概率論課后習題答案

1、習題七1.設總體X服從二項分布b（n，p），n已知，X1，X2，Xn為來自X的樣本，求參數p的矩法估計.【解】因此np=所以p的矩估計量 2.設總體X的密度函數f（x,）=X1，X2，Xn為其樣本，試求參數的矩法估計.【解】令E(X)=A1=,因此=所以的矩估計量為 3.設總體X的密度函數為f（x，），X1，X2，Xn為其樣本，求的極大似然估計.（1） f（x，）=（2） f（x，）=【解】（1） 似然函數由知所以的極大似然估計量為.(2) 似然函數,i=1,2,n.由知所以的極大似然估計量為 4.從一批炒股票的股民一年收益率的數據中隨機抽取10人的收益率數據，結果如下：序號123456789

2、10收益率0.01-0.11-0.12-0.09-0.13-0.30.1-0.09-0.1-0.11求這批股民的收益率的平均收益率及標準差的矩估計值.【解】 由知,即有于是 所以這批股民的平均收益率的矩估計值及標準差的矩估計值分別為-0.94和0.966.5.隨機變量X服從0，上的均勻分布，今得X的樣本觀測值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求的矩法估計和極大似然估計，它們是否為的無偏估計.【解】(1) ,令，則且,所以的矩估計值為且是一個無偏估計.(2) 似然函數,i=1,2,8.顯然L=L()(>0)，那么時，L=L()最大,所以的極大似然估計值=0.

3、9.因為E()=E(),所以=不是的無偏計.6.設X1，X2，Xn是取自總體X的樣本，E（X）=，D（X）=2， =k,問k為何值時為2的無偏估計.【解】令 i=1,2,n-1,則 于是 那么當,即時,有 7.設X1，X2是從正態(tài)總體N（，2）中抽取的樣本試證都是的無偏估計量，并求出每一估計量的方差.【證明】（1）,所以均是的無偏估計量.(2) 8.某車間生產的螺釘，其直徑XN（，2），由過去的經驗知道2=0.06,今隨機抽取6枚，測得其長度（單位mm）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2試求的置信概率為0.95的置信區(qū)間.【解】n=6,2=0.06,=1-0.95

4、=0.05,的置信度為0.95的置信區(qū)間為.9.總體XN(,2)，2已知，問需抽取容量n多大的樣本，才能使的置信概率為1-，且置信區(qū)間的長度不大于L？【解】由2已知可知的置信度為1-的置信區(qū)間為,于是置信區(qū)間長度為,那么由L,得n10.設某種磚頭的抗壓強度XN（，2），今隨機抽取20塊磚頭，測得數據如下（kg·cm-2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 9984 66 100 98 72 74 87 84 48 81（1） 求的置信概率為0.95的置信區(qū)間.（2） 求2的置信概率為0.95的置信區(qū)間.【解】(1) 的置信度為0.95的置信區(qū)間(2)的置信度為0.

5、95的置信區(qū)間11.設總體Xf(x)=X1,X2,Xn是X的一個樣本，求的矩估計量及極大似然估計量.【解】(1)又故所以的矩估計量 (2) 似然函數.取對數所以的極大似然估計量為12.設總體Xf(x)= X1,X2,Xn為總體X的一個樣本（1） 求的矩估計量；（2） 求.【解】(1) 令 所以的矩估計量 (2)，又于是,所以13.設某種電子元件的使用壽命X的概率密度函數為f(x,)= 其中(>0)為未知參數，又設x1,x2,xn是總體X的一組樣本觀察值，求的極大似然估計值.【解】似然函數由那么當所以的極大似然估計量14. 設總體X的概率分布為X0 1 2 3P2 2(1-) 2 1-2其

6、中(0<<)是未知參數，利用總體的如下樣本值3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估計值和極大似然估計值.【解】所以的矩估計值（2） 似然函數解得 .由于 所以的極大似然估計值為 .15.設總體X的分布函數為F（x,）=其中未知參數>1,>0，設X1,X2,Xn為來自總體X的樣本（1） 當=1時，求的矩估計量；（2） 當=1時，求的極大似然估計量；（3） 當=2時，求的極大似然估計量. 【解】當=1時，當=2時, (1) 令,于是所以的矩估計量(2) 似然函數所以的極大似然估計量(3) 似然函數顯然那么當時, ,所以的極大似然估計量.16.從正態(tài)總體XN（3.4，62）

7、中抽取容量為n的樣本，如果其樣本均值位于區(qū)間（1.4，5.4）內的概率不小于0.95，問n至少應取多大？z1.281.6451.962.33j(z)0.90.950.9750.99【解】,則于是則, n35.17. 設總體X的概率密度為f(x，)=其中是未知參數（0<<1）,X1,X2,Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，記N為樣本值x1,x2,xn中小于1的個數.求：（1） 的矩估計；（2） 的最大似然估計. 解 (1) 由于.令，解得，所以參數的矩估計為.似然函數為，取對數，得兩邊對求導，得令 得 ，所以的最大似然估計為.18.19.習題八1. 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下

8、服從正態(tài)分布N(4.55,0.1082).現在測了5爐鐵水，其含碳量（%）分別為4.28 4.40 4.42 4.35 4.37問若標準差不改變，總體平均值有無顯著性變化（=0.05）?【解】所以拒絕H0，認為總體平均值有顯著性變化.2. 某種礦砂的5個樣品中的含鎳量（%）經測定為：3.24 3.26 3.24 3.27 3.25設含鎳量服從正態(tài)分布，問在=0.01下能否接收假設：這批礦砂的含鎳量為3.25.【解】設所以接受H0，認為這批礦砂的含鎳量為3.25.3. 在正常狀態(tài)下，某種牌子的香煙一支平均1.1克，若從這種香煙堆中任取36支作為樣本；測得樣本均值為1.008（克），樣本方差s2=

9、0.1(g2).問這堆香煙是否處于正常狀態(tài).已知香煙（支）的重量（克）近似服從正態(tài)分布（取=0.05）.【解】設所以接受H0，認為這堆香煙（支）的重要（克）正常.4.某公司宣稱由他們生產的某種型號的電池其平均壽命為21.5小時，標準差為2.9小時.在實驗室測試了該公司生產的6只電池，得到它們的壽命（以小時計）為19，18，20，22，16，25，問這些結果是否表明這種電池的平均壽命比該公司宣稱的平均壽命要短？設電池壽命近似地服從正態(tài)分布（取=0.05）.【解】所以接受H0，認為電池的壽命不比該公司宣稱的短.5.測量某種溶液中的水分，從它的10個測定值得出=0.452(%),s=0.037(%)

10、.設測定值總體為正態(tài)，為總體均值，為總體標準差，試在水平=0.05下檢驗.（1） H0：=0.5(%)；H1：0.5(%).（2） =0.04(%)；0.04(%).【解】(1)所以拒絕H0，接受H1.(2)所以接受H0，拒絕H1.6.某種導線的電阻服從正態(tài)分布N（，）.今從新生產的一批導線中抽取9根，測其電阻，得s=0.008歐.對于=0.05，能否認為這批導線電阻的標準差仍為0.005?【解】故應拒絕H0，不能認為這批導線的電阻標準差仍為0.005.7.有兩批棉紗，為比較其斷裂強度，從中各取一個樣本，測試得到：第一批棉紗樣本：n1=200，=0.532kg, s1=0.218kg；第二批棉

11、紗樣本：n2=200，=0.57kg, s2=0.176kg.設兩強度總體服從正態(tài)分布，方差未知但相等，兩批強度均值有無顯著差異？(=0.05)【解】所以接受H0，認為兩批強度均值無顯著差別.8.兩位化驗員A，B對一種礦砂的含鐵量各自獨立地用同一方法做了5次分析，得到樣本方差分別為0.4322(%2)與0.5006(%2).若A，B所得的測定值的總體都是正態(tài)分布，其方差分別為A2，B2，試在水平=0.05下檢驗方差齊性的假設【解】那么所以接受H0，拒絕H1.9.10.11.12.習題九1 燈泡廠用4種不同的材料制成燈絲，檢驗燈線材料這一因素對燈泡壽命的影響.若燈泡壽命服從正態(tài)分布，不同材料的燈

12、絲制成的燈泡壽命的方差相同，試根據表中試驗結果記錄，在顯著性水平0.05下檢驗燈泡壽命是否因燈絲材料不同而有顯著差異？試驗批號1 2 3 4 5 6 78燈絲材料水平A1A2A3A416001580146015101610164015501520165016401600153016801700162015701700175016401600172016601680180017401820【解】=69895900-69700188.46=195711.54,=69744549.2-69700188.46=44360.7,=151350.8,故燈絲材料對燈泡壽命無顯著影響.表9-1-1方差分析表方

13、差來源平方和S自由度均方和F值因素影響44360.7314786.92.15誤差151350.8226879.59總和195711.54252. 一個年級有三個小班，他們進行了一次數學考試，現從各個班級隨機地抽取了一些學生，記錄其成績如下：73 6688 7768 4189 6078 3179 5982 4548 7856 6843 9391 6291 5380 3651 7671 7973 7785 9671 1574 808756試在顯著性水平0.05下檢驗各班級的平均分數有無顯著差異.設各個總體服從正態(tài)分布，且方差相等.【解】=199462-185776.9=13685.1,=18611

14、2.25-185776.9=335.35,=13349.65,故各班平均分數無顯著差異.表9-2-1方差分析表方差來源平方和S自由度均方和F值因素影響335.352167.680.465誤差13349.6537360.80總和13685393. 下面記錄了3位操作工分別在不同機器上操作3天的日產量.操作工機器甲乙丙A115 15 1719 19 1616 18 21A217 17 1715 15 1519 22 22A315 17 1618 17 1618 18 18A418 20 2215 16 1717 17 17取顯著性水平=0.05,試分析操作工之間，機器之間以及兩者交互作用有無顯著差

15、異？【解】由已知r=4,s=3,t=3.的計算如表9-3-1.表9-3-1Tij機器工作操甲乙丙475455156514563159485154153604851159206198223627表9-3-2得方差分析表方差來源平方和S自由度均方和F值因素A（機器）2.7530.92=053因素B（操作工）27.17213.58=7.89交互作用A×B73.50612.25=7.12誤差4.33241.72總和1094.75接受假設，拒絕假設.即機器之間無顯著差異，操作之間以及兩者的交互作用有顯著差異.4. 為了解3種不同配比的飼料對仔豬生長影響的差異，對3種不同品種的豬各選3頭進行試驗

16、，分別測得其3個月間體重增加量如下表所示，取顯著性水平=0.05，試分析不同飼料與不同品種對豬的生長有無顯著影響？假定其體重增長量服從正態(tài)分布，且各種配比的方差相等.體重增長量因素B（品種）B1B2B3因素A（飼料）A1A2A3515352565758454947【解】由已知r=s=3,經計算=52, =50.66,=53=52.34, =52, =57, =47,表9-4-1得方差分析表方差來源平方和S自由度均方和F值飲料作用8.6824.345.23品種作用15027590.36試驗誤差3.3240.83總和162由于因而接受假設,拒絕假設.即不同飼料對豬體重增長無顯著影響,豬的品種對豬體

17、重增長有顯著影響.5.研究氯乙醇膠在各種硫化系統(tǒng)下的性能（油體膨脹絕對值越小越好）需要考察補強劑（A）、防老劑（B）、硫化系統(tǒng)（C）3個因素（各取3個水平），根據專業(yè)理論經驗，交互作用全忽略，根據選用L9(34)表作9次試驗及試驗結果見下表：表頭設計試驗列號試驗號1 2 3 4結果1234567891 1 1 11 2 2 21 3 3 32 1 2 32 2 3 12 3 1 23 1 3 23 2 1 33 3 2 17.255.485.355.404.425.904.685.905.63試作最優(yōu)生產條件的直觀分析，并對3因素排出主次關系.給定=0.05,作方差分析與(1)比較.【解】(1

18、) 對試驗結果進行極差計算，得表9-5-1.表9-5-118.0817.3319.0517.30T=50.0115.7215.8016.5116.0616.2116.8814.4516.652.361.534.461.24由于要求油體膨脹越小越好，所以從表9-5-1的極差Rj的大小順序排出因素的主次順序為：主次B,A,C最優(yōu)工藝條件為：.(2) 利用表9-5-1的結果及公式,得表9-5-2.表9-5-2A1B2C341.0340.4123.5390.256表9-5-2中第4列為空列，因此,其中，所以=0.128方差分析表如表9-5-3.表9-5-3方差來源顯著性A1.03420.5174.03

19、9B0.41220.2061.609C3.53921.76913.828e0.25620.128由于，故因素C作用較顯著，A次之，B較次，但由于要求油體膨脹越小越好，所以主次順序為：BAC，這與前面極差分析的結果是一致的.6. 某農科站進行早稻品種試驗（產量越高越好），需考察品種（A），施氮肥量（B），氮、磷、鉀肥比例（C），插植規(guī)格（D）4個因素，根據專業(yè)理論和經驗，交互作用全忽略，早稻試驗方案及結果分析見下表：因素試驗號A品種B施氮肥量C氮、磷、鉀肥比例D插植規(guī)格試驗指標產量123456781（科6號）12(科5號)21(科7號)12(珍珠矮)21(20)2(25)1212121(221)

20、2(323)1221211(5×6)2(6×6)21122119.020.021.922.321.021.018.018.2(1) 試作出最優(yōu)生產條件的直觀分析，并對4因素排出主次關系.(2) 給定=0.05,作方差分析，與(1)比較.【解】被考察因素有4個：A，B，C，D每個因素有兩個水平，所以選用正交表L8（27），進行極差計算可得表9-6-1.表9-6-1列號水平試驗號1A23B4C5D67試驗結果1111111119.02111222220.03122112221.94122221122.35212121221.06212212121.07221122118.082

21、21211218.2T1j83.281.075.279.980.180.580.3T=161.4T2j78.280.486.281.581.380.981.1Rj5.00.611.01.61.20.40.8從表9-6-1的極差Rj的大小順序排出因素的主次為：最優(yōu)方案為：(2) 利用表9-6-1的結果及公式得表9-6-2.表9-6-21A23B4C5D673.1250.04515.1250.3200.1800.0200.080表9-6-2中第1,3,7列為空列，因此se=s1+s3+s7=18.330,fe=3,所以=6.110.而在上表中其他列中.故將所有次均并入誤差，可得整理得方差分析表為表

22、9-6-3.表9-6-3方差來源顯著性A0.04510.0450.017B0.32010.3200.119C0.18010.1800.067D0.02010.0200.007e18.33036.11018.89572.699由于，故4因素的影響均不顯著，但依順序為：與（1）中極差分析結果一致. 習題十1. 在硝酸鈉(NaNO3)的溶解度試驗中，測得在不同溫度x()下，溶解于100份水中的硝酸鈉份數y的數據如下，試求y關于x的線性回歸方程.xi0 4 10 15 21 29 36 51 68yi66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125.1【解】經計

23、算得，故從而回歸方程：2. 測量了9對父子的身高，所得數據如下（單位：英寸）.父親身高xi60 62 64 66 67 68 70 72 74兒子身高yi63.6 65.2 66 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70求（1） 兒子身高y關于父親身高x的回歸方程.（2） 取=0.05，檢驗兒子的身高y與父親身高x之間的線性相關關系是否顯著.（3） 若父親身高70英寸，求其兒子的身高的置信度為95%的預測區(qū)間.【解】經計算得，故回歸方程：故拒絕H0，即兩變量的線性相關關系是顯著的.從而其兒子的身高的置信度為95%的預測區(qū)間為(68.5474±0.9540)=(67.59

24、34,69.5014).3.隨機抽取了10個家庭，調查了他們的家庭月收入x（單位：百元）和月支出y(單位：百元)，記錄于下表：x20 15 20 25 16 20 18 19 22 16y18 14 17 20 14 19 17 18 20 13求：(1) 在直角坐標系下作x與y的散點圖，判斷y與x是否存在線性關系.(2) 求y與x的一元線性回歸方程.(3) 對所得的回歸方程作顯著性檢驗.（=0.025）【解】(1) 散點圖如右，從圖看出，y與x之間具有線性相關關系.(2) 經計算可得從而回歸方程：題3圖故拒絕H0,即兩變量的線性相關關系是顯著的.4.設y為樹干的體積，x1為離地面一定高度的樹

25、干直徑，x2為樹干高度，一共測量了31棵樹，數據列于下表，作出y對x1,x2的二元線性回歸方程，以便能用簡單分法從x1和x2估計一棵樹的體積，進而估計一片森林的木材儲量.x1(直徑) x2(高) y(體積)x1(直徑) x2(高) y(體積)8.3 70 10.312.9 85 33.88.6 65 10.313.3 86 27.48.8 63 10.213.7 71 25.710.5 72 10.413.8 64 24.910.7 81 16.814.0 78 34.510.8 83 18.814.2 80 31.711.0 66 19.715.5 74 36.311.0 75 15.616

26、.0 72 38.311.1 80 18.216.3 77 42.611.2 75 22.617.3 81 55.411.3 79 19.917.5 82 55.711.4 76 24.217.9 80 58.311.4 76 21.018.0 80 51.511.7 69 21.418.0 80 51.012.0 75 21.320.6 87 77.012.9 74 19.1【解】根據表中數據，得正規(guī)方程組解之得，b0=-54.5041,b1=4.8424,b2=0.2631.故回歸方程：=-54.5041+4.8424x1+0.2631x2.5.一家從事市場研究的公司，希望能預測每日出版的報紙在各種不同居民區(qū)內的周末發(fā)行量，兩個獨立變量，即總零售額和人口密度被選作自變量.由n=25個居民區(qū)組成的隨機樣本所給出的結果列表如下，求日報周末發(fā)行量y關于總零售額x1和人口密度x2的線性回歸方程.居民區(qū)日報周末發(fā)行量yi(×104份)總零售額xi1(105元)人口密度xi2(×0.001m2)13.02