401 統(tǒng)計在理想氣體中的應用

1、重點：重點：將將m-b統(tǒng)計應用于理想氣體得出的幾個統(tǒng)計規(guī)律統(tǒng)計應用于理想氣體得出的幾個統(tǒng)計規(guī)律一、麥克斯韋分子速率分布定律一、麥克斯韋分子速率分布定律條件：條件： 理想氣體，平衡態(tài)（熱動平衡）理想氣體，平衡態(tài)（熱動平衡）宏觀：宏觀：有有確確定定值值tpn,微觀：微觀： 各分子不停運動且頻繁碰撞，各分子不停運動且頻繁碰撞，無無規(guī)規(guī)運運動動不不斷斷變變化化,v對大量分子整體而言，氣體分子按速率分布具有確對大量分子整體而言，氣體分子按速率分布具有確定規(guī)律。定規(guī)律。1. . 內容內容： 平衡態(tài)下，無外力場作用時，理想氣體分子速率在平衡態(tài)下，無外力場作用時，理想氣體分子速率在v v + d+ dv 間的

2、概率為間的概率為: :vvektmnnwktmvd)2(4dd22232分布函數：分布函數：分子速率在分子速率在 v 附近單位速率區(qū)間的概率附近單位速率區(qū)間的概率22232)2(4dd)(vektmvnnvfktmv2. 麥克斯韋速率分布曲線麥克斯韋速率分布曲線討論討論: : 1）氣體分子速率可取氣體分子速率可取0的一切值，但的一切值，但v 很小和很小和v很大的分子所占比率小，很大的分子所占比率小，具有中等速率分子所占比具有中等速率分子所占比率大。率大。令令解解得得0d)(dvvfrtmntknmktvaap222數量級：數量級：132sm1010室溫下室溫下,:最最概概然然速速率率pvovf

3、(v)vp物理意義：物理意義：的的分分子子數數最最多多？是是不不是是速速率率正正好好等等于于pvrtmntknmktvaap222,:最最概概然然速速率率pv vnvfnvnnvfdd,dd)(0d0dnv則則若若若將若將 分為相等的速率間隔，則在包含分為相等的速率間隔，則在包含 的的間隔中的分子數最多。間隔中的分子數最多。vpvovf(v)vp窄條：窄條：nnvvnnvvfddddd)( 分子速率在分子速率在 vv+dv 區(qū)間內的概率區(qū)間內的概率部分：部分：nnnnvvfvvvvvv212121dd)( 區(qū)區(qū)間間的的概概率率分分子子速速率率在在21vv 2) 曲線下的面積曲線下的面積討論：討

4、論： ovf(v)v+dvvf(v)vf(v)oovv1v2總面積：總面積：1dd)(00nnnnvvf歸一化條件歸一化條件練習：練習：pvvvfvvnfd)(d)(pvvvnfvvnf0d)(d)(的物理意義的物理意義?ovf(v)v+dvvf(v)vf(v)oovv1v2:d)(vvnf:dv)v(nf:d pvv)v(f:d0 pvv)v(nf.的的概概率率分分子子速速率率大大于于pv.的的分分子子數數速速率率小小于于pv.d 區(qū)區(qū)間間的的分分子子數數速速率率在在vvv .d 區(qū)區(qū)間間的的分分子子數數密密度度速速率率在在vvv m一定一定,mktvtp23) 分布曲線隨分布曲線隨 m ,

5、t 變化變化討論：討論： 曲線峰值右移，總面積不變，曲線變平坦曲線峰值右移，總面積不變，曲線變平坦 t 一定一定, ,mktvmp2曲線峰值左移，總面積不曲線峰值左移，總面積不變，曲線變尖銳。變，曲線變尖銳。3. .分子速率的三種統(tǒng)計平均值分子速率的三種統(tǒng)計平均值wmmd0d)()()(vvfvgvg一般情況：一般情況：ovf(v)vp2vp1m1m2 m1t一定一定1） 平均速率平均速率2） 方均根速率方均根速率3） 最概然速率（最可幾速率最概然速率（最可幾速率)rtrtmktvvvfv60. 188d)(0rtrtmktvp41. 122mktvvfvv3d)(022rtrtmktv73.

6、 1332三者關系：三者關系：2vvvpovf(v)vpv2v練習練習1.1.則則：圖圖中中，若若bass a.a.b.b.c.c.d.d.vv 0pvv 020vv nnnvv21000 練習練習2.2.圖示為氫分子和氧分子在相同溫度下的麥克斯韋速率分圖示為氫分子和氧分子在相同溫度下的麥克斯韋速率分布曲線，氫分子的最概然速率為布曲線，氫分子的最概然速率為 ， 氧分子的最概然速率為氧分子的最概然速率為 。-1sm -1sm )(vf -1sm vo1000 rtmktvp22 2216homm 2241hpopvv 100040002o2h練習練習3.3.處理理想氣體分子速率分布的統(tǒng)計方法可用

7、于處理理想氣體分子速率分布的統(tǒng)計方法可用于金屬中金屬中自由電子自由電子(“電子氣電子氣”模型模型),設導體中自由電子數為設導體中自由電子數為n,電電子速率最大值為費米速率子速率最大值為費米速率vf且已知電子速率在且已知電子速率在 v v+dv 區(qū)間概率為：區(qū)間概率為： nnd0d2vav)()0(ffvvavv 為為常常數數1. 1. 畫出電子氣速率分布曲線畫出電子氣速率分布曲線2.2.avf定定出出由由3.3.2,vvvp求求解解: : vnn)v(fdd)vv()vv(avff 0021.1.2. 2. 由歸一化條件由歸一化條件33002313ddffvva,vavavv)v(ff fvf

8、vvvvvvvvfvf75. 0d3d)(2003 3.3.;fpvv ffffvvvvvvvvvvf77. 06 . 06 . 0d3222022 二、二、 玻爾茲曼玻爾茲曼(奧地利奧地利1844-19061844-1906)粒子數按勢能分布規(guī)律粒子數按勢能分布規(guī)律或：重力場中粒子數按高度分布規(guī)律或：重力場中粒子數按高度分布規(guī)律無外力場存在時無外力場存在時, ,麥氏分子速率分布定律麥氏分子速率分布定律vve)ktm(nnwktmvd24dd22232 麥氏分子速度分布定律麥氏分子速度分布定律zyx)vvv(ktmvvve)ktm(nnwzyxddd2dd222223 保守力場中，粒子不再均勻

9、分布保守力場中，粒子不再均勻分布兩點修正兩點修正)(2222kpkzyxvvvmeeee 取取代代用用變量間隔改為變量間隔改為zyxvvvzyxdddddd在空間小體積在空間小體積中中zzzyyyxxxd,d,d 速度在速度在區(qū)區(qū)間間zzzyyyxxxvvvvvvvvvd,d,d 的分子數：的分子數：zyxvvve)ktm(cnzyxkteedddddd2dpk23 對所有速度積分得體積元對所有速度積分得體積元內內總總分分子子數數zyxdddzyxcenkteddddp 分子數密度：分子數密度：ktecezyxnnpdddd 則分子密度為處設,00pne rtghktmghkteenenenn

10、000p 重力場中重力場中，熱運動與重力作用相互影響，實現熱動平衡，熱運動與重力作用相互影響，實現熱動平衡時，氣體分子數密度隨高度上升，按指數規(guī)律下降。時，氣體分子數密度隨高度上升，按指數規(guī)律下降。恒溫氣壓公式恒溫氣壓公式rtghrtghepktennktp 00ppgrth0ln 高度計原理高度計原理三三. . 能均分定律能均分定律 理想氣體內能理想氣體內能各種平均能量按自由度均分各種平均能量按自由度均分1. . 模型的改進模型的改進推導壓強公式：推導壓強公式： 理想氣體分子理想氣體分子 質點質點討論能量問題：討論能量問題： 考慮分子內部結構考慮分子內部結構 質點組質點組大量分子系統(tǒng)：大量分

11、子系統(tǒng)：各種運動形式的能量分布、平均總能量均遵守統(tǒng)計規(guī)律。各種運動形式的能量分布、平均總能量均遵守統(tǒng)計規(guī)律。分子熱運動分子熱運動平動平動轉動轉動分子內原子間振動分子內原子間振動2. .自由度自由度確定一個物體的空間位置所需的獨立坐標數確定一個物體的空間位置所需的獨立坐標數srti總自由度數總自由度數=平動自由度平動自由度+轉動自由度轉動自由度+振動自由度振動自由度3 ti1） 質點：質點： 只有平動，最多三個自由度只有平動，最多三個自由度),(zyx受限制時自由度減少受限制時自由度減少飛機飛機 t =3輪船輪船 t =2火車火車 t =1例：例：決定質心位置決定質心位置),(zyxt =3過質

12、心轉軸方位過質心轉軸方位之二）,(剛體相對于軸的方位剛體相對于軸的方位)(r =3最多最多6個自由度個自由度: : i = t + r = 6定軸剛體定軸剛體 : : i = r = 1)(2） 剛體剛體xzoyzyxc,3）氣體分子）氣體分子單原子分子單原子分子自由質點自由質點 i = t = 3質心位置質心位置 t = 32,21rmm連連線線方方位位1,21smm相相對對于于質質心心的的位位置置6srti雙原子分子雙原子分子 輕彈簧聯系的兩個質點輕彈簧聯系的兩個質點xyzocm2m1多原子分子（原子數多原子分子（原子數 n )最多可能自由度最多可能自由度i=3n平動平動 t =3轉動轉動

13、 r =3振動振動 s =3n-6剛性多原子分子剛性多原子分子t = 3r = 3s = 0i = 63. 能均分定律能均分定律分子的平均總動能分子的平均總動能: :kti2k由由m-b統(tǒng)計得統(tǒng)計得, ,在溫度在溫度t的平衡態(tài)下，物質的平衡態(tài)下，物質( (固，液，氣固，液，氣) )分子的每一個可能的自由度都有相同的平均動能分子的每一個可能的自由度都有相同的平均動能kt21定性說明：定性說明： 由于分子頻繁碰撞，動能在各運動形式、由于分子頻繁碰撞，動能在各運動形式、各自由度之間轉移，平衡時，各種平均動能按自由各自由度之間轉移，平衡時，各種平均動能按自由度均分。度均分。由能均分定律，其它各自由度上

14、平均動能均為由能均分定律，其它各自由度上平均動能均為kt21由溫度公式由溫度公式ktvvvmvmzyxt23)(21212222ktvmvmvmzyx21212121222每個自由度上的平均平動動能：每個自由度上的平均平動動能：平均平動動能平均平動動能ktt2平均轉動動能平均轉動動能ktr2平均振動動能平均振動動能kts2平均總動能平均總動能ktiktsrt2)(21k注意注意:能均分定律是統(tǒng)計規(guī)律，反映大量分子系統(tǒng)的整能均分定律是統(tǒng)計規(guī)律，反映大量分子系統(tǒng)的整體性質，對個別分子或少數分子不適用。體性質，對個別分子或少數分子不適用。2） 理想氣體內能：（分子數理想氣體內能：（分子數 n）模型：

15、模型：分子間無相互作用分子間無相互作用無分子相互作用勢能無分子相互作用勢能分子動能：分子動能：ktin2原子振動勢能：原子振動勢能：ktsn2ktsrtn)2(214. 理想氣體的內能理想氣體的內能1）實際氣體）實際氣體的內能的內能：（分子數：（分子數 n）所有分子的動能：所有分子的動能：ktinktsrtn2)(21微振動：采用諧振動模型微振動：采用諧振動模型所有分子內原子振動勢能：所有分子內原子振動勢能：pkee ktsn2分子間相互作用勢能：分子間相互作用勢能： 與體積與體積 v 有關有關與與t,v有關有關模型：模型：剛性分子剛性分子無振動自由度無振動自由度分子數為分子數為 n 的理想氣

16、體的內能為的理想氣體的內能為ktinne2k對對 1mol 剛性分子理想氣體剛性分子理想氣體rtiktinea22剛性分子理想氣體剛性分子理想氣體對對molmrtime2單原子分子單原子分子rtme23rtme25剛性雙原子分子剛性雙原子分子剛性多原子分子剛性多原子分子rtme3溫度溫度 t 的的單值函數單值函數rti平衡態(tài)下，物質分子每個自由度上的平均動能平衡態(tài)下，物質分子每個自由度上的平均動能平衡態(tài)下，物質分子的平均平動動能平衡態(tài)下，物質分子的平均平動動能平衡態(tài)下，物質分子的平均總動能平衡態(tài)下，物質分子的平均總動能平衡態(tài)下，平衡態(tài)下，1 1mol理想氣體內能理想氣體內能指出下列各量的物理意

17、義指出下列各量的物理意義:21kt:23kt:2kti:2rti:2rtim理想氣體內能理想氣體內能molm四四. . 分子碰撞的統(tǒng)計規(guī)律分子碰撞的統(tǒng)計規(guī)律分子速率分布分子速率分布平均動能按自由度分布平均動能按自由度分布都是依賴分子間都是依賴分子間頻繁碰撞實現的頻繁碰撞實現的只能求統(tǒng)計平均值，只能求統(tǒng)計平均值，尋求其統(tǒng)計規(guī)律。尋求其統(tǒng)計規(guī)律。每個分子每個分子1 1秒內與其它分子相撞次數秒內與其它分子相撞次數連續(xù)兩次相撞間經過的時間間隔連續(xù)兩次相撞間經過的時間間隔連續(xù)兩次相撞間通過的路程連續(xù)兩次相撞間通過的路程均不確定均不確定1 . 1 . 分子平均碰撞頻率分子平均碰撞頻率z單位時間內每個分子平

18、均與其它分子相撞次數單位時間內每個分子平均與其它分子相撞次數思考：思考：是否可以象求是否可以象求 p 那樣視為質點？那樣視為質點？1 1） 模型的改變：模型的改變：分析分子碰撞的過程分析分子碰撞的過程分子間相互作用分子間相互作用斥斥力力00 frr00 frr引引力力00 frr00 frr勻速直線運動勻速直線運動0rr 加加速速0rr max0vvrr 減減速速0rr 返返回回0 vdrabdab兩分子相碰過程（經典模型）兩分子相碰過程（經典模型）分子間最小距離分子間最小距離 d 與分子初動與分子初動能有關，其統(tǒng)計平均值能有關，其統(tǒng)計平均值分子分子的有效直徑。的有效直徑。)m10(10 一一

19、般般abd分子相撞分子相撞視為直徑為視為直徑為 d 的剛性小球的彈性碰撞的剛性小球的彈性碰撞2) 2) 推導公式：推導公式：“跟蹤跟蹤”一個分子一個分子a，認為其它分子不動，認為其它分子不動，a以平均以平均相對速率相對速率 相對其它分子運動。相對其它分子運動。u碰碰撞撞截截面面:2d 時間時間 t 內，內，a通過的折線長通過的折線長tu以折線為軸的曲折圓柱體積以折線為軸的曲折圓柱體積2dtu 圓柱內分子數圓柱內分子數2dtun a球心軌跡：折線球心軌跡：折線質心與折線距離質心與折線距離 d 的分的分子將不與子將不與a相碰相碰u單位時間內平均碰撞次數單位時間內平均碰撞次數2dun 平均碰撞頻率平

20、均碰撞頻率vdnz22 一般：一般：1109s1010 平均相對速率平均相對速率vu2 avbvu2 vavbv0 uvvabvu2 u1 1） 定義定義分子在連續(xù)兩次碰撞間通過的自由路程的平均值。分子在連續(xù)兩次碰撞間通過的自由路程的平均值。2）ndzv221 pdkt22 nktp 常溫常壓下：常溫常壓下：m101078 為分子有效直徑的數百倍為分子有效直徑的數百倍注意：注意：容容器器線線度度很很小小時時，算算出出的的很很小小，當當 np容容器器線線度度這這時時 2.2.分子平均自由程分子平均自由程 習題課習題課. . 第第1818章重點：章重點：mb統(tǒng)計在理想氣體中的應用統(tǒng)計在理想氣體中的

21、應用兩個基本概念：兩個基本概念： p, t四個統(tǒng)計規(guī)律四個統(tǒng)計規(guī)律麥克斯韋分子速率分布麥克斯韋分子速率分布玻爾茲曼粒子按勢能分布玻爾茲曼粒子按勢能分布能均分定律能均分定律分子平均碰撞頻率和平均自由程分子平均碰撞頻率和平均自由程kttt2 1 ：1rtvmp 2 ：1rtime2 3:1043:25 10 ：3解：解： 1. 2 1. 2克氫氣與克氫氣與2 2克氦氣分別裝在兩容積相同的封閉克氦氣分別裝在兩容積相同的封閉空間，溫度相同。則：空間，溫度相同。則：1 1） 氫分子與氦分子平均平動動能之比：氫分子與氦分子平均平動動能之比：2 2） 氫氣與氦氣壓強之比：氫氣與氦氣壓強之比：3 3） 氫氣與

22、氦氣內能之比：氫氣與氦氣內能之比：練習練習解：解： 2. 一定量的理想氣體，經等壓過程從一定量的理想氣體，經等壓過程從 v 2 v則表述分子運動的下列各量與原來的量值之比是：則表述分子運動的下列各量與原來的量值之比是：1 1） 平均自由程：平均自由程：_2 2） 平均速率：平均速率：_3 3） 平均動能：平均動能：_2 ： 1nd221 22nn,vv rtv8 12 :ttnnnktp2, 2 不不變變，ktik2 2 ： 1練習練習3.容器中儲有一定量理想氣體容器中儲有一定量理想氣體,溫度為溫度為 t ,分子質量分子質量為為 m ,則分子速度在則分子速度在 x 方向的分量的平均值為方向的分

23、量的平均值為: d （a a）（c c）（b b）（d d）mktvx 831 mktvx 38 mktvx23 0 vx練習練習4.標準狀態(tài)下標準狀態(tài)下,若氧氣和氦氣的體積比若氧氣和氦氣的體積比v1/v2 = 1/2, 則其內能則其內能 e1/e2 為為: （a）1/2 ; （b）5/6 ;（c）3/2 ; （d）1/3 .652135;22221121 vivieepvirtime b 5. 5. 水蒸氣分解為同溫度水蒸氣分解為同溫度 t t 的氫氣和氧氣的氫氣和氧氣, ,即即 h h2 2o oh h2 2+0.5o+0.5o2 2 內能增加了多少？內能增加了多少？ （a）50% （b）

24、25% （c）66.7% （d）0.練習練習 b 41;4345:mol5 . 025:mol126:mol1222 eerterteortehrteoh 6. .在恒定不變的壓強下，氣體分子的平均碰撞頻率在恒定不變的壓強下，氣體分子的平均碰撞頻率 與氣體的熱力學溫度與氣體的熱力學溫度 t t 的關系為的關系為: :z練習練習 c tmktktpdvndz182222 (a) (a) 與與t t 無關。無關。z(b) (b) 與與 成正比。成正比。t(c) (c) 與與 成反比。成反比。(d) (d) 與與t t 成正比。成正比。zzzt7.下列各式中哪一種表示氣體分子的平均平動動能？下列各式

25、中哪一種表示氣體分子的平均平動動能？（式中（式中 m 為氣體的質量為氣體的質量,m 為氣體分子的質量為氣體分子的質量, n 為氣為氣體分子總數目體分子總數目, n 為氣體分子密度為氣體分子密度, n0 為阿伏加德羅常為阿伏加德羅常數數, mmol為摩爾質量。）為摩爾質量。）（a a）（c c）（b b）（d d）;23pvmm;23molpvmm.230molpvnmm;23npv練習練習 a pvmmmmrtmmmmmmnrtktt23232323mol0 8. .一瓶氦氣一瓶氦氣 hehe 和一瓶氮氣和一瓶氮氣 n n2 2 質量密度相同質量密度相同, ,分子分子平均平動動能相同平均平動動

26、能相同, ,而且都處于平衡狀態(tài)而且都處于平衡狀態(tài), ,則它們：則它們：（a）溫度相同、壓強相同。）溫度相同、壓強相同。（b）溫度、壓強都不同。）溫度、壓強都不同。（c）溫度相同）溫度相同, ,但氦氣的壓強大于氮氣的壓強。但氦氣的壓強大于氮氣的壓強。（d）溫度相同）溫度相同, ,但氦氣的壓強小于氮氣的壓強。但氦氣的壓強小于氮氣的壓強。練習練習 c mmktnktpnmktt1,23 9. . 有一截面均勻的封閉圓筒，中間被一光滑的活有一截面均勻的封閉圓筒，中間被一光滑的活塞分割成兩邊，如果其中的一邊裝有塞分割成兩邊，如果其中的一邊裝有0.1kg0.1kg某一溫某一溫度的氫氣，為了使活塞停留在圓筒的正中央，則度的氫氣，為了使活塞停留在圓筒的正中央，則另一邊應裝入同一溫度的氧氣質量為：另一邊應裝入同一溫度的氧氣質量為：kg. 3.2 (d)kg. 1.6 (c)kg. 0.8 (b)kg. 16/1