252圓的對稱性

1、25.2 25.2 圓的對稱性圓的對稱性O(shè) O你能再舉出一些嗎你能再舉出一些嗎? ?你能講出幾種形成圓的方法？你能講出幾種形成圓的方法？1 1、在一個平面內(nèi)，線段在一個平面內(nèi)，線段OPOP繞它固定的一個端點繞它固定的一個端點O O旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)一周，則則 另一個端點另一個端點P P所形成的所形成的封閉曲線封閉曲線叫做圓叫做圓。固定的端點固定的端點O O叫做圓心，線段叫做圓心，線段OPOP叫做半徑叫做半徑。以點以點O O為圓心的圓，記作為圓心的圓，記作“O O”，讀作，讀作“圓圓O O”。一、圓的定義一、圓的定義問題問題1 1：圖上各點到定點（圓心：圖上各點到定點（圓心O O）的距離有什么規(guī)律？

2、）的距離有什么規(guī)律？問題問題2 2：到定點的距離等于定長的點又有什么特點？：到定點的距離等于定長的點又有什么特點？(1)(1)圖上各點到定點（圓心圖上各點到定點（圓心O O）的距離都等于定長（半徑）的距離都等于定長（半徑r r）(2)(2)到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上因此，我們可以得到圓的新定義：因此，我們可以得到圓的新定義：2 2、所有到定點所有到定點( (圓心圓心O O）的距離等于定長的距離等于定長（半（半徑徑r r）的點組成的圖形的點組成的圖形。思考：思考：平面上有一個圓，這個平面上的點，除了在圓上外，與圓還有幾種位置關(guān)系？平面上有一個圓，

3、這個平面上的點，除了在圓上外，與圓還有幾種位置關(guān)系？O OP PO OP PO OP P（1）點P在O O上上（2）點P在O O內(nèi)內(nèi)（3）點P在O O外外 OP=rOPrO O的半徑為的半徑為r r二、點與圓的位置關(guān)系二、點與圓的位置關(guān)系三三、圓的相關(guān)概念圓的相關(guān)概念1 1、圓上任意兩點間的部分叫做、圓上任意兩點間的部分叫做圓弧圓弧, ,簡稱簡稱弧弧。直徑的兩個端點將圓分成兩條弧直徑的兩個端點將圓分成兩條弧, ,每一條弧每一條弧都叫做都叫做半圓。半圓。2 2、連接圓上任意兩點間的線段叫做、連接圓上任意兩點間的線段叫做弦弦( (如弦如弦AB)AB)。3 3、經(jīng)過圓心弦叫做、經(jīng)過圓心弦叫做直徑直徑

4、( (如直徑如直徑AC)AC)。以以A A、B B兩點為端點的弧，記作兩點為端點的弧，記作ABAB, ,讀作讀作“弧弧ABAB”。小于半圓的弧叫做小于半圓的弧叫做劣弧劣弧, ,如記作如記作AB AB ( (用兩個字母表示用兩個字母表示) )。大于半圓的弧叫做大于半圓的弧叫做優(yōu)弧優(yōu)弧, ,如記作如記作ACB ACB ( (用三個字母表示用三個字母表示) )。A AB BC C同圓中：半徑相等，直徑等于半徑的同圓中：半徑相等，直徑等于半徑的2 2倍。倍。4 4、由弦及其所對弧組成的圖形叫做、由弦及其所對弧組成的圖形叫做弓形弓形。A AB BC C如圖中弦如圖中弦ABAB分別與分別與ABAB及及AC

5、BACB組成兩個不同的弓形。組成兩個不同的弓形。能夠重合的兩個圓叫做能夠重合的兩個圓叫做等圓等圓，等圓的半徑相等。，等圓的半徑相等。在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧等弧。C CD DB BA A例例1 1、已知，如圖，、已知，如圖，ABAB、CDCD為為O O的直徑。求證：的直徑。求證：ADCBADCB。圓是軸對稱圖形嗎？圓是軸對稱圖形嗎？如果是如果是, ,它的對稱軸是什么它的對稱軸是什么? ?你能找到多少條對你能找到多少條對稱軸？稱軸？O O你是用什么方法解決上述問題的你是用什么方法解決上述問題的? ?圓是中心對稱圖形嗎？圓是中心對稱圖形嗎？如果是

6、如果是, ,它的對稱中心是什么它的對稱中心是什么? ?你又是用什么方法解決這個你又是用什么方法解決這個問題的問題的? ?四、圓的對稱性四、圓的對稱性圓的對稱性圓的對稱性圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形. .圓的對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線圓的對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線, ,它有無它有無數(shù)條對稱軸數(shù)條對稱軸. .可利用折疊的方法即可解決上述問題可利用折疊的方法即可解決上述問題. .圓也是中心對稱圖形圓也是中心對稱圖形. .它的對稱中心就是圓心它的對稱中心就是圓心. .用旋轉(zhuǎn)的方法即可解決這個用旋轉(zhuǎn)的方法即可解決這個問題問題. .求證：求證：AE=BEAE=BEOABCDE AC=BC,AC=B

7、C, AD=BDAD=BD垂徑定理垂徑定理 ：垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦, ,并且平分這條弦所對并且平分這條弦所對的兩條弧。的兩條弧。ABAB是是O O的一條弦，的一條弦，作直徑作直徑CD,CD,使使CDAB,CDAB,垂足為垂足為E E。五、垂徑定理五、垂徑定理ABAB是是O O的一條弦的一條弦, ,且且AE=BEAE=BE。過點過點E E作直徑作直徑CD.CD.OCDEAB垂徑定理的逆定理：垂徑定理的逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦, ,并且平并且平 分弦所對的兩條弧。分弦所對的兩條弧。探索思考探索思考 CD CDABAB AC

8、=BC,AC=BC, AD=BDAD=BD 求證例例2 2、如圖，、如圖，O O的半徑為的半徑為5cm5cm，弦，弦ABAB為為6cm6cm，求圓心，求圓心O O到弦到弦ABAB的距離。的距離。OB BA AE E例例3 3、趙州橋建于、趙州橋建于14001400年前的隋朝，是我國石拱橋中的代表年前的隋朝，是我國石拱橋中的代表性橋梁性橋梁, ,橋的下部呈圓弧形橋的下部呈圓弧形, ,橋的跨度橋的跨度( (弧所對的弦長弧所對的弦長) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中點到弦的距離弧的中點到弦的距離) )為為7.2m7.2m，求橋所在圓的，求橋所在圓的半徑。（結(jié)果精確到半徑。（結(jié)

9、果精確到0.1m0.1m）解得：解得：R27R279 9（m m）DBACR在在RtRtOADOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R R2 2=18.7=18.72 2+ +（R R7.27.2）2 2趙州橋的主橋拱半徑約為趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.27.9m.OAOA2 2=AD=AD2 2+OD+OD2 2,7.184.372121ABADO解：如圖，過拱橋所在圓的圓心解：如圖，過拱橋所在圓的圓心O O作弦作弦ABAB的垂線的垂線, ,交交ABAB于點于點C,C,交弦交弦ABAB于點于點D D，則有，則有AB=37.4mAB=37.4m，CD=7.2mCD=7.2m，O

10、D=OCOD=OCCD=RCD=R7.27.21 1、如圖，在、如圖，在O O中，中，ABAB、ACAC為互相垂直且相等的兩為互相垂直且相等的兩條弦，條弦，ODABODAB于于D D，OEACOEAC于于E E，求證四邊形，求證四邊形ADOEADOE是是正方形正方形DOABCE練習練習2 2、已知：如圖，在以、已知：如圖，在以O(shè) O為圓心的兩個同心圓中，大為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦圓的弦ABAB交小圓于交小圓于C C，D D兩點。你認為兩點。你認為ACAC和和BDBD有什么有什么關(guān)系？為什么？關(guān)系？為什么？.A AC CD DB BO OE E證明：過證明：過O O作作OEABOEAB，垂

11、足為，垂足為E E， 則則AEAEBEBE，CECEDEDE。 AE AECECEBEBEDEDE 即即 ACACBDBD練習練習如圖如圖, ,在下列五個條件中在下列五個條件中: :只要具備其中兩個條件只要具備其中兩個條件, ,就可推出其余三個結(jié)論就可推出其余三個結(jié)論. .CDCD是直徑是直徑, ,AE=BE,AE=BE,CDAB,CDAB, AC=BC,AC=BC, AD=BD.AD=BD.ABCDOE條件條件結(jié)論結(jié)論命題命題垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧并且平分弦所的兩條弧.平分弦平分弦(不是直徑不是直徑)的直徑垂直于弦的直徑垂直于弦,并且平并且平 分弦所對

12、的兩條弧分弦所對的兩條弧.平分弦所對的一條弧的直徑平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所對的并且平分弦所對的另一條弧另一條弧.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對的兩條弧并且平分這條弦所對的兩條弧. 垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心,并且并且平分弦和所對的另一條弧平分弦和所對的另一條弧.平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所對的另一條弧并且平分弦所對的另一條弧.平分弦所對的兩條弧的直線經(jīng)過圓心平分弦所對的兩條弧的

13、直線經(jīng)過圓心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.CDCD是直徑是直徑, ,AM=BM,AM=BM,CDAB,CDAB, AC=BC,AC=BC, AD=BD.AD=BD.3、判斷下列說法的正誤、判斷下列說法的正誤 平分弧的直徑必平分弧所對的弦平分弧的直徑必平分弧所對的弦 平分弦的直徑必垂直弦平分弦的直徑必垂直弦 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦 弦的垂直平分線是圓的直徑弦的垂直平分線是圓的直徑 平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦 在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，必平分在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，必平分此弦所對的弧此弦所對的弧 分

14、別過弦的三等分點作弦的垂線，將弦所對的兩條分別過弦的三等分點作弦的垂線，將弦所對的兩條弧分別三等分弧分別三等分 練習練習非直徑的弦非直徑的弦1 1、在直徑是、在直徑是20cm20cm的的O O中，中， AOBAOB的度數(shù)是的度數(shù)是6060，那么弦，那么弦ABAB的弦心距是的弦心距是. . D A B O5 3cm3 3、弓形的弦長為、弓形的弦長為6cm6cm，弓形的高為，弓形的高為2cm2cm，則這弓形所在的，則這弓形所在的圓的半徑為圓的半徑為. . D C A B O4 4、已知、已知P P為為O O內(nèi)一點，且內(nèi)一點，且OP=2cmOP=2cm，如果，如果O O的半徑是的半徑是4cm4cm，

15、那么，那么過過P P點的最短的弦等于點的最短的弦等于 。 E D C B A P O134cm2 5cm2 2、在半徑為、在半徑為3030的的OO中，弦中，弦AB=36AB=36，則，則O O到到ABAB的距離的距離是是= = ，OABOAB的余弦值的余弦值= = 。24mm24mm0.60.6 O OA AB BD D例例1 1、在直徑為、在直徑為650mm650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，油面寬油后，油面寬AB = 600mmAB = 600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. . BAOBAO ODCDC3 3、如圖，、如圖，CDCD為圓為圓O O的直徑，弦的

16、直徑，弦ABAB交交CDCD于于E E，CEB=30CEB=30，DE=9DE=9，CE=3CE=3，求弦，求弦ABAB的長。的長。練習練習EDOCABF F例例2 2、如圖、如圖, ,某地有一圓弧形拱橋某地有一圓弧形拱橋, ,橋下水面寬為橋下水面寬為7.27.2米米, ,拱頂高出拱頂高出水面水面2.42.4米米. .現(xiàn)有一艘寬現(xiàn)有一艘寬3 3米、船艙頂部為長方形并高出水面米、船艙頂部為長方形并高出水面2 2米米的貨船要經(jīng)過這里的貨船要經(jīng)過這里, ,此貨船能順利通過這座拱橋嗎？此貨船能順利通過這座拱橋嗎？如圖如圖, ,用用ABAB表示橋拱，矩形表示橋拱，矩形EFNMEFNM表示船的橫截面。表示

17、船的橫截面。ABAB所在圓的圓所在圓的圓心為心為O O，半徑為，半徑為r r米米, ,經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O O作弦作弦ABAB的垂線的垂線ODOD，D D為垂足，與為垂足，與ABAB相交于點相交于點C C。根據(jù)垂徑定理。根據(jù)垂徑定理,D,D是是ABAB的中點，的中點，C C是是ABAB的中點，的中點，CDCD就是拱高。就是拱高。例例2 2、如圖、如圖, ,某地有一圓弧形拱橋某地有一圓弧形拱橋, ,橋下水面寬為橋下水面寬為7.27.2米米, ,拱頂高出拱頂高出水面水面2.42.4米米. .現(xiàn)有一艘寬現(xiàn)有一艘寬3 3米、船艙頂部為長方形并高出水面米、船艙頂部為長方形并高出水面2 2米米的貨船要經(jīng)過這

18、里的貨船要經(jīng)過這里, ,此貨船能順利通過這座拱橋嗎？此貨船能順利通過這座拱橋嗎？垂徑定理的推論垂徑定理的推論 若圓的兩條弦互相平行若圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？這兩條弦在圓中位置有兩種情況這兩條弦在圓中位置有兩種情況:OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)兩條弦在圓心的同側(cè)OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)兩條弦在圓心的兩側(cè)垂徑定理的推論垂徑定理的推論圓的兩條平行弦所夾的弧相等圓的兩條平行弦所夾的弧相等.圓的對稱性及特性圓的對稱性及特性 圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形, ,圓的對稱軸是任意一條經(jīng)過圓的對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線圓心的直線, ,它有無數(shù)條

19、對稱軸它有無數(shù)條對稱軸. .圓也是中心對稱圖形圓也是中心對稱圖形, ,它的對稱中心就是圓心它的對稱中心就是圓心. .用旋轉(zhuǎn)的方法可以得到用旋轉(zhuǎn)的方法可以得到: :一個圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一一個圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度個角度, ,都能與原來的圖形重合都能與原來的圖形重合. .這是圓特有的一個性質(zhì)這是圓特有的一個性質(zhì): :圓的旋圓的旋轉(zhuǎn)不變性轉(zhuǎn)不變性O(shè) OA A圓心角圓心角圓心角圓心角頂點在圓心的角頂點在圓心的角( (如如AOB).AOB).如圖如圖, ,在在O O中中, ,分別作相等的圓心角分別作相等的圓心角AOBAOB和和AOB, AOB, 將其中將其中的一個角旋轉(zhuǎn)一個角度的一個角旋轉(zhuǎn)

20、一個角度, ,使得使得OAOA和和OAOA重合重合. .你能發(fā)現(xiàn)那些等量關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)那些等量關(guān)系? ?說一說你的理由說一說你的理由. .B BA AO OAABBAAD DB BA AO ODDBBAB=ABAB=AB AB=ABAB=ABOD=ODOD=OD 如圖如圖, ,如果在兩個如果在兩個等圓等圓O O和和O O 中中, ,分別作相等的圓心角和分別作相等的圓心角和AOBAOB和和AOB,AOB,固定圓心固定圓心, ,將其中的一個旋轉(zhuǎn)一個角度將其中的一個旋轉(zhuǎn)一個角度, ,使得使得OAOA和和OAOA重合重合. .你又能發(fā)現(xiàn)那些等量關(guān)系你又能發(fā)現(xiàn)那些等量關(guān)系? ?說一說你的理由說一說你的理由

21、. .AAD DB BA AO ODDBBO O AABBB BA AO OB BA AO O圓心角圓心角六、圓心角六、圓心角, , 弧弧, ,弦弦, ,弦心距之間的關(guān)系定弦心距之間的關(guān)系定理理 在同圓或等圓中在同圓或等圓中, ,相等的圓心角所對的弧相等相等的圓心角所對的弧相等, ,所對所對的弦相等的弦相等, ,所對的弦的弦心距相等所對的弦的弦心距相等. .由由條條件件: :AOB=AOBAOB=AOBAB=ABAB=AB AB=ABAB=ABOD=ODOD=ODAAD DB BA AO ODDBB或或D DB BA AO O O OAAO ODDBBOO和和拓展與深化拓展與深化 在同圓或等圓

22、中在同圓或等圓中, ,如果輪換下面四組條件如果輪換下面四組條件: : 兩個圓心角兩個圓心角, ,兩條弧兩條弧, ,兩條弦兩條弦, ,兩條弦心距兩條弦心距, ,你能得出什么結(jié)論你能得出什么結(jié)論? ?與同伴交流你的想法和理由與同伴交流你的想法和理由. .如由條件如由條件:AB=ABAB=ABAB=ABAB=AB OD=OD OD=ODAOB=AOBAOB=AOBAAD DB BA AO ODDBB或或D DB BA AO O O OAAO ODDBBOO和和推論推論 在同圓或等圓中在同圓或等圓中, ,如果如果兩個圓心角兩個圓心角, ,兩條弧兩條弧, ,兩兩條弦條弦, ,兩條弦心距中兩條弦心距中, ,有一組量相等有一組量相等, ,那么它們所對那么它們所對應的其余各組量都分別相等應的其余各組量都分別相等. .如由條件如由條件:AB=ABAB=AB AB=ABAB=AB OD=OD OD=ODAOB=AOBAOB=AOBAAD DB BA AO ODDBB或或D DB BA AO O O OAAO ODDBBOO和和 1 1、如圖，、如圖，ABAB、CDCD是是O