初等數(shù)論試卷(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初等數(shù)論試卷一、 單項(xiàng)選擇題：（1分/題×20題=20分）設(shè)為實(shí)數(shù)，為的整數(shù)部分，則()；下列命題中不正確的是()整數(shù)的公因數(shù)中最大的稱為最大公因數(shù)；整數(shù)的公倍數(shù)中最小的稱為最小公倍數(shù)整數(shù)與它的絕對值有相同的倍數(shù)整數(shù)與它的絕對值有相同的約數(shù)設(shè)二元一次不定方程（其中是整數(shù)，且不全為零）有一整數(shù)解，則此方程的一切解可表為()下列各組數(shù)中不構(gòu)成勾股數(shù)的是()，；，；，；，下列推導(dǎo)中不正確的是()模的一個簡化剩余系是() 的充分必要條件是() 設(shè)，同余式的所有解為()或或或無解9、設(shè)f(x)=其中為f(x)的一個解，則:( )ABC D10則同余式：（ ）A有時(shí)大于

2、p但不大于n; B可超過pC等于p D等于n 11若2為模p的平方剩余，則p只能為下列質(zhì)數(shù)中的 :( )A3 B11 C13 D23 12若雅可比符號，則 ( )AB;C;D13( ) A 4 B 3 C 2 D 114 模12的所有可能的指數(shù)為;( ) A1，2，4 B1，2，4，6，12 C1，2，3，4，6，12 D無法確定15 若模m的單根存在，下列數(shù)中，m可能等于: ( ) A 2 B 3 C 4 D 12 16對于模5，下列式子成立的是: ( ) A B C D 17下列函數(shù)中不是可乘函數(shù)的是: ( ) A茂陛鳥斯(mobius)函數(shù)w(a) ;B 歐拉函數(shù)；C不超過x的質(zhì)數(shù)的個數(shù)

3、；D除數(shù)函數(shù)；18 若對模的指數(shù)是，>0，>0，則對模的指數(shù)是( )A B C D無法確定19，均為可乘函數(shù)，則( )A為可乘函數(shù)； B為可乘函數(shù)C為可乘函數(shù)； D為可乘函數(shù)20設(shè)為茂陛烏斯函數(shù)，則有( )不成立A B C D二填空題：（每小題1分，共10分）21 3在45中的最高次n _；22 多元一次不定方程：，其中 ， ，N均為整數(shù)，有整數(shù)解的充分必要條件是_；23有理數(shù)，能表成純循環(huán)小數(shù)的充分必要條件是_；24 設(shè)為一次同余式，的一個解，則它的所有解為_；25 威爾生（wilson）定理：_；26 勒讓德符號=_；27 若，則是模的平方剩余的充分必要條件是_(歐拉判別條件)

4、；28 在模的簡化剩余系中，原根的個數(shù)是_；29 設(shè)，為模的一個原根，則模的一個原根為_；30 _。三簡答題：（5分題×4題20分）31命題“任意奇數(shù)的平方減1是8的倍數(shù)”對嗎？說明理由。32“若，通過模的簡化剩余系，則也通過模的簡化剩余系”這命題是否正確？正確請證明，不正確請舉反例。33求模17的簡化剩余系中平方剩余與平方非剩余。34設(shè)為的標(biāo)準(zhǔn)分解式，記為的正因數(shù)的和，為的正因數(shù)的個數(shù)，則？ ？ 為什么？四計(jì)算題。（7分題×4題28分）35 求不定方程6x+93y=75的一切整數(shù)解。36 解同余方程組37解同余式11(mod125)38求模13的所有原根。五、證明題：（7

5、分/題×2題=14分）39、試證： ，（x，y）=1 y是偶數(shù)的整數(shù)解可寫成： 這里，并且一為奇數(shù)，一為偶數(shù)。40、設(shè)a為正整數(shù)，試證： 其中表示展布在a的一切正因數(shù)上的和式。六、應(yīng)用題：（8分）41、求30！中末尾0的個數(shù)。參考答案一單項(xiàng)選擇：ABCDD；DACCB；DCAAD；BCBAB。 二填空題：2121；22；23；24；25！+1為素?cái)?shù)；261；27；28；29與中的單數(shù)；3016三簡答題：31答：命題正確。 而必為2的倍數(shù)。86頁32正確證明見教材。33在摸的簡化剩余系中與同余的數(shù)是數(shù)的平方剩余，故1，2，4，8，9，13，15，16為摸17的平方剩余，而3，5，6，7

6、，10，11，12，14為摸17的平方非剩余。34 證明：若為可乘函數(shù)，則 分別令，它們?yōu)榭沙撕瘮?shù)，即得出。四計(jì)算題35解：因?yàn)?，故原不定方程有解?又原方程即 ，而易見方程有解 。所以原方程的一個解是所以，原方程的一切整數(shù)解是：（ ） t是整數(shù)36解：因?yàn)槟?，6，7兩兩互質(zhì)，由孫子定理得所給同余方程組關(guān)于模5×6×7210有唯一解，分別解同余方程：，得， ，因此所給同余方程組的解是：即：37解：從同余方程， ， ， 是 得即 是所給方程的一個解，于是所解為： 解畢。38解： 為其質(zhì)因數(shù) ，故g為模13的原根的主要條件是： ， 用 g=1，2，12逐一驗(yàn)證，得：2，6，7，11為模13的原根， 因?yàn)?，故?3原根只有4個，即為所求。五、證明題：39證明：易驗(yàn)證所給的解為原方程的解，因y為偶數(shù)，原方程可化為： 但 而x,z=1，所以（，）=1 由書中引理，我們可假設(shè) =， =b 顯然>b， (，b)=1， 于是 X=b， z=+ ，y=2 因子為奇數(shù)，所以，b一定是一為奇，一為偶，證畢40證明：假定 ，-， 為的所有正約數(shù)，那末 ，-，也是的所有正約數(shù)，于是 = 再因?yàn)樵诘耐耆Ｓ嘞抵腥我粩?shù)的最大公約數(shù) 必定是 ，-， 中某一個數(shù)，而完全剩余系中與的最 大公約數(shù)為