中南大學高等工程數(shù)學試卷超全整理(共37頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上中南大學工程碩士“高等工程數(shù)學”考試試卷（開卷）1考試日期：2010年 4 月 日 時間110分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)1. 若函數(shù),且有和, 則方程在上的解存在唯一，對 任意為初值由迭代公式產生的序列一定收斂于方程在上的解，且有誤差估計式；2. 建立最優(yōu)化問題數(shù)學模型的三要素是： 確定決策變量 、 建立適當?shù)募s束條件 、 建立目標函數(shù) ；3求解無約束非線性最優(yōu)化問題的最速下降法會產生“鋸齒現(xiàn)象”，其原因是： 最速下降法前后兩個搜索方向總是垂直的 ；4已知函數(shù)過點，設函數(shù)是的三次樣條插值函數(shù)，則滿足的三個條件（1）在每個子區(qū)間（

2、i=1，2，n）上是不高于三次的多項式；（2）S（x），S（x），S（x）在上連續(xù)；（3）滿足插值條件S（xi）=yi（i=1，2，n）；5隨機變量為樣本，是樣本均值，則 N（3，0.4）；6正交表中各字母代表的含義為 L表示正交表，N表示試驗次數(shù)，n、m表示因子水平數(shù)，p、q表示試驗至多可以安排因素的個數(shù) ；7線性方程組其系數(shù)矩陣滿足 A=LU，且分解唯一 時，可對進行解，選主元素的Gauss消元法是為了避免 采用絕對值很小的主元素 導致誤差傳播大，按列選取主元素時第步消元的主元akk為8取步長，用Euler法解的公式為 。二、（本題6分）某汽車廠三種汽車：微型轎車、中級轎車和高級轎車。每種

3、轎車需要的資源和銷售的利潤如下表。為達到經濟規(guī)模，每種汽車的月產量必須達到一定數(shù)量時才可進行生產。工廠規(guī)定的經濟規(guī)模為微型車1500輛，中級車1200輛，高級車1000輛，請建立使該廠的利潤最大的生產計劃數(shù)學模型。 微型車中級車高級車資源可用量鋼材（噸）1.522.56000（噸）人工（小時）30405055000（小時）利潤234解：設微型車生產了x1輛，中級車生產了x2輛，高級車生產了x3輛，而鋼材、人工均有限制，所以應滿足限制條件： 鋼材：1.5x1+2x2+2.5x36000 人工：30x1+40x2+50x355000生產數(shù)量：x11500 x21200 x31000從而問題的數(shù)學模

4、型為：Max c1x1+c2x2+c3三、（本題10分）已知的數(shù)據(jù)如表：0 1 2 5-5 3 0 6用Newton插值法求的三次插值多項式，計算的近似值，給出誤差估計式。解：xiF(xi)一階差商二階差商三階差商四階差商0-513820-3-11/25625/427/20612.56.54.5/4-0.025-0.2292因此，而四、（本題12分）為了研究小白鼠在接種不同菌型傷寒桿菌后的存活日數(shù)有沒有差異，現(xiàn)試驗了在接種三種不同菌型傷寒桿菌（記為并假設，）后的存活日數(shù)，得到的數(shù)據(jù)已匯總成方差分析表如下：方差來源平方和自由度樣本方差F值組間SSA662336.286組內SSE63125.25總

5、和SST12914 (1) 試把上述方差分析表補充完整（請在答卷上畫表填上你的答案）(2) 小白鼠在接種不同菌型傷寒桿菌后的存活日數(shù)有無顯著差異？（取，） 解：（1）見表中紅色部分（2） 設H0：1=2=3=i選取統(tǒng)計量，由于顯著性水平未給出，設=0.05，查表得，因為F=6.286>，所以拒絕H0，即小白鼠在接種不同型傷寒桿菌后存活日數(shù)有顯著差異。五、（本題12分）用表格形式單純形法求解6、 （本題10分）試確定求積公式 中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。解：將分別代入式中得，因此得七、（本題12分）（1）在多元線性回歸建模過程中，需要考慮自變量的選擇問題。常用的方法有向前回歸法、向后

6、回歸法、逐步回歸法。試解釋什么是逐步回歸法？（2）如果要考察因素A、B、C及交互作用A×B、A×C、B×C，如何用正交表安排試驗，交互作用見下表，試作表頭設計。表 兩列間交互作用表列號(列號) 1 2 3 4 5 6 7 (1) 3 2 5 4 7 6 (2) 1 6 7 4 5 (3) 7 6 5 4 (4) 1 2 3 (5) 3 2 (6) 1解：(1)逐步回歸法就是對全部因子按其對y影響程度大?。ㄆ貧w平方的大小），從大到小地依次逐個地引入回歸方程，并隨時對回歸方程當時所含的全部變量進行檢驗，看其是否仍然顯著，如不顯著就將其剔除，知道回歸方程中所含的所有變

7、量對y的作用都顯著是，才考慮引入新的變量。再在剩下的未選因子中，選出對y作用最大者，檢驗其顯著性，顯著著，引入方程，不顯著，則不引入。直到最后再沒有顯著因子可以引入，也沒有不顯著的變量需要剔除為止。（2） 如果因子A放在第1列，因子B放第2列，則A×B放在第3列。如C放在第4列，再查交互作用表，A×C和B×C應分別放在第5列和第6列。表頭設計如下：列號1234567因子ABA×BCA×CB×C八、（本題14分）設方程組為 （1）對方程組進行適當調整，使得用Gauss-Seidel迭代法求解時收斂；（2）取，用Gauss-Seidel迭

8、代法計算兩步迭代值，；（3）取，估計用Jacobi迭代求解與準確解的誤差。解：（1）將原矩陣變換為如下：，經變換后的矩陣為嚴格對角占優(yōu)陣，因此在用Gauss-Seidel迭代法求解時收斂。（2） 由GS迭代公式得：，又由于，因此經兩步迭代后得，（3） 由Jacobi迭代公式得：因此中南大學工程碩士“高等工程數(shù)學”考試試卷2考試日期：2010年 4 月 日 時間110分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)1. 若方程可表成，且在內有唯一根，那么滿足 ，則由迭代公式產生的序列一定收斂于。（滿足：,且有, ；）2. 已知二元非線性函數(shù)，該函數(shù)從X0 出發(fā)的最速下降方向為

9、（最速下降方向為：）；3已知二元非線性函數(shù)，該函數(shù)從X0 出發(fā)的Newton方向為 （Newton方向為： ）；4已知在區(qū)間上通過點，則其三次樣條插值函數(shù)是滿足 （1）在每個小區(qū)間是次數(shù)不超過3次的多項式，（2）在區(qū)間上二階導數(shù)連續(xù)，（3）滿足插值條件 ）；5設某個假設檢驗問題的拒絕域為W，且當原假設H0成立時，樣本值落入W的概率為0.15，則犯第一類錯誤的概率為_（0.15） ；6在實際問題中求某參數(shù)的置信區(qū)間時，總是希望置信水平愈 大 愈好，而置信區(qū)間的長度愈 短 愈好。但當增大置信水平時，則相應的置信區(qū)間長度總是 變長 ；7取步長，解的Euler法公式為： （ ）；8對實際問題進行建模求

10、解時可能出現(xiàn)的誤差有： （模型誤差，觀測誤差，方法誤差，舍入誤差。） 。二、（本題8分）某鋼鐵公司生產一種合金，要求的成分是：錫不少于28%，鋅不多于15%，鉛恰好10%，鎳介于35%到55%之間，不允許有其他成分。鋼鐵公司擬從五種不同級別的礦石中進行冶煉，每種礦物的成分含量和價格如下表。礦石雜質在冶煉中廢棄，并假設礦石在冶煉過程中金屬含量沒有發(fā)生變化。 合金礦石錫（%）鋅（%）鉛（%）鎳（%）雜質（%）費用（元/噸）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151715190（1）建立線性優(yōu)化模型，安排最優(yōu)礦物冶煉方案，使每噸

11、合金產品成本最低。（不要求計算出結果）；（2）寫出所建立的模型的對偶形式。（1）設 是第j 種礦石的數(shù)量，目標是使成本最低，得線性規(guī)劃模型如下： 4分（2）上述線性規(guī)劃模型的對偶形式如下： 4分三、（本題8分）已知的數(shù)據(jù)如表：0 1 3 70 0.5 2 1.5試求三次插值多項式P(x)，求的近似值，并給出相應的誤差估計式。解： 用Newton插值法求的插值多項式，由所給數(shù)據(jù)如表可得差商表如下：xif(xi)一階差商二階差商三階差商四階差商00   10.50.5  320.750.25/3 71.50.1250.875/61.375

12、/42418.25/7-0.37-0.245-0.033-0.由差商表得出的三次插值多項式為： 3分于是有 2分相應的誤差估計式為： 2分四、（本題12分）為了考察硝酸鈉NaNO的可容性溫度之間的關系，對一系列不同的溫度（），觀察它在100的水中溶解的NaNO的重量（g），得觀察結果如下：溫度x 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43重量y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10（1） 求Y對X的線性回歸方程。（結果保留小數(shù)點后兩位。）, , , , （2）對回歸方程的顯著性進行檢驗。（取顯著水平為0.05，0.01），。解：（） 4分回歸函數(shù)為 4分（） ，或 2分

13、 故在顯著水平為0.05，0.01下線性回歸是顯著的或 故在顯著水平為0.05，0.01下線性回歸是顯著的。12分五、（本題10分）利用單純形方法求解下面的線性規(guī)劃（要求寫出計算過程）：解：第一步： 化為標準型， .(2分)第二步： 列出是單純形表， .(2分)第三步： 第一次單純形迭代計算，.(3分)第四步： 列出是單純形表， .(3分) 第五步： 正確寫出結果，最優(yōu)解(2分)六、（本題10分）試確定求積公式中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。七、（本題12分）設有4種治療蕁麻疹的藥，要比較它們的療效。假定將24個病人分成4組，每組6人，令同組病人使用一種藥，并記錄病人從使用藥物開始到痊愈所需

14、時間，得到下面的記錄： 藥物治愈所需天數(shù)12345，7，7，7，12，84，6，6，13，4，66，4，8，5，3，97，4，6，6，3，15試檢驗不同藥物對病人的痊愈時間有無差別？（，）解：方差來源平方和自由度樣本方差F值組間（因子）10.533.50.35組內（誤差）200.52010.02總和21123由于，故接受假設，即不同藥物對病人的痊愈時間無顯著差別八、（本題16分）設方程組為 （1）對方程組進行適當調整，使得用高斯塞德爾迭代法求解時收斂；（2）寫出對應的高斯塞德爾迭代格式；（3）取初始向量，用該方法求近似解，使。解：（1）將原方程組調整為，此方程組系數(shù)矩陣按行嚴格對角占優(yōu)，故用高

15、斯塞德爾迭代法求解時收斂。 5分（2）高斯塞德爾迭代格式為 5分（2）取，用上述迭代格式計算得 1 0. 0. 0. 2 0. 0. 0. 3 0. 0. 0. 4 0. 0. 0. 因，故取近似解。 6分。 6分中南大學工程碩士“高等工程數(shù)學”考試試卷1考試日期：2011年 月 日 時間110分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)（1） 對方程，寫出其Newton迭代公式 ，使得由迭代公式產生的序列可以2階收斂于方程的唯一正根；解：由牛頓迭代公式得 因其存在2重跟，故需對其進行修正得 （2）在上，設與等價，則當滿足 (x)于a,b一階導數(shù)存在， 當xa,b時，有(

16、x)a,b 和 |g(x)|L1，xa,b時，由（）產生的序列收斂于方程的根；（3）用Doolittle分解法求方程：則：= ，= ，解= ；解：， ，,因此,（4）已知 ，則： =6 ； =6 ； 4+6+5=15 。（5）已知在區(qū)間上通過點，則其三次樣條插值函數(shù)是滿足 在每個子區(qū)間上不高于三次的多項式 ， S(x），S（x），S（x）在上連續(xù) ， 滿足插值條件；（6）設有線性回歸模型，其中 且相互獨立，寫出參數(shù)的最小二乘估計， 。解：，因此得，故（7）在多元線性回歸建模過程中，需要考慮自變量的選擇問題。寫出三種常用的自變量的選取方法 向后回歸法、向前回歸法、逐步回歸法 。（8）影響數(shù)學模型

17、數(shù)值求解結果的誤差有： 截斷誤差 ， 舍入誤差 ， 觀測誤差 。二、（本題8分）已知的數(shù)據(jù)如表：-2 0 2 6 0 4 -2 10試求三次Newton插值多項式，求的近似值，并給出相應的誤差估計式。xF(x)一階差商二階差商三階差商四階差商-200422-2-3-5/4610319/325-0.2187510.218752.406250.281250因此而三、（本題10分）引入人工變量利用大M法求解下面的線性規(guī)劃（要求寫出計算過程）：解：將約束條件加上松弛變量x3，剩余變量x4和人工變量x5后得到一個有基可行解的典型方程如下： 相應的目標函數(shù)為列出初始單純形表，并進行迭代得：基變量CBXBX

18、1X2X3X4X53400-MX304211002X5-M11-0.50-111Zj-M0.5M0M-M-M-30.5M-40M0X3020212-21X1311-0.50-11Zj3-1.50-330-5.50-33+MX241010.51-1X131.5100.25-0.50.53Zj342.752.5-2.5002.752.5-2.5+M這時的檢驗數(shù)已全部非負。得最優(yōu)解；人工變量X5=0，去掉人工變量部分，得原線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解為，最優(yōu)值8.54、 （本題8分）某廠生產甲、乙、丙三種產品，都分別經A,B兩道工序加工，A工序在設備或上完成，B工序在，三種設備上完成。已知產品甲可在A，B任

19、何一種設備上加工；產品乙可在任何規(guī)格的A設備上加工，但完成B工序時，只能在設備上加工；產品丙只能在與設備上加工。加工單位產品所需要工序時間及其他數(shù)據(jù)見下表。設備產品設備有效臺時設備加工費（元/小時）甲乙丙51060000.057912100000.036840000.0641170000.11740000.05原料費（元/件）0.250.350.50售價（元/件）1.252.002.80（1）建立線性優(yōu)化模型，安排使該廠獲利最大的最優(yōu)生產計劃（不要求計算出結果）；（2）寫出所建立的模型的對偶形式。解：（1）設在A1設備上生產甲x11件，乙x12件，在A2設備上生產甲x21件，乙x22件，丙x2

20、3件，在B1設備上生產甲x31件，乙x32件，在B2設備上生產甲x41件，丙x43件，在B3設備上生產甲x51件由已知條件得 （2） 因目標函數(shù)為最大值，而線性規(guī)劃方程符合要求，故不需轉換形式，由此得： 5、 （本題12分）一種生產降血壓藥品的生產廠家聲稱，他們生產的一種降壓藥服用一周后能使血壓明顯降低的效率可以達到80%，今在高血壓的人群中隨機抽取了200人服用此藥品，一周后有148人血壓有明顯降低，試問生產廠家的說法是否真實？解：設降壓效率為p，作假設H0：p80% H1：p80%由點估計，m為血壓明顯降低的人數(shù)，抽取的樣本為大樣本，因此選取統(tǒng)計量為，對=0.01，拒絕域。由已知得m=14

21、8，n=200,因此統(tǒng)計量，查表得Z0.01=2.33，從而，樣本觀測值未落入拒絕域中，不能拒絕H0，即生產廠家說法是真實的。六、（本題10分）設有數(shù)值求積公式，試確定，使該數(shù)值積分公式有盡量高的代數(shù)精度，并確定其代數(shù)精度為多少。解：將分別代入式中得，因此A0=2.25，A1=1.5，A2=2.25將，因此代數(shù)精度為3。七、（本題12分）影響水稻產量的因素有秧齡、每畝基本苗數(shù)和氮肥，其水平如下表因素秧齡 苗數(shù) 氮肥1水平2水平小苗 15萬株/畝 8斤/畝大畝 25萬株/畝 12斤/畝若考慮之間的交互作用，采用安排試驗，并按秧齡、每畝基本苗數(shù)、氮肥分別放在表的第一、二、四列，解答下列問題：（1）

22、 它們的交互作用分別位于哪一列？（2）若按這種表頭作試驗并測得產量為83.4, 84.0, 87.3, 84.8, 87.3, 88.0, 92.3, 90.4，試尋找較好的生產條件。解：列表如下：1（秧齡A） A2（苗數(shù)B）3（A×B）4（氮肥C）5（A×C）6（B×C）產量斤/畝1234567811112222112211221122221112121212121221211221122183.484.087.384.887.388.092.390.4K1iK2i339.5 358342.7354.8350.1347.4350.3347.2349.1348.4

23、345.9351.684.87589.585.67588.787.52586.8587.57586.887.27587.186.47587.9R4.6253.0250.6750.7750.1751.425由表計算數(shù)據(jù)及直觀分析可知，因子B×C、A、B是重要的。顯然A取水平A2，B取水平B2，而B×C由B2×C1：，B2×C2：故C取C1水平。從而最優(yōu)水平為A2B2C1。八、（本題16分）設方程組為 （1）對方程組進行適當調整，使得用雅可比迭代方法和高斯塞德爾迭代法求解時都收斂；（2）寫出對應的高斯塞德爾迭代格式的分量形式；（3）取初始向量，用雅可比迭代方

24、法求準確解 的近似解，使 至少需要迭代多少次？解：（1），經變換后的矩陣為嚴格對角占優(yōu)陣，因此在用Gauss-Seidel迭代法求解時收斂。（2）（3） 解方程組可知雅克比迭代法形式為 kX1(k)X2(k)X3(k)11.6251.1.620.7250.0.31.1.1.40.0.0.51.1.1.中南大學工程碩士“高等工程數(shù)學”考試試卷（開卷）考試日期：2011年 5 月 日 時間110分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)1. 若函數(shù), 給出該方程存在正根的區(qū)間 , 該方程的Newton迭代公式是 ；2. 若標準型線性規(guī)劃的解集R非空，則R為n維空間R n 中

25、的 ；3寫出下述線性規(guī)劃問題的對偶問題： 4已知函數(shù)過點，設函數(shù)是的三次樣條插值函數(shù)，則滿足的三個條件是 ；5在進行二因子方差分析時，如果二因子之間存在交互作用，在做試驗時，需要對每一種組合進行重復試驗。當二因子都取四水平，每一種組合重復試驗次數(shù)均為3次，則一共應做 次試驗。6如果要對4個因子進行方差分析，不考慮它的交互作用， （能，不能）采用正交表7線性方程組其系數(shù)矩陣滿足 時，可對進行分解（Cholesky分解）；8設為區(qū)間的等分點，和為定積分復合梯形公式，則其復合辛普森公式= 。二、（本題6分）某公司生產三種產品：A、B和C。每種產品需要的資源和銷售的利潤如下表。請建立使該公司的利潤最大

26、的生產計劃數(shù)學模型。 A產品B產品C產品資源可用量鋼材（噸）5345000（噸）人工（小時）3566000（小時）利潤234三、（本題10分）已知的數(shù)據(jù)如表：0 1 2 5-4 2 0 6用Newton插值法求的三次插值多項式，計算的近似值，給出誤差估計式。四、（本題12分）（本題12分）王先生和李先生競選市人大代表，在選舉前的一次民意測驗中，隨機地抽取了400名選民進行民意測驗，結果有220名推選王先生，有150名推選李先生，30名既不推選王先生也不推選李先生。如果在所有的選民中，支持率超過50%就能當選為市人大代表，王先生能否當選？（取）五、（本題12分）用表格形式單純形法求解下面的線性規(guī)

27、劃（寫出過程）六、（本題10分）寫出含有個節(jié)點的插值型求積公式，并證明其代數(shù)精度至少為。七、（本題12分）某種合金鋼的抗拉強度Y(Pa)與鋼的含碳量x有線性回歸關系，現(xiàn)進行了10次獨立觀測，并對測得數(shù)據(jù)進行處理得到如下結果：, ,（1） 求Y對X的線性回歸方程。（結果保留小數(shù)點后兩位。）（2）對回歸方程的顯著性進行檢驗。八、（本題14分）設方程組為 （1）對方程組進行適當調整，使得用Gauss-Seidel迭代法求解時收斂；（2）寫出用Gauss-Seidel迭代法計算的迭代公式；（3）取，估計用Jacobi迭代求解與準確解的誤差。中南大學工程碩士“高等工程數(shù)學”考試試卷（開卷）1考試日期：2

28、012年 4 月 日 時間10分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)1. 對方程，寫出該方程存在正數(shù)根的一個區(qū)間 ，構造迭代公式 ，使其產生的序列可以收斂于方程的這個正數(shù)根；2. 用Cholesky (喬勒斯基) 分解法求解方程：則：L = ; 方程組的解x = ；3建立最優(yōu)化模型的三要素： ； ； ；4已知函數(shù), , ，用此函數(shù)表作Newton插值多項式，那么插值多項式的系數(shù)是 ；5設總體已知,是樣本均值，在檢驗假設時選用的檢驗統(tǒng)計量為 ，拒絕域為 ；6. 設總體服從上的均勻分布，則的矩法估計為 ，極大似然估計為 ；7影響數(shù)學模型求解結果的誤差有： ， ， 。8已

29、知在區(qū)間上通過點，則其三次樣條插值函數(shù)是滿足 ， ， ；二、（本題6分）設有鋼材100根，長17米，需軋成配套鋼料。每套由7根5米長與2根6米長的鋼梁組成，問如何下料使鋼材廢料最少（不計下料損耗）？建立該問題的數(shù)學模型（不要求計算）。三、（本題10分）已知的數(shù)據(jù)如表：-1 0 3 6 0 3 -1 8用三次Lagrange插值多項式計算的近似值，并給出相應的誤差估計式。四、（本題12分）為了考察硝酸鈉NaNO的可容性與溫度之間的關系，對一系列不同的溫度（），觀察它在100的水中溶解的NaNO的重量（g），得觀察結果如下：溫度x 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43重量y

30、7 9 8 11 5 4 8 10 9 10（1） 求Y對X的線性回歸方程。（結果保留小數(shù)點后兩位。）, ,（2）對回歸方程的顯著性進行檢驗。（檢驗水平=0.05, ）五、（本題12分）利用單純形法求解下面的線性規(guī)劃（要求寫出計算過程）：六、（本題10分）已知數(shù)值求積公式，試確定，使該數(shù)值積分公式對次數(shù)的一切多項式都精確成立，并確定其代數(shù)精度為多少。七、（本題12分）影響水稻產量的因素有秧齡、每畝基本苗數(shù)和氮肥，其水平如下表因素秧齡 苗數(shù) 氮肥1水平2水平小苗 15萬株/畝 8斤/畝大畝 25萬株/畝 12斤/畝用安排試驗，并將秧齡、苗數(shù)、氮肥分別放在第一、二、四列，測得產量為60, 63，5

31、8，67，70，74，69，81 。將數(shù)據(jù)統(tǒng)計在下表中1（A）2（B） 3(A×B) 4(C)5(A×C)6(B×C)k1ik2i248296 2622822802642642802682762782666274 65.570.570666670676969.566.5R1254423在下檢驗各因素及每兩個因素的交互作用對產量有無顯著影響。八、（本題14分）設方程組為 （1）對方程組直接用雅可比迭代方法和高斯塞德爾迭代法求解時，判斷其收斂性。（2）對方程組進行適當調整，使得用雅可比迭代方法和高斯塞德爾迭代法求解時都收斂；（3）寫出調整后所對應的Jacobi (雅可

32、比) 迭代格式的分量形式和矩陣形式；（4）在（3）的基礎上，取初始向量，用Jacobi (雅可比) 迭代格式求準確解 的近似解，使 ，至少需要迭代多少次？中南大學工程碩士“高等工程數(shù)學”考試試卷（開卷）2考試日期：2012年 7 月 12 日 時間100分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)1. 求方程根的牛頓迭代格式是                    ；2. 在求解方程組

33、時，建立的迭代格式對于任意初始向量及任意收斂的充要條件是 . 3. 設，則差商（均差）               ，          .4. 設為互異節(jié)點，為Lagrange插值基函數(shù)，則 ， .5. 因素與因素各有兩水平且具有交互作用。代表處于第i位級處于第j位級的試驗指標。測得,，則、的交互作用為 ；6已知二次函數(shù)具有形式，則= , = , = ；7已知二次函

34、數(shù)，該函數(shù)在處的Hesse 陣為 ；8總體XN ()，取自總體X的樣本為，其樣本均值為=， ， = ，= 。 二、（本題12分）1. 將下列線性規(guī)劃問題化為標準型： 2. 視上式為原問題，寫出其對偶問題。三、（本題12分）已知單調連續(xù)函數(shù)的如下數(shù)據(jù)： -0.11   0.00   1.50   1.80 -1.23   -0.10  1.17   1.58求若用插值法計算，x約為多少時（小數(shù)點后保留5位）。四、（本題15分）某車間為了制訂工時定額，需要確定加工零件所

35、消耗的時間，為此進行了10次試驗，結果見下表，其中，x表示零件數(shù)，y表示時間。 x/件102030405060708090100y/min62.68758189951021081151221建立y對x的回歸直線方程。2. 作回歸方程的顯著性檢驗。3.。若，求的99%的預測區(qū)間。，五、（本題15分）試用兩階段法并表格形式的單純形法求解六、（本題10分）用復化Simpson公式求積分 的近似值時，為使計算結果誤差不超過，問至少需要取多少個節(jié)點？七、（本題12分）用梯形方法解初值問題  證明其近似解為，并證明當時，它收斂于原初值問題的準確解 中南大學工程碩士“高等工程數(shù)學”考試試

36、卷（開卷）1考試日期：2013年 月 日 時間100分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)1. 對矩陣 A 進行Doolittle 分解的條件是 ；2設總體，從總體分別獨立抽取容量為的簡單隨機樣本，。記為樣本的樣本均值與方差，為樣本的樣本均值與方差，則的95%的置信區(qū)間為 ；3如果 ，矩陣 ， 利用Jacobi和 Gauss-Seidel迭代法求解此方程組的斂散性情況是 ； 4在進行二元方差分析時，當兩個因子之間存在交互作用時，需要進行重復試驗，假設兩個因子都取3水平，各種組合時試驗的重復次數(shù)均為4，則體現(xiàn)兩因子的交互作用的平方和的自由度是 ；5函數(shù)，已知和的絕對誤

37、差分別為和，則 ；6線性規(guī)劃 的對偶線性規(guī)劃是 ，兩個線性規(guī)劃的最優(yōu)目標值 ；7方程 與 等價，由于迭代函數(shù)滿足： ，可用迭代法求方程的唯一正根的近似值，且 ；8. 設為區(qū)間的等分點，和為定積分復合梯形公式，則復合梯形公式的遞推形式= 。二、（本題14分）某工廠生產A、B、C三種產品，需利用甲、乙、丙三種資源。已知生產產品A一件需消耗資源甲、乙、丙分別為2噸、4噸、2噸，生產產品B一件需消耗資源甲、乙、丙分別為6噸、2噸、2噸，生產產品C一件需消耗資源甲、乙、丙分別為2噸、4噸、2噸。A、B、C產品每件產值分別為5、4、4萬元。工廠現(xiàn)有甲、乙、丙資源量分別為180、160、90噸。（1） 建立

38、工廠安排生產使總產值最大數(shù)學模型。（2） 列出并利用單純形法求工廠的最優(yōu)生產方案。三、 （本題10分）用Newton迭代法求方程的最小正根，初值取為，給出第次迭代近似誤差的估計式。四、（本題10分）已知的數(shù)據(jù)如表：0 1 2 4-4 3 0 8用Lagrange插值法求函數(shù)的三次值函數(shù)，給出用作為的近似值的誤差估計式。五、（本題7分）試確定求積公式 中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。六、（本題12分）一種特殊藥品的生產廠家聲稱，這種藥能在8小時內解除一種過敏的效率為90%，在有這種過敏的200人中使用藥品后，有160人在8小時內解除了過敏，試問生產廠家的說法是否真實？ 七、（本題12分）某種合

39、金鋼的抗拉強度Y(Pa)與鋼的含碳量x有線性回歸關系，現(xiàn)進行了10次獨立觀測，并對測得數(shù)據(jù)進行處理得到如下結果：, ,（1） 求Y對X的線性回歸方程。（結果保留小數(shù)點后兩位。）（2）對回歸方程的顯著性進行檢驗。八、（本題11分）對方程組：，（1）建立求解該方程組的Jacobi法和Gauss-Seidel法的迭代計算式；（2）分析討論 a 的取值范圍，使 Jacobi 迭代法收斂。中南大學工程碩士“高等工程數(shù)學”考試試卷（開卷）2考試日期：2013年 月 日 時間100分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)1. 對矩陣 A 進行Cholesky分解的條件是： ；2在進

40、行二因子方差分析時，如果二因子之間存在交互作用，在做試驗時，需要對每一種組合進行重復試驗。當二因子都取四水平，每一種組合重復試驗次數(shù)均為3次，則一共應做 次試驗。3如果 ，矩陣 ， 利用Jacobi和 Gauss-Seidel迭代法求解此方程組的斂散性情況是 ； 4正交表中的各數(shù)字有其含義，其中數(shù)字16表示 ，15表示 ；5函數(shù)，已知和的絕對誤差分別為和，則 ；6線性規(guī)劃 的對偶線性規(guī)劃是 ；7設方程，迭代函數(shù)= 時，可用迭代法求方程的最小正根的近似值， ；8. 設為區(qū)間的等分點，和為定積分復合梯形公式、為其復合辛普森公式，利用和表示為 。二、（本題14分）某廠生產A、B、C三種產品，所需要的

41、勞動力、材料等數(shù)據(jù)如下表：ABC可用量（單位）勞動力63545材料34530產品利潤（元/件）314（1）建立產品生產計劃的數(shù)學模型使工廠獲利最大；（2）將模型標準化；利用單純形法求解，列出求解過程。三、 （本題10分）用Newton迭代法求方程的最小正根，初值取為，給出第近似誤差的估計式。四、（本題10分）已知的數(shù)據(jù)如表：-1 1 2 3-4 2 0 5用恰當?shù)牟逯捣ㄇ蠛瘮?shù)的三次值函數(shù)，給出用作為的近似值的誤差估計式。五、（本題7分）試確定求積公式 中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。六、（本題12分）在甲、乙兩市進行的職工家計調查結果表明：甲市抽取的500戶中平均每戶消費支出元，標準差元；乙市抽取的1000戶中平均每戶消費支出元，標準差元，試求兩市職工家庭每戶平均年消費支出之間差別的置信水平為0.95的置信區(qū)間。七、（本題12分）考察硝酸鈉的可溶性程度時，對一系列不同的溫度觀察它在l00ml的水中溶解的硝酸納的重量，得觀察結果如下 重量y0410152129365168溫度x66.771.076.380.685.792.999.4113.6125.1通過計算有（1）試求