正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布

1、.§ 5.5 正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布1. 單個(gè)正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)量的分布從總體 X 中抽取容量為 n 的樣本 X 1, X 2 , X n ，樣本均值與樣本方差分別是1 n1n2XX i , S2X i X .n i 1n 1 i122定理 1設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 N,，則樣本均值 X 服從正態(tài)分布 N,，n即2X N,n證 因?yàn)殡S機(jī)變量X1, X2, X n 相互獨(dú)立，并且與總體X 服從相同的正態(tài)分布22N,，所以由§ 4.3中的定理知，它們的線性組合X 服從正態(tài)分布 N ,。n定理 2設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 N,2，則統(tǒng)計(jì)量 uX服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布nN 0,1 ，即uXN

2、0,1n由定理 1 結(jié)論的標(biāo)準(zhǔn)化即得到定理 2。1n定理 3設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 N,2，則統(tǒng)計(jì)量22服從自由2X i Xi 1度為 n 的2分布，即21n22X in2X i1證 注意到 X i N,2 ，則X i N 0,1 , i1,2, n又上述統(tǒng)計(jì)量相互獨(dú)立，并按照2 分布的定義可得結(jié)果。定理 4 設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 N ,2 ，則（1）樣本均值 X 與樣本方差 S2 相互獨(dú)立；（2）統(tǒng)計(jì)量2n 1 S2服從自由度為 n1 的2分布，即2'.2n1 S22n 12證明略。定理 5 設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 N,2，則統(tǒng)計(jì)量 tX服從自由度為 n1 的Snt 分布，即

3、tX t n1Sn證 由定理 2 知，統(tǒng)計(jì)量uXN0,1n又由定理 4 知，統(tǒng)計(jì)量2n1 S22n 12因?yàn)?X 與 S2 相互獨(dú)立，所以 u 與 2也相互獨(dú)立，于是根據(jù) t 分布的定義得結(jié)論。2. 兩個(gè)正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)量的分布從總體 X 中抽取容量為 nx 的樣本 X1 , X 2 , X nx，從總體 Y 中抽取容量為 ny 的樣本Y1 ,Y2 ,Yn y。假設(shè)所有的抽樣都是相互獨(dú)立的，由此得到的樣本X i i1,2, ,nx 與Yj j1,2, n y 都是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。我們把取自兩個(gè)總體的樣本均值分別記作1nx1nyX i , YYjXn ynx i1j1樣本方差分別記作Sx21n

4、 xX , Sy21n yYX iYj22nx1 i 1ny1 j 1定理 6設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 Nx , x2，總體 Y 服從正態(tài)分布 Ny , y2 ，則統(tǒng)計(jì)量UXYxy22yxnxny'.服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N 0,1 ，即XYxyUN 0,122xynxny證 由于獨(dú)立的正態(tài)統(tǒng)計(jì)量的線性組合服從正態(tài)分布，所以22X Y N xy ,xynxn y標(biāo)準(zhǔn)化即得結(jié)論。當(dāng)xy時(shí)，我們有推論 設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 Nx ,2，總體 Y 服從正態(tài)分布 Ny ,2，則統(tǒng)計(jì)量UX Yxy N 0,111nxn y定理 7設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 Nx ,2，總體 Y 服從正態(tài)分布 Ny

5、, 2 ，則統(tǒng)計(jì)量X YxyT t nx n y 211Sn ynx其中nx 1 Sx2ny1 Sy2Sn y2nx證 由定理 6 的推論知，統(tǒng)計(jì)量X YxyUN0,111nxny又由定理 4 知nx1 Sx22nx12n y1 Sy22 ny12'.因?yàn)?Sx2 與 S2相互獨(dú)立，由2 分布的可加性知yVnx 1 Sx2ny1 Sy22 nx n y 2nx n y2因?yàn)?U 和 V 相互獨(dú)立，所以由 t 分布的定義得結(jié)論。定理 8設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 Nx ,x2 ，總體 Y 服從正態(tài)分布 Ny , y2 ，則統(tǒng)計(jì)量n x22X inxi 1XxFn y22Yjn yYyj 1服從自由度為nx , ny 的 F 分布，即n x22X iXnxxFi1 F nx , nyn y22Yjn yYyj1證由定理 3知21nx2X ix2xxi121ny2X jy2yyj12 nx2 ny因?yàn)閤2 與y2 相互獨(dú)立，結(jié)合 F 分布的定義得結(jié)論。定理 9設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 Nx ,x2 ，總體 Y 服從正態(tài)分布 Ny , y2 ，則統(tǒng)22計(jì)量Sxx服從自由度為 nx1, ny1的 F 分布，即F22Syy22FSxx F nx 1, ny 122Syy證由定理 4