3[1]22-323函數(shù)模型應(yīng)用實例115 (2)

1、3.2.2 函數(shù)函數(shù)模型模型的應(yīng)用的應(yīng)用實例實例例例 1 1：假如假如我區(qū)有我區(qū)有A,BA,B兩家乒乓球俱樂部兩家乒乓球俱樂部, ,兩家兩家設(shè)備和服務(wù)都很好設(shè)備和服務(wù)都很好, ,但收費方式不同但收費方式不同. . A A家每張球臺每小時家每張球臺每小時5 5元元; ; B B家按月計費家按月計費, ,一個月一個月3030小時以內(nèi)小時以內(nèi)( (含含3030小時小時) )每每張球臺張球臺9090元元, ,超過超過3030小時的部分每小時小時的部分每小時2 2元元. . 小明準(zhǔn)備下個月從這兩家中選一家租一小明準(zhǔn)備下個月從這兩家中選一家租一張球臺開展活動張球臺開展活動, ,其活動時間不少于其活動時間不

2、少于1515小時小時, ,也不超過也不超過4040小時，他選哪家好呢？小時，他選哪家好呢？ 分析：設(shè)在分析：設(shè)在A A家租一張球臺開展活動家租一張球臺開展活動x x小時的收小時的收費為費為f(x)f(x)元元, ,在在B B家為家為g(x)g(x)元元, ,求求f(x)f(x)和和g(x).g(x).我們不妨作出函數(shù)圖象：10152025 305 20 40 60 80100120140160 xyoB:y=90A:y=5x230yx3540 對于一個實際問題，除了文字敘對于一個實際問題，除了文字敘述，還可以通過圖象法、列表法給出述，還可以通過圖象法、列表法給出. . 一輛汽車在某段路程中的行

3、駛速率與時間一輛汽車在某段路程中的行駛速率與時間的關(guān)系如圖所示的關(guān)系如圖所示: :10203040506070809012534t / h (1)求圖中陰影部分的求圖中陰影部分的面積面積,并說明所求面積并說明所求面積的實際含義的實際含義;o1/()Vkm h例例2:解解(1)(1)陰影部分的面積為陰影部分的面積為50 1 80 1 90 1 75 165 1360 陰影部分的面積表示陰影部分的面積表示汽車在汽車在這這5 5小時內(nèi)行駛的路程為小時內(nèi)行駛的路程為360km360km 一輛汽車在某段路程中的行駛速率與時間一輛汽車在某段路程中的行駛速率與時間的關(guān)系如圖所示的關(guān)系如圖所示: :10203

4、040506070809012534t / h (2)假設(shè)這輛汽車的里假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為路程前的讀數(shù)為2004km,試建立汽車試建立汽車行駛這段路程時汽車行駛這段路程時汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)里程表讀數(shù)s km與時與時間間 t 的函數(shù)解析式的函數(shù)解析式,并并作出相應(yīng)的圖象作出相應(yīng)的圖象.o1/()Vkm h例例2: 542299)4(65432224)3(75322134)2(90212054)1(8010200450ttttttttttS20002000210021002200220023002300240024000 01 12 23 34 45 5t

5、 ts(2)解解:考查讀圖、作圖能力考查讀圖、作圖能力注意分段函數(shù)是一種注意分段函數(shù)是一種重要的函數(shù)類型。重要的函數(shù)類型。908070605040302010vt12345練習(xí)某學(xué)生早上起床太晚，為避免遲某學(xué)生早上起床太晚，為避免遲到，不得不跑步到教室，但由于到，不得不跑步到教室，但由于平時不注意鍛煉身體，結(jié)果跑了平時不注意鍛煉身體，結(jié)果跑了一段就累了，不得不走完余下的一段就累了，不得不走完余下的路程。路程。如果用縱軸如果用縱軸表示宿舍到表示宿舍到教室的距離，橫軸教室的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則下列四個圖象比較表示出發(fā)后的時間，則下列四個圖象比較符合此人走法的是符合此人走法的是（ ）tt0

6、d0d0(A)tt0d0d0(B)tt0d0d0(D)tt0d0d0（C)某學(xué)生早上起某學(xué)生早上起床太晚，為避床太晚，為避免遲到，不得免遲到，不得不跑步到教室，不跑步到教室，但由于平時不但由于平時不注意鍛煉身體，注意鍛煉身體，結(jié)果跑了一段結(jié)果跑了一段就累了，不得就累了，不得不走完余下的不走完余下的路程。路程。2. .在一定范圍內(nèi)，某種產(chǎn)品的購買量為在一定范圍內(nèi)，某種產(chǎn)品的購買量為y ty t，與單價，與單價X X元之間滿足元之間滿足一次函數(shù)一次函數(shù)關(guān)系。如果關(guān)系。如果購買購買1000t1000t，每噸為，每噸為800800元，如果購買元，如果購買2000t2000t，每噸為每噸為700700元

7、，一客戶購買元，一客戶購買400t400t，單價應(yīng)該為（，單價應(yīng)該為（ ） A.820 A.820 元元 B.840B.840元元 C.860C.860元元 D.880D.880元元C課堂練習(xí)課本P112 A組 2，4 B組 1 例例3：人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題.認認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù)提供依據(jù). 早在早在1798年，英國經(jīng)濟學(xué)家馬爾薩斯就提出了年，英國經(jīng)濟學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：自然狀態(tài)下的人口增長模型：,0,rtooyy etytr其中表示經(jīng)過的

8、時間表示時的人口數(shù)表示人口的年平均增長率(1)如果以各年人口增長如果以各年人口增長率的平均值作為我國這率的平均值作為我國這一時期的人口增長率一時期的人口增長率(精確到精確到0.000 1)用馬爾用馬爾薩斯人口增長模型建立薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體我國在這一時期的具體人口增長模型人口增長模型,并檢驗并檢驗所得模型與實際人口數(shù)所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符據(jù)是否相符; 年份 人數(shù)/萬人 1950 55196 1951 56300 1952 57482 1953 58796 1954 60266 1955 61456 1956 62828 1957 64563 1958 65994 1

9、959 67207,0,rtooyy etytr其中 表示經(jīng)過的時間表示時的人口數(shù)表示人口的年平均增長率19501959年我國的人口數(shù)據(jù)資料年我國的人口數(shù)據(jù)資料:1291123456789119511959,5519602000.0210,0.0229,0.0250,0.0197,0.0223,0.0276,0.0222,0.0184r rrrrrrrrrrrr解：（）設(shè)年的人口增長率分別為。由（）可得年的人口增長率同理可得12919511959()90.0221rrrr于是，年期間，我國人口的年均增長率為00.022155196,1951195955196,tyye

10、tN令則我國在年期間的人口增長模型為500005000055000550006000060000650006500070000700000 01 12 23 34 45 5t ty6 67 78 89 9).()(55196,0221. 0下圖下圖的圖象的圖象并作出函數(shù)并作出函數(shù)點圖點圖根據(jù)上表的數(shù)據(jù)作出散根據(jù)上表的數(shù)據(jù)作出散Nteyt 由上圖可以看出由上圖可以看出,所得模型與所得模型與19501959年的實際人中數(shù)據(jù)基本吻合年的實際人中數(shù)據(jù)基本吻合.考查畫圖能力、考查畫圖能力、模型的適用性模型的適用性,55196 130000)2( 0221. 0teyy 代入代入將將.76.38 t由計算

11、器可得由計算器可得(2)如果按上表的增長趨勢如果按上表的增長趨勢,大約在哪一年我國的人口達到大約在哪一年我國的人口達到13億億?所以所以,如果按上表的增長趨勢，大約如果按上表的增長趨勢，大約1950年后第年后第39年（即年（即1989年）我國人口就已達到年）我國人口就已達到13億。億。，et0221. 055196130000 得得我國人口問題知多少我國人口問題知多少?1、我國人口是什么時候達到、我國人口是什么時候達到13億億.、我國的實際人口與人口模型得出的結(jié)果不一致、我國的實際人口與人口模型得出的結(jié)果不一致的原因是什么？的原因是什么？ 年月日零點分年月日零點分，中國第億個公，中國第億個公民

12、在北京婦產(chǎn)醫(yī)院出生，這一天也成為民在北京婦產(chǎn)醫(yī)院出生，這一天也成為“中國億中國億人人口日口日”。我國人口的計劃生育政策我國人口的計劃生育政策.控制了人口的增長。控制了人口的增長。基本步驟：基本步驟：第一步：讀題第一步：讀題,懂題懂題 讀懂題中的文字敘述，理解敘述所反映的實際背景，領(lǐng)悟從背景中讀懂題中的文字敘述，理解敘述所反映的實際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)實質(zhì)，尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進而概括出來的數(shù)學(xué)實質(zhì)，尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進而把握住新信息。把握住新信息。第二步：找出數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型第二步：找出數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型 設(shè)自變量為設(shè)自變量為x x，函數(shù)為，

13、函數(shù)為y y，并用，并用x x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題已知表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題已知條件，運用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立函條件，運用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系式，將實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，數(shù)關(guān)系式，將實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型。即所謂建立數(shù)學(xué)模型。第三步：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問第三步：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問題（即數(shù)學(xué)模型）予以解答，求得結(jié)果。題（即數(shù)學(xué)模型）予以解答，求得結(jié)果。 第四步：再把結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題作出解答。第四步：再把結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題作出解答。 總結(jié)解

14、應(yīng)用題的策略總結(jié)解應(yīng)用題的策略： 一般思路可表示如下：一般思路可表示如下： 上述問題的研究都是給出了函上述問題的研究都是給出了函數(shù)模型。數(shù)模型。 我們不僅要能夠應(yīng)用已知的函數(shù)我們不僅要能夠應(yīng)用已知的函數(shù)模型解決問題，還要能夠在面臨實模型解決問題，還要能夠在面臨實際問題時，通過自己建立函數(shù)模型際問題時，通過自己建立函數(shù)模型來解決問題。來解決問題。例4 某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200200元，每桶水的進價是元，每桶水的進價是5 5元，銷售單價與日均銷售量的關(guān)元，銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如表所示：系如表所示：請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析

15、，這個經(jīng)營部怎樣定價才能獲請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個經(jīng)營部怎樣定價才能獲得最大利潤？得最大利潤？分析：由表中信息可知銷售單價每增加由表中信息可知銷售單價每增加1 1元，日均銷售量就減少元，日均銷售量就減少4040桶銷售利潤怎樣計算較好？桶銷售利潤怎樣計算較好？銷售單價/元6789101112日均銷售量/桶480440400360320280240解：設(shè)在進價基礎(chǔ)上增加解：設(shè)在進價基礎(chǔ)上增加x x元后，日均經(jīng)營利潤為元后，日均經(jīng)營利潤為y y元，則元，則有日均銷售量為有日均銷售量為 xx40520) 1(40480 （桶）（桶） 而而 130, 040520, 0 xxx即且1490)5 .

16、6(4020052040200)40520(22xxxxxyyx時，當(dāng)5.6有最大值 只需將銷售單價定為只需將銷售單價定為11.511.5元，就可獲得最大的利潤。元，就可獲得最大的利潤。 本例問題屬于確定型函數(shù)模型本例問題屬于確定型函數(shù)模型1.1.一家旅社有一家旅社有100100間相同的客房，經(jīng)過一段時間的經(jīng)營實踐，旅間相同的客房，經(jīng)過一段時間的經(jīng)營實踐，旅社經(jīng)理發(fā)現(xiàn)，每間客房每天的價格與住房率之間有如下關(guān)系：社經(jīng)理發(fā)現(xiàn)，每間客房每天的價格與住房率之間有如下關(guān)系：每間每天房價每間每天房價住房率住房率2020元元1818元元 1616元元1414元元6565 757585859595要使每天收入

17、達到最高，每間定價應(yīng)為（要使每天收入達到最高，每間定價應(yīng)為（ ）A.20A.20元元 B.18B.18元元 C.16C.16元元 D.14D.14元元2.2.將進貨單價為將進貨單價為8080元的商品元的商品按按 9090元一個售出時，能賣出元一個售出時，能賣出400400個，個，已知這種商品每個漲價已知這種商品每個漲價1 1元，其銷售量就減少元，其銷售量就減少2020個，為了取得最個，為了取得最大利潤，每個售價應(yīng)定為大利潤，每個售價應(yīng)定為( )( ) A.95A.95元元 B.100B.100元元 C.105C.105元元 D.110D.110元元CA課時練習(xí) 例例5. 以下以下是某地區(qū)不同身

18、高的未成年男性的體重是某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值表：平均值表： (1)在在 y = a x + b y = a ln x + b y = a. bx 三種函數(shù)關(guān)系式中選擇一種函數(shù)，使它比三種函數(shù)關(guān)系式中選擇一種函數(shù)，使它比較近似地反映該地區(qū)未成年男性體重較近似地反映該地區(qū)未成年男性體重y與身與身高高x的函數(shù)關(guān)系，并求出解析式的函數(shù)關(guān)系，并求出解析式。身高身高 /cm6070 8090100110120130140150160170體重體重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020. 9226.8631.1138.8547.2555.05身高身高 /cm6070

19、 8090100110120130140150160170體重體重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020. 9226.8631.1138.8547.2555.05 分析：根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點圖如下：分析：根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點圖如下： 根據(jù)曲線的形狀和這根據(jù)曲線的形狀和這些點的分布情況，考些點的分布情況，考慮用慮用 y = a .bx這一函這一函數(shù)模型來近似刻畫。數(shù)模型來近似刻畫。身高身高 /cm6070 8090100110120130140150160170體重體重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020. 9226.8631.1138.85

20、47.2555.05 分析：根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點圖如下：分析：根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點圖如下：選擇選擇y = a .bx函數(shù)模型函數(shù)模型近似擬合近似擬合題中變題中變量的關(guān)系。量的關(guān)系。選取兩組數(shù)據(jù)（選取兩組數(shù)據(jù)（70，7.90）、）、（160，47.25）代入得：）代入得：2,1.02,21.02xaby701607.947.25a ba b 例例5.以下是某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重以下是某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值表：平均值表： (2) 若若 體重體重 / 相同身高的平均值相同身高的平均值 1.2 為為 偏胖；偏胖；體重體重 / 相同身高的平均值相同身高的平均值 0.8 為為 偏

21、瘦偏瘦 現(xiàn)有一男子現(xiàn)有一男子 x = 175 cm ，y = 78 kg， 判斷其體重是否正常？判斷其體重是否正常？解：將解：將x = 175 代入代入y = 2 1.02x得：得： 63.98y 7863.981.221.2所以，該男生偏胖。所以，該男生偏胖。收集數(shù)據(jù)畫散點圖選擇函數(shù)模型求函數(shù)模型檢驗用函數(shù)模型解釋問題不符合實際處理函數(shù)擬合與預(yù)測的問題時，通常需要掌握以下步驟：處理函數(shù)擬合與預(yù)測的問題時，通常需要掌握以下步驟：0200300t100300P0tQ50150250300100150250例例6、某蔬菜菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的某蔬菜菜基地種植西紅柿，由

22、歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間關(guān)系用圖西紅柿市場售價與上市時間關(guān)系用圖1的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖市時間的關(guān)系用圖2的拋物線表示：的拋物線表示：（1）寫出）寫出圖圖1表示的表示的市場售價與時間市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式，寫出圖寫出圖2表示的種植表示的種植成本與時間的函數(shù)成本與時間的函數(shù)關(guān)系式關(guān)系式( )Pf t( )Qg t（時間（時間單位：天）單位：天） 解解(1)由圖由圖1可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式為可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式為:300,0200( )2300,20

23、0300ttf ttt 由圖由圖2可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式為可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式為:21( )(150)100,0300150g ttt 0200300t100300P0tQ50150250300100150250例例6、某蔬菜菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一某蔬菜菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間關(guān)系用圖天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間關(guān)系用圖1的一條折線的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖2的拋物線表示：的拋物線表示：（2）認定）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大純收益最大？0200300t100300