjiiivmrdtdfFr外設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系，共有設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系，共有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其第個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)受力為個(gè)質(zhì)點(diǎn)受力為11njjiifF外則則i質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)o的角動(dòng)量定理為的角動(dòng)量定理為2對(duì)對(duì)i求和求和質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的角動(dòng)量定理的角動(dòng)量定理)(1111iiinijinjiniiinivmrdtdfrFr外由于內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn)，每對(duì)內(nèi)力對(duì)由于內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn)，每對(duì)內(nèi)力對(duì)O的力矩之和為零，因此內(nèi)的力矩

2、之和為零，因此內(nèi) 力矩之總和為零，于是有力矩之總和為零，于是有)(11iiiniiinivmrdtdFr外（i)內(nèi)力矩對(duì)系統(tǒng)的總角動(dòng)量無貢獻(xiàn)，（與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理內(nèi)力矩對(duì)系統(tǒng)的總角動(dòng)量無貢獻(xiàn)，（與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理 相似）相似）niiiivmrdLddtMdtLdM1外外3(iii) 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理的物理意義：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理的物理意義：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率等于外力對(duì)該點(diǎn)力矩的矢量和。點(diǎn)的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率等于外力對(duì)該點(diǎn)力矩的矢量和。(ii)在質(zhì)點(diǎn)系的情況下，求外力對(duì)固定點(diǎn)的力矩之和時(shí)，不能先求合力，再求合力在質(zhì)點(diǎn)系的情況下，求外力對(duì)固定點(diǎn)的力矩之和

3、時(shí)，不能先求合力，再求合力矩。只能說外力矩之和不能說合外力之矩。矩。只能說外力矩之和不能說合外力之矩。42、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理如果將作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力矩之矢量和及質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量分別向給定軸投影，如果將作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力矩之矢量和及質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量分別向給定軸投影，即可得質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理。即可得質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理。)sin(iiiiizvmrdtdM 式中式中 ri 為為 i 質(zhì)點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)到 z 軸的距離，軸的距離， i 是是 vi 與與 ri 間的夾角。間的夾角。若質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)均繞同一軸、并以相同角速度若質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)均繞同一軸、并以相同角速度 作圓周運(yùn)

4、動(dòng)，則這時(shí)作圓周運(yùn)動(dòng)，則這時(shí), 1sin2iiiirv 且則有則有)(2iiizrmdtdM 為簡(jiǎn)單記只討論沿為簡(jiǎn)單記只討論沿z軸的角動(dòng)量定理軸的角動(dòng)量定理這時(shí)組成質(zhì)點(diǎn)系的這時(shí)組成質(zhì)點(diǎn)系的n個(gè)質(zhì)點(diǎn)位于個(gè)質(zhì)點(diǎn)位于z軸的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，于是有動(dòng)平面內(nèi)，于是有5將其與線動(dòng)量將其與線動(dòng)量相比相比vmp2iirmI若令 m 表示物體的平動(dòng)慣性，則表示物體的平動(dòng)慣性，則 I 表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣性，故將表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣性，故將 2iirmI命名為對(duì)軸的命名為對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，（式中（式中 ri 為為 mi 到軸的距離）到軸的距離）IrmLii2則有3、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的引入、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的引入 即：即：若質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)均繞

5、同一軸、并以相同角速度若質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)均繞同一軸、并以相同角速度 作圓周運(yùn)動(dòng)，則這時(shí)系作圓周運(yùn)動(dòng)，則這時(shí)系統(tǒng)對(duì)軸的角動(dòng)量為統(tǒng)對(duì)軸的角動(dòng)量為IL dtIdrmdtdMiiiz)(2此時(shí)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理為此時(shí)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理為6 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算舉例：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算舉例： 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位：千克轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位：千克米米2（kgm2）4、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算對(duì)于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)于單個(gè)質(zhì)點(diǎn) 2mrI 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系 niiirmI12dVrdmrImm22若物體質(zhì)量連續(xù)分布若物體質(zhì)量連續(xù)分布，7解(1)轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直22dIx dmx dx2222112llIdIx dxml例例2.

6、18如圖如圖2.35所示，求質(zhì)量為所示，求質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：的均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：(1)轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直；轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直；(2)轉(zhuǎn)軸通過棒一端并與棒垂直轉(zhuǎn)軸通過棒一端并與棒垂直.lm在棒上任取一質(zhì)元，其長(zhǎng)度為dx，距軸O的距離為x，設(shè)棒的線密度(即單位長(zhǎng)度上的質(zhì)量)為 ，則該質(zhì)元的質(zhì)量dmdx.該質(zhì)元對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為整個(gè)棒對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為8(2)轉(zhuǎn)軸通過棒一端并與棒垂直時(shí)，整個(gè)棒對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為22013lIx dxml由此看出，同一均勻細(xì)棒，轉(zhuǎn)軸位置不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同.9解(1)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.如圖2.3

7、6(a)所示，在環(huán)上任取一質(zhì)元，其質(zhì)量為dm，該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離為R，則該質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為考慮到所有質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離均為R，所以細(xì)圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dmRdI2222mmIdIR dmRdmmR例例2.192.19設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為m m，半徑為，半徑為R R的細(xì)圓環(huán)和均勻圓盤分別繞通過各自中心并的細(xì)圓環(huán)和均勻圓盤分別繞通過各自中心并與圓面垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求圓環(huán)和圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與圓面垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求圓環(huán)和圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. .10則整個(gè)圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為232dIr dmr dr320122RIdIr drmR (2)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.整個(gè)圓盤可以看成許

8、多半徑不同的同心圓環(huán)構(gòu)成.為此，在離轉(zhuǎn)軸的距離為r處取一小圓環(huán)，如圖2.36(b)所示，其面積為dS2rdr，設(shè)圓盤的面密度(單位面積上的質(zhì)量) ，則小圓環(huán)的質(zhì)量dmdS2rdr，該小圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2mR以上計(jì)算表明，質(zhì)量相同，轉(zhuǎn)軸位置相同的剛體，由于質(zhì)量分布不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同.11(2)質(zhì)量元的選?。嘿|(zhì)量元的選?。?(dldxdm或線分布線分布面分布面分布 dsdm體分布體分布 dvdm(1)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 以上各例說明：以上各例說明：線分布線分布體分布體分布面分布面分布與剛體的總質(zhì)量有關(guān)，與剛體的總質(zhì)量有關(guān)，與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)，與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)，與軸的位置有關(guān)

9、。與軸的位置有關(guān)。12 (3)由于剛體是一個(gè)特殊質(zhì)點(diǎn)系，即各質(zhì)點(diǎn)之間無相對(duì)位移，對(duì)于給定的剛體其由于剛體是一個(gè)特殊質(zhì)點(diǎn)系，即各質(zhì)點(diǎn)之間無相對(duì)位移，對(duì)于給定的剛體其質(zhì)量分布不隨時(shí)間變化，故對(duì)于質(zhì)量分布不隨時(shí)間變化，故對(duì)于 定軸而言，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一個(gè)常數(shù)。定軸而言，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一個(gè)常數(shù)。132.6.3 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律1、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理：、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理： 當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，所有質(zhì)點(diǎn)均在各自的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)以當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，所有質(zhì)點(diǎn)均在各自的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)以相同角速度相同角速度 繞軸繞軸作作圓周運(yùn)動(dòng)，故有圓周運(yùn)動(dòng)，故有即剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，即剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛

10、體對(duì)軸的角動(dòng)量為剛體對(duì)軸的角動(dòng)量為IL 剛體對(duì)軸的角動(dòng)量剛體對(duì)軸的角動(dòng)量IrmLii2故剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理為故剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理為 dtIddtdLM142、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理 由于剛體是一個(gè)特殊質(zhì)點(diǎn)系，即剛體對(duì)給定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是常數(shù)，故有由于剛體是一個(gè)特殊質(zhì)點(diǎn)系，即剛體對(duì)給定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是常數(shù)，故有IM 即：作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度與外力對(duì)該軸的力矩之和成正比，與剛即：作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度與外力對(duì)該軸的力矩之和成正比，與剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。其在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的地位與牛頓定律在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中地位相當(dāng)。其在定軸

11、轉(zhuǎn)動(dòng)中的地位與牛頓定律在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中地位相當(dāng)。IdtdM dtdII 轉(zhuǎn)動(dòng)定律說明了轉(zhuǎn)動(dòng)定律說明了 I 是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。因?yàn)椋菏俏矬w轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。因?yàn)椋篒M一定時(shí)I15即即 I 越大的物體，保持原來轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的性質(zhì)就越強(qiáng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性就越大；反之，越大的物體，保持原來轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的性質(zhì)就越強(qiáng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性就越大；反之，I 越越小，越容易改變其轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，保持原有狀態(tài)的能力越弱，或者說轉(zhuǎn)動(dòng)慣性越小。小，越容易改變其轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，保持原有狀態(tài)的能力越弱，或者說轉(zhuǎn)動(dòng)慣性越小。 如一個(gè)外徑和質(zhì)量相同的實(shí)心圓柱與空心圓筒，若如一個(gè)外徑和質(zhì)量相同的實(shí)心圓柱與空心圓筒，若 受力和力矩一受力和力矩一樣，誰轉(zhuǎn)動(dòng)得快些

12、呢？樣，誰轉(zhuǎn)動(dòng)得快些呢？ZZIMMM16例例2.20如圖如圖2.37(a)所示，質(zhì)量均為所示，質(zhì)量均為m的兩物體的兩物體A，B. A放在傾角放在傾角為為的光滑斜面上，通過定滑輪由不可伸長(zhǎng)的輕繩與的光滑斜面上，通過定滑輪由不可伸長(zhǎng)的輕繩與B相連相連.定滑輪是半定滑輪是半徑為徑為R的圓盤，其質(zhì)量也為的圓盤，其質(zhì)量也為m.物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩與滑輪無相對(duì)滑動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩與滑輪無相對(duì)滑動(dòng).求繩中求繩中張力張力 和和 及物體的加速度及物體的加速度a(輪軸光滑輪軸光滑).1T2T1sinATmgma解物體A，B，定滑輪受力圖見圖2.37(b).對(duì)于作平動(dòng)的物體A，B，分別由牛頓定律得2BmgTma1122,.

13、TTTT又對(duì)定滑輪，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得21T RT RI17由于繩不可伸長(zhǎng)，所以ABaaR212ImR又聯(lián)立式，得12+3sin5Tmg2(1-sin)5ABaag23+2sin5Tmg18例例2.21轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，在，在t0時(shí)角速度為時(shí)角速度為 .此后飛輪經(jīng)此后飛輪經(jīng)歷制動(dòng)過程，阻力矩歷制動(dòng)過程，阻力矩M的大小與角速度的大小與角速度的平方成正比，比例系數(shù)為的平方成正比，比例系數(shù)為k(k為大于零的常數(shù)為大于零的常數(shù))，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，飛輪的角加速度是多少？從開始制動(dòng)時(shí)，飛輪的角加速度是多少？從開始制動(dòng)到現(xiàn)在經(jīng)歷的時(shí)間是多少？到現(xiàn)在經(jīng)歷的時(shí)間是多少？0013解(1)由

14、題知 ，故由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有 2Mk 2kI2kI 即將 代入，求得這時(shí)飛輪的角加速度為013209kI 19(2)為求經(jīng)歷的時(shí)間t，將轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫成微分方程的形式，即dMIIdt2dkIdt分離變量，并考慮到t0時(shí)， ，兩邊積分0001t320kdtId 013故當(dāng) 時(shí)，制動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間為02.Itk201、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能221IkEikiEiiivm221iiirm2221iiirm22)(21 可見，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方可見，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方 乘積的一半。乘積的一半。注意比較注意比較EIk122轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能Emvk122平動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能i

15、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能 221iikivmE 整個(gè)剛體的動(dòng)能整個(gè)剛體的動(dòng)能 對(duì)對(duì)i 求和求和2.6.4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理2221iirm212、力矩的功、力矩的功 對(duì)于對(duì)于i 質(zhì)點(diǎn)其受外力為質(zhì)點(diǎn)其受外力為 Fi，iiiiiirdFrdFdAcos對(duì)對(duì) i 求和，當(dāng)整個(gè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)求和，當(dāng)整個(gè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)d ，則力矩的元功，則力矩的元功dMdAi 式中式中M 為作用于剛體上外力矩之和為作用于剛體上外力矩之和-其表明：其表明：力矩的元功等于力矩與角位移之乘積力矩的元功等于力矩與角位移之乘積（內(nèi)力矩之和為零）內(nèi)力矩之和為零） 當(dāng)剛體轉(zhuǎn)過有限角時(shí)，力矩的功為當(dāng)剛體轉(zhuǎn)過有限角時(shí)，力矩的功為 2

16、1MdAiriFiirddidsimMiidsFdrFiidMiMddMi)(223、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理： 21MdA)21(221IMd力矩對(duì)剛體所做的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。力矩對(duì)剛體所做的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。 2122212121IIdIddtdI21dtdtdI2121dI234、剛體的勢(shì)能、剛體的勢(shì)能 ciiiPmgygymE其中其中m為剛體的總質(zhì)量為剛體的總質(zhì)量, yc為剛為剛體質(zhì)心的高度。體質(zhì)心的高度。 質(zhì)量分布均勻而有一定幾何形質(zhì)量分布均勻而有一定幾何形狀的剛體，質(zhì)心的位置為它的狀的剛體，質(zhì)心的位置為它的幾何中心。幾何中心。OXY mi

17、MCCviyCy24例例2.222.22如圖如圖2.392.39所示，一根質(zhì)量為所示，一根質(zhì)量為m m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為l l的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒OAOA，可繞固定點(diǎn)，可繞固定點(diǎn)O O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng). .今使棒從水平位置開始自由下擺，求棒擺到與水平位置今使棒從水平位置開始自由下擺，求棒擺到與水平位置成成3030角時(shí)中心點(diǎn)角時(shí)中心點(diǎn)C C和端點(diǎn)和端點(diǎn)A A的速度的速度. .解棒受力如圖2.39所示，其中重力G對(duì)O軸的力矩大小等于 ，是的函數(shù)，軸的支持力對(duì)O軸的力矩為零.由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理，有cos2lmg222600mgcos dIII2222llll 等式左邊的積分為重力矩的功.即60

18、mgcos d()24GccllAmgmg hh 末初式中 是棒的質(zhì)心所在處相對(duì)棒的質(zhì)心C在最低點(diǎn)(即棒在豎直位置處)的高度. ch25則中心點(diǎn)C和端點(diǎn)A的速度分別為1624clvgl將 及 代入式，得4GlAmg213Iml32gl162Avlgl261212122(mm )g2(mm )MMa例例2.23如圖如圖2.40所示，物體的質(zhì)量為所示，物體的質(zhì)量為 ， ，且，且 .圓盤狀定滑圓盤狀定滑輪的質(zhì)量為輪的質(zhì)量為 和和 ，半徑為，半徑為 ， ，質(zhì)量均勻分布，質(zhì)量均勻分布.繩輕且不可伸長(zhǎng)繩輕且不可伸長(zhǎng)，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光滑，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光滑.試求當(dāng)試求當(dāng) 下降了下

19、降了x距離時(shí)兩物體距離時(shí)兩物體的速度和加速度的速度和加速度.1m2m1m2m1M2M2R1R1m解以兩物體、兩滑輪、地球成為一系統(tǒng)， ，故機(jī)械能守恒.以 下降x時(shí)的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有00AA外內(nèi)非，1m22221221211221111mmm2m vm vII2222gxgxg x由于 ，可解得22112211122211M RM R22vRRII，12212124 mmgx2 mmMMv由于運(yùn)動(dòng)過程中物體所受合力為恒力，a為常數(shù)， 2ax，故有2v27 1、對(duì)軸的角動(dòng)量定理、對(duì)軸的角動(dòng)量定理已知質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量定理的積分形式為已知質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量定理的積分形式為 可以證明，這個(gè)結(jié)論對(duì)剛

20、體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)同樣成立，同時(shí)考慮到可以證明，這個(gè)結(jié)論對(duì)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)同樣成立，同時(shí)考慮到ILz00IIMdttt 即：剛體所受合外力矩的沖量矩等于剛體在這段時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量的增量。這一關(guān)系即：剛體所受合外力矩的沖量矩等于剛體在這段時(shí)間內(nèi)角動(dòng)量的增量。這一關(guān)系稱剛體的角動(dòng)量定理。稱剛體的角動(dòng)量定理。ttzzLdtM02.6.5 剛體組對(duì)軸的角動(dòng)量定理及其守恒定律剛體組對(duì)軸的角動(dòng)量定理及其守恒定律282、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒21)(ttIMdt若若 Mz外外0 0， 恒量則IL 若外力對(duì)軸的力矩為零，則剛體（或剛體組）對(duì)軸的角動(dòng)量守恒，稱之為剛?cè)敉饬?duì)軸的力矩為零，則剛體（或剛體組）對(duì)

21、軸的角動(dòng)量守恒，稱之為剛體對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定律。體對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定律。 若為剛體，當(dāng)角動(dòng)量守恒時(shí)，因若為剛體，當(dāng)角動(dòng)量守恒時(shí)，因I常數(shù)，則常數(shù)，則 亦為常數(shù)，亦為常數(shù)， 這與轉(zhuǎn)動(dòng)定律是一致的。這與轉(zhuǎn)動(dòng)定律是一致的。dtLdM外293、物體組內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)以相同角速度繞同一軸轉(zhuǎn)、物體組內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)以相同角速度繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量守恒動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量守恒 I 可變，可變， 亦可變，但仍有亦可變，但仍有I=常數(shù)，故常數(shù)，故有有 I130D:實(shí)際中的一些現(xiàn)象實(shí)際中的一些現(xiàn)象開始不旋轉(zhuǎn)的物體，當(dāng)其一部分旋轉(zhuǎn)時(shí)，必引起另一開始不旋轉(zhuǎn)的物體，當(dāng)其一部分旋轉(zhuǎn)時(shí)，必引起另一部分朝相反方向旋轉(zhuǎn)。部分朝相反方向旋轉(zhuǎn)。藝術(shù)美、

22、人體美、物理美相互結(jié)合藝術(shù)美、人體美、物理美相互結(jié)合高！高！高！高！芭蕾舞演員的高難動(dòng)作芭蕾舞演員的高難動(dòng)作314、剛體組繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量守恒、剛體組繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量守恒 總角動(dòng)量總角動(dòng)量 常量2211IIL32解以飛輪A，B，嚙合器C為系統(tǒng).在嚙合過程中，系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器之間的切向摩擦力.前者對(duì)軸的力矩為零，后者對(duì)轉(zhuǎn)軸有力矩，但為系統(tǒng)的內(nèi)力矩.系統(tǒng)所受合外力矩為零，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒.即為兩輪嚙合后的共同角速度，于是AAABIII例例2.24在工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)在工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng).如圖如圖2.

23、44所示，所示，A和和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上兩飛輪的軸桿在同一中心線上.A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為為 ，B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ，開始時(shí)，開始時(shí)A輪每分鐘的輪每分鐘的轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)速為600轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)，B輪靜止輪靜止.C為摩擦嚙合器為摩擦嚙合器.求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速，在嚙合求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速，在嚙合過程中，兩輪的機(jī)械能有何變化？過程中，兩輪的機(jī)械能有何變化？210AIkg m220BIkg m()AAABIII把各量代入上式，得20.9 rad/s.在嚙合過程中，摩擦力矩作功，機(jī)械能不守恒，損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能.損失的機(jī)械能為224AAAB11I(II )1.32 1022EJ33解此題可分解為三個(gè)簡(jiǎn)單過程：(1)棒由水平位置下擺至豎直位置但尚未與物塊相碰.此過程機(jī)