熱學(xué)(李椿+章立源+錢尚武)習(xí)題解答_第六章熱力學(xué)第二定律

1、第六章熱力學(xué)第二定律6-1設(shè)每小時能造冰 m克，則m克25C的水變成 一18°C的水要放出的熱量為25m+80m+0.5X 18m=114m有熱平衡方程得4.18X 114m=3600X 2922m=2.2 X 104克=22 千克由圖試證明：任意循環(huán)過程的效率，不可能大于工作于它所經(jīng)歷的最高熱源溫度與最低熱溫源溫度之間的 可逆卡諾循環(huán)的效率。Tn一'的關(guān)系）（提示：先討論任一可逆循環(huán)過程，并以一連串微小的可逆卡諾循環(huán)過程。如以Tm和Tn分別代表這任一可循環(huán)所經(jīng)歷的最高熱源溫度和最低熱源溫度。試分析每一微小卡諾循環(huán)效率與證：（1） d當(dāng)任意循環(huán)可逆時。用圖中封閉曲線R表示，而

2、R可用圖中一連串微笑的可逆卡諾循環(huán)來代替，這是由于考慮到：任兩相鄰的微小可逆卡諾循環(huán)有一總，環(huán)段絕熱線是共同的，但進(jìn)行方向相反從而 效果互相抵消，因而這一連串微小可逆卡諾循環(huán)的總效果就和圖中鋸齒形路徑所表示的循環(huán)相同；當(dāng)每個 微小可逆卡諾循環(huán)無限小而趨于數(shù)總無限多時，其極限就趨于可逆循環(huán)R?？紤]人一微小可逆卡諾循（187完）環(huán)，如圖中陰影部分所示，系統(tǒng)從高溫?zé)嵩次鼰酫j,向低溫?zé)嵩碩i放熱，對外做功，則效率任意可逆循環(huán)R的效率為A為循環(huán)R中對外作的總功(1)又，Tm和Tn是任意循環(huán)所經(jīng)歷的最高溫?zé)嵩春妥畹蜏責(zé)嵩吹臏囟葘θ我晃⑿】赡婵ㄖZ循，必有:Ti < Tm，令表示熱源Tm和Tn之間的可

3、逆卡諾循環(huán)的效率，上式(2)式代入式:(188 完)Tm和最低溫度熱源Tn之間的可逆卡諾循環(huán)的效即任意循環(huán)可逆時，其效率不大于它所機(jī)靈的最高溫?zé)嵩?率。(2)任意循環(huán)不可逆時，可用一連串微小的不可逆卡諾循環(huán)來代替，由于諾定理知,n<n/ 19諾循環(huán)的效率必小于可逆時的效率，即T9 JMO任一微小的不可逆卡(3)對任一微小的不可逆卡諾循環(huán)，也有將(3)式代入(4)式可得:即任意不可逆循環(huán)的效率必小于它所經(jīng)歷的最高溫?zé)嵩碩m和最低溫?zé)嵩?Tn之間的可逆卡諾循環(huán)的效率。綜之，必 即任意循環(huán)的效率不可能大于它所經(jīng)歷的最高溫?zé)嵩春妥畹蜏責(zé)嵩粗g的可逆卡諾循環(huán)的效率。p(v-b)=RT。式證明這可逆

4、卡諾循環(huán)的*6-8若準(zhǔn)靜態(tài)卡循環(huán)中的工作物質(zhì)不是理想氣體而是服從狀態(tài)方程效率公式任為證：此物種的可逆卡諾循環(huán)如圖等溫膨脹過程中，該物質(zhì)從高溫?zé)嵩碩i吸熱為匕VQrpdv-KVvrb等溫壓縮過程中，該物質(zhì)向低溫?zé)嵩捶艧釣椋?89完）QrRTV.-bVrb由第五章習(xí)題13知，該物質(zhì)的絕熱過程方程為用-礦丄常數(shù)利用P（H） =RT可得其絕熱方程的另一表達(dá)式子pW-by"二常數(shù)由絕熱線23及14得兩式相比得V2 -6 _ V3-b該物質(zhì)卡諾循環(huán)的效率為可見，工作于熱源 Ti和T2之間的可逆機(jī)的效率總為1-，與工作物質(zhì)無關(guān)，這正是卡諾定理所指岀的6-9（1）利用（6.7）式證明，對一摩爾范德瓦

5、耳斯氣體有（2）由（1）證明:q+jq*伶冷）設(shè)Cv為常數(shù)，證明上式可寫U叫一 C屈吟其中 Uo' =O-Cvto+a/Vo證：（1）對一摩爾物質(zhì)，（6.7）式為（滬（爲(wèi)）I0V 01一摩爾范氏氣體的物態(tài)方程為RT 廠匚& v2代入上式即得0V 01 V-b v2RT RT a a-+ 萬二-f v-b v-b v v視u為T、v的函數(shù)，由（1）得和=（竺）v刃1+（皿卩和勿+二和 dv dTv積分上式v即得二+CyT-C仏+訂-vv當(dāng)Cv為常數(shù)Tcvdr = cvT-c由即得vvM = WO+CJ-Cv/Oa a=«oVo Vvv其中6-10設(shè)有一摩爾范德瓦耳斯氣體

6、，證明其準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程方程為 該氣體的摩爾熱容量 Cv為常數(shù)（提示：利用習(xí)題9的結(jié)果）證：上題給出Tds = du + pdv = CvdT dv由熵增原理知，可逆絕熱過程中系統(tǒng)的熵不變，有CvdT + dv = 0或 + = 0已知為常數(shù)，積分上式即得T（y-b） =常數(shù)6-11接上題，證明范德瓦耳斯氣體準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程方程又可寫為9+制（v-D產(chǎn)二常數(shù)證：有一摩爾范氏氣體的狀態(tài)方程得T二 *卩 +打）W"）代入上題結(jié)果+ A)(v- 6)(v-i) =常由于R是常量，所以上式可寫作Cp+fi（卩+話）（v-b嚴(yán)二常數(shù)6-12證明：范德瓦耳斯氣體進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程時，氣體對外做功為C

7、v （T1 - T2） a（）設(shè)Cv為常數(shù)證：習(xí)題9給岀，對摩爾范氏氣體有TU =U0 + j CydT +。倚）當(dāng)范氏氣體有狀態(tài)（、v1）變到狀態(tài)（T2、v2）o內(nèi)能由u1變到u2，而Cv為常數(shù)時，上式為u2 u仁Cv （T2 T1）+ a （）絕熱過程中，Q=0，有熱力學(xué)第一定律得氣體對外作的功A=u2 u 仁Cv ( T2 T1)+ a ()6-13證明：對一摩爾服從范德瓦耳斯方程的氣體有下列關(guān)RCP CV =_ 2視(卩-的 只0系:P RT2a(V-b)V-b 戸證：習(xí)題9已證得，一摩爾范氏氣體有宀（鼬g （護(hù)的視V為T、P的函數(shù)，有所以，i摩爾范氏氣體在無窮小等壓（=o）過程中，熱

8、力學(xué)第一定律可寫為:dQ = CpdT = du + pdv=CvdT + dv+( ) dvcvdT歸沖拠或 CP CV-又 由(p+ ) (v b) =RT可得（提示：）要利用范德瓦耳斯氣體的如下關(guān)系:dvdT代入上式即得CpR,2a(V-b)2j?r?設(shè)氣體定容摩爾熱容量 CV6-14用范德瓦耳斯氣體模型，試求在焦耳測定氣體內(nèi)能實(shí)驗(yàn)中氣體溫度的變化 為常數(shù)，摩爾體積在氣體膨脹前后分別為V1，V2。解：當(dāng)1摩爾范氏氣體由(Vi)變到(T2,V2)，而C為常數(shù)時，由9題結(jié)果知其內(nèi)能變化為:U2 u1=Cv ( T1 _ T1)+ a ( )(1)焦耳自由膨脹實(shí)驗(yàn)中，A=0，且氣體向真空的膨脹

9、過程極短暫，可認(rèn)為氣體來不及與外界熱交換，Q=0，由熱力學(xué)第一定律得U2 5=0對于1摩爾范氏氣體，由(1 )式則得：T1 T1=()6-15利用上題公式，求CO2在焦耳實(shí)驗(yàn)中溫度的變化。設(shè)體的摩爾體積在膨脹前是 2.01 mol S在膨脹后為4.01 mol 1。已知CO2的摩爾熱容量為 3.38R，a=3.6atm I2 mol 2解：取R=8.2 x 10 2atm l mol 1 K 1利用上題公式并代入已知數(shù)據(jù)得T1 = ( )= 3.25K負(fù)號表示范氏氣體自由膨脹后溫度降低。6-16對于一摩爾范德瓦耳斯氣體，證明經(jīng)節(jié)流膨脹后其溫度的變化T2-T1為T2 =() ()設(shè)氣體的摩爾熱容

10、量為常數(shù)。證：由9題結(jié)果，1摩爾范氏氣體的內(nèi)能為u = u0' + CvT 由范氏氣態(tài)方程(p+ ) (v b)=RTpv=RT+ pb +則1摩爾范氏氣體的焓為h=u + pv=(c v+ R)T + b ( p + )+ u0'=(c v + R(T + + u0')當(dāng)1摩爾范氏氣體由狀態(tài)(Ti、vi)變到狀態(tài)(T2、V2)時，起焓變化為h i h2= ( Cv + R)( T2 Vi) ( ) + ()氣體節(jié)流膨脹前后焓不變，所以，令上式中hi h2=0即得1摩爾范氏氣體節(jié)流膨脹后溫度的變化，為T 2 Ti=()()6-I7假設(shè)一摩爾氣體在節(jié)流膨脹前可看作范德瓦爾

11、斯氣體，而在節(jié)流膨脹后可看作理想氣體，氣體的定容摩爾熱量為Cv為常數(shù)。試用上述模型證明，氣體節(jié)流前后溫度變化為 T=T2 Ti=(RT )試在Ti vi圖上畫出 T=0的曲線(即轉(zhuǎn)換溫度曲線)，并加以討論。證：由上題證明知，I摩爾范氏氣體節(jié)流膨脹前的焓為hi= ( Cv + R) Ti + + Uo'節(jié)流膨脹后的氣體可視為理想氣體，起I摩爾的焓為h 2 =U2 + p2V2=CvT2 CvT 0+ Uo + RT=(Cv + R) T2 + Uo視二常數(shù)Uo'和Uo”相等，由氣體節(jié)流氣候焓不變，所以hi h2= (Cv+ R)( T2 Ti)+ =o解之，氣體節(jié)流前后溫度的變化

12、為 T = T 2 Ti= ( RT )(i)令上式 T= o，即 RT i = o2-mol或 T i= (2)以i摩爾氧為例，由表I 2，取 a=i.36atmb=0.3818 lmol 1 R=0.082rtm lmol 1 K1,二式化為(3)i=1024 取各個不同的Vi值，可得相應(yīng)的T1值，列表如下: 用描點(diǎn)法作出(3)式的圖線一氧的轉(zhuǎn)換溫度曲線如下V (I )b0.040.060.080.10.02T1 (K)0213489627710876V (I )0.30.40.5110100T1 (K)931960976100910391041.7對于本題模型的氣體，當(dāng)氣體節(jié)流前的狀態(tài)（

13、溫度、體積）1. 由圖中曲線上方的點(diǎn)表示時，氣體節(jié)流膨脹后溫度不變，不同的初始體積對應(yīng)不同的轉(zhuǎn)換溫度。2. 由圖中曲線下方的曲線表示時，從（1）、（ 2）式知，氣體節(jié)流膨脹后溫度降低，對于氧氣，顯 然，常溫下節(jié)流溫度降低。3. 由圖中上方的點(diǎn)表示時，氣體節(jié)流膨脹后溫度升高（T>0） T=0的曲線稱為轉(zhuǎn)換溫度曲線6 18接上題，從上題作圖來看，To=具有什么意義？（稱 To為上轉(zhuǎn)溫度）。若已知氮?dú)?a=1.35 X 100atm6 mol-2,b= 39.6 cm 6 mol-1,氦氣 a= 0.033 X 106 atm cni mol-2,b = 23.4 mol-1,試求氮?dú)?-21

14、設(shè)有一摩爾的過冷水蒸氣，其溫度和壓強(qiáng)分別為 24C和1bar，當(dāng)它轉(zhuǎn)化為24 °C下的飽和水時，熵的變化是多少？計(jì)算時假定可把水蒸氣看作理想氣體，并可利用上題數(shù)據(jù)。（提示：設(shè)計(jì)一個從初態(tài)到終態(tài)的可逆過程進(jìn)行計(jì)算，如圖6-21 ）2，初始狀態(tài)分解：由提示，將實(shí)際過程的初、始態(tài)，看作通過兩個可逆過程得到，并設(shè)中間狀態(tài)為別為1、3。-A先設(shè)計(jì)一個理想氣體可逆等溫膨脹降壓過程，計(jì)算S:AS屮河唏）X 8.31 ln=1.62KJ-k_ kg 1再設(shè)計(jì)一個可逆等溫等壓相變過程，計(jì)算S，這已在上題算岀:S2=Cp ln Cp ln S=Gln Cp In + G In=C pln Rln與（2）

15、式相同 得證6-24在一絕熱容器中，質(zhì)量為 m,溫度為T1的液體和相同質(zhì)量的但溫度為T2的液體，在一定壓強(qiáng)下混合后達(dá)到新的平衡態(tài)，求系統(tǒng)從初態(tài)到終態(tài)熵的變化，并說明熵增加，設(shè)已知液體定壓比熱為常數(shù)GR解：兩種不同溫度液體的混合，是不可逆過程，它的熵變可以用兩個可逆過程熵變之和求得。設(shè)T1>T2,（也可設(shè)T1VT2,結(jié)果與此無關(guān)），混合后平衡溫度T滿足下式mG p（T i T）=mCP（T Ti） T =仃 i + T2）溫度為Ti的液體準(zhǔn)靜態(tài)等壓降溫至 T，熵變?yōu)镾.=竽二 r = mC1 JTp 召溫度為T2的液體準(zhǔn)靜態(tài)等壓升溫至 T熵變?yōu)锳S?二伴二J：欝加CIn右由熵的可加性，總熵

16、變?yōu)椋?S=A S+A S=mGIn + In ）=mG pln =mQn因 （Ti T2） 2>0 即 Ti2 2TiT2 + T22>0T i2+ 2TiT2 + T22 4TiT2>0由此得（Ti + T2） 2>4TiT2所以， S>0由于液體的混合是在絕熱容器內(nèi)，由熵增加原理可見，此過程是不可逆6-25 由第五章 習(xí)題15的數(shù)據(jù)，計(jì)算一摩爾的銅在一大氣壓下，溫度由300K升到1200K時熵的變化。15的數(shù)據(jù)代入，有解：借助給定初、終態(tài)間的可逆等壓吸熱過程，計(jì)算熵的變化，并將第五章習(xí)題AS 二J300=a In+ b ( 1200 - 300)=37213

17、J6-26Y =1.4 ）在狀態(tài)1的參量為 V仁20L，T1=300K。圖中1 3為等溫線,如圖6 26, 一摩爾理想氣體氫（1 4為絕熱線，1 2和43均為等壓線，23為等容線，試分別用三條路徑計(jì)算S3 - S :(1)(2) 1 3(3) 1 4 3T2A解：由可逆路徑1 23求S3- ST3 CpdT h p In G In=R In=R In =8.31In=5.76 J-K-1（2）由路徑1 3 求 S3 S1晉二-K-1=5.76 J由于1 4為可逆絕熱過程，有熵增原理知 S- S1=0S-二 S4 _ S從等壓線43S3 - St =Cpln = Cp -ln=(Cp-)ln=(

18、Cp - CJki 訃R In 壽二 #=5.76 J K1計(jì)算結(jié)果表明，沿三條不同路徑所求的熵變均相同，這反映了一切態(tài)函數(shù)之差與過程無關(guān)，僅決定處、終 態(tài)。6-27在第六章 圖6 12中，（李椿編“熱學(xué)”只的圖我們曾用一連串微小可逆循環(huán)去代替一任意可逆循環(huán)，如圖627所示，設(shè)在一微小卡諾循環(huán)的 APB段，系統(tǒng)吸收熱量 Q'而在任意循環(huán)的相應(yīng)段 MPN系統(tǒng) 吸收熱量Q,試證明Q' Q等于MAP的面積減去PNB的面積。由此可見，Q' Q為二級無窮小量。證：在圖6-27中做輔助等溫線 MD，構(gòu)成循環(huán)ABDMA，循環(huán)中，系統(tǒng)從等溫線 APB段吸熱Q'，在等 溫線DM段

19、放熱Q2，對外做的功則等于循環(huán)包圍的面積，即使Q' - Q2=面積 ABDMA(1)又，在循環(huán)MNDM中，系統(tǒng)在MPN段吸熱Q,在等溫線 DM段放熱Q?,對外做的功等于循環(huán)包圍的面 積，即Q' - Q2=面積 MNDM(2)( 1 ) 式減( 2)式得：(2)Q'-Q=面積 ABDMA-面積 MNDM=面積 MAP 面積 PNB視二相鄰絕熱線之間的等溫線 AB 為一級無窮小量，則面積 MAP 與面積 PNB 的各邊均為一級無窮小量， 面積 MAP 與面積 PNB 均為二級無窮小量，所以， Q'- Q 為二級無窮小量。6-28 一實(shí)際制冷機(jī)工作于兩恒溫?zé)嵩粗g，

20、熱源溫度分別為 T1=400K ， T2 =200K 。設(shè)工作物質(zhì)在沒一 循環(huán)中，從低溫?zé)嵩次諢崃繛?00cal,向高溫?zé)嵩捶艧?00cal。(1) 在工作物質(zhì)進(jìn)行的每一循環(huán)中，外界對制冷機(jī)作了多少功？(2) 制冷機(jī)經(jīng)過一循環(huán)后，熱源和工作物質(zhì)熵的總變化( Sb)(3) 如設(shè)上述制冷機(jī)為可逆機(jī)，經(jīng)過一循環(huán)后，熱源和工作物質(zhì)熵的總變化應(yīng)是多少？(4) 若(3)中的餓可逆制冷機(jī)在一循環(huán)中從低溫?zé)嵩次諢崃咳詾?00cal,試用(3)中結(jié)果求該可逆制冷機(jī)的工作物質(zhì) 向高溫?zé)嵩捶懦龅臒崃恳约巴饨鐚λ鞯墓?。解? 1) 由熱力學(xué)第一定律，外界對制冷機(jī)作的功為A=Q1-Q2=600-200=400c

21、al=1672J(2)經(jīng)一循環(huán)，工作物質(zhì)又回到初態(tài)，熵變?yōu)榱?，熱源熵變是高溫?zé)嵩挫刈?Si與低溫?zé)嵩挫刈冔蘏2之和。所以，經(jīng)一循環(huán)后，熱源和工作物質(zhì)的熵的總變化為 Sb=(3)視工資與熱源為一絕熱系，若為可逆機(jī)，由熵增加原理知，整個系統(tǒng)的總熵變?yōu)榱?。?S0=0( 4)由( 3)知，對于可逆機(jī)即工質(zhì)想高溫?zé)嵩捶懦龅臒崃?。而外界對它的功為A=Q1'-Q2=400-200=200cal=836J計(jì)算結(jié)果表明 ,當(dāng)熱源相同 ,從低溫?zé)嵩慈∠嗟鹊臒崃繒r,可逆制冷機(jī)比實(shí)際制冷機(jī)所需的外功少6-29接上題，式由計(jì)算數(shù)值證明：實(shí)際制冷機(jī)比可逆制冷機(jī)外需要的外功值恰好等于S)仃、 Sb見上題).(2

22、)實(shí)際制冷機(jī)額外多需的外界功最后轉(zhuǎn)化為高溫?zé)嵩吹膬?nèi)能.設(shè)想利用在這同樣的兩恒熱源之間工作的一可逆熱機(jī)，把這內(nèi)能中的一部分再變?yōu)橛杏玫墓?，問能產(chǎn)生多少有用的功.解：(1)實(shí)際制冷機(jī)所需之功為Ai=Qi-Q2'可逆制冷機(jī)所需之功為A2=Qi'-Q2實(shí)際制冷機(jī)比可逆機(jī)所需的額外功為 A=A 1-A2=(Qi-Q2)-(Qi'-Q2 )=Qi-Qi'=Qi-T 1Q2/T2嚅埠)(2)在熱源Ti、T2之間工作的可逆熱機(jī)的效率為能產(chǎn)生的有用工為A= n A= n Sb二 50%x400xQ5 二 1(W 二 418/6-30入土 6-30a,在邊廠為L的立方形盒內(nèi)盛有單原子理想氣體.設(shè)每一分子的質(zhì)量為m.由量子力學(xué)可以證明，每一個分子的能量只能取下列一系列間斷值:其中 nx、ny、nz=1、2、3,-27(h/2 n )=1.054 x 10 erg S如圖6-30b，取nx、ny、壓為坐標(biāo)軸，