湘教版八年級上冊數(shù)學(xué)全冊教學(xué)課件（2021年10月修訂）

1、1.1.分式的基本性質(zhì)：分式的基本性質(zhì)： （1 1）分式的分子與分母）分式的分子與分母都乘都乘 _ _，所，所得分得分式與原分式相等式與原分式相等. . （2 2）分式的分子與分母都除以）分式的分子與分母都除以它們它們 的一個的一個_，所所得得分式與分式與原分式相等原分式相等. .同一個非零整式同一個非零整式公因式公因式2.2.把下列多項式因式分解：把下列多項式因式分解：(1)a2 2a=_a2 4a+4=_(2)x2 =_x x2 2 + 6x+9=_+ 6x+9=_a(a-2)a(a-2)(a-2)(a-2)2 2由此得它們的由此得它們的公因式是公因式是_._.a-2a-2(x+3)(x-

2、3)(x+3)(x-3)(x+3)(x+3)2 2由此得它們的由此得它們的公因式是公因式是_._.x+3x+32.2.把一個分式的分子與分母的把一個分式的分子與分母的_約去的運算叫作分約去的運算叫作分式的約分式的約分. .約分的依據(jù)是約分的依據(jù)是_._.1.1.分子與分母沒有分子與分母沒有_的分式叫作的分式叫作 . . 公因式公因式分式的基本性質(zhì)分式的基本性質(zhì)公因式公因式最簡分最簡分式式（1 1）把）把分子與分母分子與分母因式分解因式分解，找出，找出分子分子與分母的與分母的公因式公因式. .約分的一般步驟約分的一般步驟: :（2 2）根據(jù)）根據(jù)分式的基本性質(zhì)約去分子分式的基本性質(zhì)約去分子與分與

3、分母的母的公因式公因式. .1.1.下列下列分式，分式，最簡分式的個數(shù)是最簡分式的個數(shù)是（ ） A A. . 1 1 B. B. 2 2 C. C. 3 3 D. D. 4 4a a2 2 -b-b2 2_(a-b)(a-b)2 2a - ba - b_a + ba + bx - yx - y_y - xy - xx x2 2 +1+1_x+1x+1B B-x-y=-x-y=- -(x+y) (x+y) ( (-x-y-x-y) )2 2 = = ( (x+yx+y) )2 2 y-x=y-x=- -( x-y ) ( x-y ) ( (y-xy-x) )2 2 = = ( (x-yx-y)

4、)2 2 提示：找公因式時要熟悉提示：找公因式時要熟悉以下轉(zhuǎn)化以下轉(zhuǎn)化關(guān)系關(guān)系 思考：當思考：當x = 5x = 5， y = 3 y = 3時時，怎，怎樣求分式樣求分式 的的值？值？22222xxy+yxy- - -22222- - - 解解: : xxy+ yxy當當x=5x=5， y=3y=3時，時，2=+( () )( () )( () )x yx yx y- - - =.+xyxy- -xyx+ y- -53=5+3- - 2=81=.4方法：先約分化成最簡分式，再代值計算方法：先約分化成最簡分式，再代值計算. .背景導(dǎo)入上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了： 分式的基本性質(zhì)：分式的分

5、子與分母都乘同一個非零分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘同一個非零整式，所得分式與原分式相等。整式，所得分式與原分式相等。 能對分式進行約分。將一個分式化成最簡分式。能對分式進行約分。將一個分式化成最簡分式。接下來我們將學(xué)習(xí)分式的乘除法運算。接下來我們將學(xué)習(xí)分式的乘除法運算。一、做一做，回顧分數(shù)的乘除法。、243910932解: :53103921093223439249329432(1)(1)(2)(2)回顧分數(shù)的乘、除法法則 分數(shù)的乘法法則：分數(shù)乘分數(shù)，把分子乘分子，分母分數(shù)的乘法法則：分數(shù)乘分數(shù)，把分子乘分子，分母乘分母，分別作為積的分子、分母。然后約去分子與乘分母，分別作為積的分子、

6、分母。然后約去分子與分母的公因數(shù)。分母的公因數(shù)。 分數(shù)的除法法則：分數(shù)除以分數(shù)，把除數(shù)的分子和分分數(shù)的除法法則：分數(shù)除以分數(shù)，把除數(shù)的分子和分母顛倒位置后，再與被除數(shù)相乘。母顛倒位置后，再與被除數(shù)相乘。 提問：你能用代數(shù)式表示上題的計算過程嗎？經(jīng)觀察、類比，不難發(fā)現(xiàn)：gvfuvugf)0( ugufvuvgfvugf分式的乘、除法法則： 分式的乘法法則：分式乘分式，把分子乘分子，分母分式的乘法法則：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分別作為積的分子、分母。然后約去分子與乘分母，分別作為積的分子、分母。然后約去分子與分母的公因式。分母的公因式。 分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子和分

7、分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子和分母顛倒位置后，再與被除式相乘。母顛倒位置后，再與被除式相乘。例題講解例例 計算：計算：（）（）（）（）例題解答解：解：（）（）（）（）注意：分式運算的最后結(jié)果要化為最簡分式。注意：分式運算的最后結(jié)果要化為最簡分式。（）（）（分析：若分式的（分析：若分式的分子、分母分子、分母可以因式分解，可以因式分解，則則先分解因式，再先分解因式，再進行進行計算）計算）例例 計算：計算：（）（）解：解：（）（）（）（）教學(xué)總結(jié) 提問：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識和數(shù)學(xué)提問：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識和數(shù)學(xué)思想？思想？ 、分式的乘除法。、分式的乘除法。

8、、數(shù)學(xué)中重要的一種思想、數(shù)學(xué)中重要的一種思想類比轉(zhuǎn)化思想。由小學(xué)類比轉(zhuǎn)化思想。由小學(xué)所學(xué)的分數(shù)的乘除法類比分式的乘除法，分式的除法所學(xué)的分數(shù)的乘除法類比分式的乘除法，分式的除法可以化歸為分式的乘法?？梢曰瘹w為分式的乘法。說一說說一說正整數(shù)指數(shù)冪的運算法則有哪些？正整數(shù)指數(shù)冪的運算法則有哪些？a am ma an n= =a am m+ +n n( (m m，n n都是正整數(shù)都是正整數(shù)) )；( (a am m) )n n= =a amnmn( (m m，n n都是正整數(shù)都是正整數(shù)) )；( (abab) )n n= =a an nb bn n( (n n是正整數(shù)是正整數(shù)).). ( (a a0

9、0，m m，n n都都是正整數(shù)，且是正整數(shù)，且m mn n) )； ( (b b00，n n是正整是正整數(shù)數(shù)).).=mm nnaaa- -=nnnaabb 在在前面前面我們已經(jīng)把冪的指數(shù)從正整數(shù)推廣到了整數(shù)我們已經(jīng)把冪的指數(shù)從正整數(shù)推廣到了整數(shù). . 可以說明可以說明：當：當a a0 0，b b0 0時，正整數(shù)指數(shù)冪的上述運時，正整數(shù)指數(shù)冪的上述運算法則對于整數(shù)指數(shù)冪也成立算法則對于整數(shù)指數(shù)冪也成立. .am an=am+n(a0，m，n都是整數(shù)都是整數(shù)) )，(am)n=amn(a0，m，n都是整數(shù)都是整數(shù)) )，(ab)n=anbn(a0，b0，n是整數(shù)是整數(shù)).).即即實際上，實際上，

10、對于對于a0，m，n是整數(shù)，是整數(shù)，有有( (a0，m，n都是正整數(shù)，且都是正整數(shù)，且mn) )；因此，同底數(shù)冪相除的運算法則被包含在公式中因此，同底數(shù)冪相除的運算法則被包含在公式中. .am an=am+n(a0，m，n都是整數(shù)都是整數(shù)) )=mm nnaaa- -而而對于對于a0， b0， n是整數(shù)，有是整數(shù)，有因此因此，分式的乘方的運算法則被包含在公式中分式的乘方的運算法則被包含在公式中. . 11= = =.nnnnnnnnaaa ba b a b bb- ()()()()(ab)n=anbn(a0，b0，n是整數(shù)是整數(shù)) ) 例例7 7 設(shè)設(shè)a0，b0，計算下列，計算下列各式各式：

11、（1）a7 a-3； （2）(a-3)-2； （3）a3b(a-1b)-2. 舉舉例例解：解：（1） a7a-3（2 2）(a-3)-2= = a7+(-3)= = a(-3)(-2)= = a4. .= =a6 . .（3 3）a3b(a-1b)-2= = a3ba2b-2= = a3+2b1+(-2)= =a5b-1 = =5ab舉舉例例例例8 8 計算計算下列各式：下列各式：332 122123 （ ）； （. . ） x yxyxy- - - -32 1213- - -解解: : （ ） x yxy312 12= 3xy- - - - - ()()432= 3x y- - 432= 3

12、xy ； 3 22（ ） xy- -3= 2 yx33= 2yx()()33= 8yx練習(xí)練習(xí) 1. 1. 設(shè)設(shè)a0，b0，計算下列各式：計算下列各式：（1）-a (-a)3；答案：答案：a4. .（2）(-a)3 (a-1)2 ；（3）(-a)2-1；（4）a-5(a2b-1)3.答案：答案：- -a.答案：答案： . .21a答案答案： . .3ab 2. 2. 計算下列各式：計算下列各式： 14 2514xyx y- -（ ） ；3354yx答答案案： . .32 423- - -（ ） . .yx12627答答案案： . .xy 類似地，同分母的分式類似地，同分母的分式的的加加、減法減

13、法運算運算法則是：法則是： 同同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減. . = ffhh. ggg即即同分母的分數(shù)相加減，分母不變，把分子相加減同分母的分數(shù)相加減，分母不變，把分子相加減. . 41751332 + = =7755 . . ；- -例例1 1 計算：計算：舉舉例例2 331+2+( ) ( ) ( ) ( ) yxyxxx yx yxyxy ； . .- - 1+解解: : ( ) ( ) yxxyxy += +xyxy233= xxyx y- - -.= 3x= 12 332( ) ( ) xyxx yx y . .- -3= x

14、x yx y- - -()() 分式運算的分式運算的最最后結(jié)后結(jié)果要化為果要化為最簡分式最簡分式. .分式運算的最后結(jié)果要化為最簡分式分式運算的最后結(jié)果要化為最簡分式. .注意注意下列等式是否成立？為什么？下列等式是否成立？為什么？說一說說一說 = = - - -ffffgggg， . . 0=0fff +f+gggg-()()，因因為為所以所以=.ffgg- - - 因因為為所以所以 =- - -ffgg，=.- - -ffgg例例2 2 計算：計算：舉舉例例+acbca bb a -+acbca bb a 解解- - - - acbc= +a ba b- -()()acbc= a b a

15、b- -ac bc= a b- - -c a b= a b- - -()()= c練習(xí)練習(xí) 1 1. .計算計算： 7381+xxx- -( ) ( ) ；2x答答案案： 22 2+yxxyxy- -( ) ( ) ； 22223( ) .( ) .acbcabab- -答案：答案：x-yca+b答答案案： 2 2. .計算計算：22 1 + ( ) ( ) ；aba bb a-答答案案： a+b. 233+3223( ) .( ) .yxxyyx-答案：答案：1 1 +22+( ) ( ) ；mnnn mm n-m+nn m答答案案： - -做一做做一做11 + =2321 =53- - ；

16、 .計算：計算：3 2 56 6 665115 15 15 516151121 + = =5233 ；. .- - 異分母的分數(shù)相加減，要先通分，化成同分異分母的分數(shù)相加減，要先通分，化成同分母的分數(shù)，再加減母的分數(shù)，再加減. . 類似地，異分母的分式進行加、減運算時，類似地，異分母的分式進行加、減運算時，也要也要先化成同分母的分式先化成同分母的分式，再，再加減加減. . 根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式化根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式化成同分母的分式的過程，叫作分式的成同分母的分式的過程，叫作分式的通分通分. .動腦筋動腦筋如何把分式如何把分式 通分？通分？11 23xy， 通

17、分時，關(guān)鍵是確定公分母通分時，關(guān)鍵是確定公分母. . 一般取各分母的所有因式的最高次冪一般取各分母的所有因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的公分母稱為的積作為公分母，這樣的公分母稱為最簡最簡公分母公分母. .2 2x x的因式有的因式有2 2，x x； 兩式中所有兩式中所有因式的最高次冪的積是因式的最高次冪的積是6 6xyxy，11 23xy，3 3y的因式有的因式有3 3，y， 所以這兩個分式的最簡所以這兩個分式的最簡公分母為公分母為6 6xy. . 從而可以根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分別把原來各從而可以根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分別把原來各分式的分子和分母都乘同一個適當?shù)恼?，使各分分式的分子和分母?/p>

18、乘同一個適當?shù)恼剑垢鞣质降姆帜付蓟墒降姆帜付蓟? 6xy. . 131 = = 22633， yxx y xyy通分過程如下通分過程如下: : 112 = = 33622. . xyy x xyx舉舉例例例例3 3 通分通分： 2 2221143y4352542xxyacbb ca bac ( ) ( ) ， ( ) ( ) ， ， . .； 21143yxxy ( ) ( ) ， 2222 4 4= = 33 412xx xxyyxxy ，解解: : 最簡公分母是最簡公分母是 1212xy2. . 21 3 31= = 44 312 yyxyxyyxy . .232222 2 244

19、 4 16= = 55 420aa a ca cb cb ca ca b c ，最簡公分母是最簡公分母是 2020a2b2c2. . 232222 2 233 5 15= = 44 520cc bcbca ba bbca b c ， 2224352542acbb ca bac ( ) ( ) ， ， . .232222 2 255 10 50= = 22 1020bb ababacacaba b c . .舉舉例例例例4 4 通分通分： 2 2111124 24 ( ) ( ) ， ( ) ( ) ， . .xxxxxx；- - - - 2111 ( ) ( ) ， xxx- -；11= 1x

20、xx x ，()()- - -解解 最簡公分母是最簡公分母是 x(x-1). . 211= 1xxx x . .()()- - -212= 2+224xxx ，- - -()()()()最簡公分母是最簡公分母是 2(x+2)(x-2). +2= = 4 2222+22 . .()()()()()()()()xxx xxxxx- - - 2124 24 ( ) ( ) ， . .xxx- - -練習(xí)練習(xí) 1 1. .通分通分： 11146xy( ) , ( ) , ；3112412612 , , yx= = xxyyxy 答答案案：32222224721824624 yyx= = xyx yxx

21、 y 答答案案： , , 75278yx( ) , ( ) , ；22 3bcab( ) , ( ) , ；22 7486yxyx( ) , ( ) , . .497540785656 答答案案： yx= = yxxyxy , , 3222 222 2 答答案案： bbca c= = aa bba b , , 2. 2. 通分通分： 2312+3+( ) , ( ) , ()()()()yxy xyx xy2 2 39=2+6+24=3+6+ , , ()()()(). .()()()()xxy xyxy xyyyx xyxy xy 答答案案： 212 y.y xxxy- - -( ) , (

22、 ) , 211= xxyx x yyxy.y xx x y, , ()()()() 答答案案：- - - - - - -動腦筋動腦筋 從甲地到乙地依次需經(jīng)過從甲地到乙地依次需經(jīng)過1 km1 km的上坡路和的上坡路和2 km2 km的下坡路的下坡路. .已知已知小明騎車在上坡路上的速度為小明騎車在上坡路上的速度為v km/hkm/h，在下坡路上的速度為在下坡路上的速度為3v km/hkm/h，則他騎車從甲地到乙，則他騎車從甲地到乙地需多長時間？地需多長時間？ 這是異分母的分式的加法，因此我們應(yīng)先把這是異分母的分式的加法，因此我們應(yīng)先把它們化成同分母的分式，然后再相加，即它們化成同分母的分式，然

23、后再相加，即 小明騎車走小明騎車走1km1km上坡路和上坡路和2km2km下坡路的時間分下坡路的時間分別為別為 ， ，那么騎行所需的總時間為，那么騎行所需的總時間為 . .1hv2h3v12+h3vv 12+332=+333+25= .33vvvvvv因此，小明騎車從甲地到乙地需因此，小明騎車從甲地到乙地需 . .5h3v舉舉例例例例5 5 計算計算： 1492234- - -yxxyabc+baab ( ) ( ) ( ) .( ) .； 149 ( ) ( ) yxxy- -94= 4994y yx xx yy x - -解：解：2294= 36 . .yxxy- -643= 263443

24、a ab bc+b aa bab - -2264+3= 12. .abcab- - 2234- -abc+baab( ) ( ) 舉舉例例例例6 6 計計算算： 2 22161+391321- - - -xxxxx +xx ( ) ( ) ( ) .( ) .； 2161+39- -xx( ) ( ) 16= +3+33xxx- -()()()()解解: :原式原式36= +33+33xxxxx- -()() ()()()() ()()+3= +33xxx- -()()()()1= .3x- -13= 111xxx x+x+x- - -() ()()() ()() 221321( ) ( )

25、xxx +xx- - -213= 1111xx xx x+xx x+x- -()()()()()()()()()()()()22213= 11xx+xxx x+x- -()()()()()()1= 11x+x x+x- -()()()()1= .1x x- -()()舉舉例例例例3 3 計算計算：1+1+1xx- -. .1+1+1xx解解 - -+11= +11xx- - +111= + 11()()()()xxxx- -1+1+1= 1()()()()xxx- - -21+1= 1xx- - -22= 1- - -xx注意注意 把把“x x+1”+1”看作看作“ ”“ ”，有，有助于尋找兩

26、個分式的公分母助于尋找兩個分式的公分母. .+11x練習(xí)練習(xí) 1 1. .計算計算： 75178( ) ( ) ；yx- -494056 - -答答案案：yxxy22 22323( ) ( ) ； ba+ab4 +912yxxy 答答案案： 2( ) ( ) ；abxyyz- - 2534+34( ) .( ) . xxy- -az bxxyz - -答答案案：44223+26baa b 答答案案： 2 2. .計算計算： 111+22( ) ( ) ；xx- -x yxy - -答答案案： 22134 24( ) ( ) ； +xx- - -12+2x 答答案案： - -()() 2+( )

27、 ( ) ；()()()()yxy xyx xy- - 1411( ) ( ) .x- - -224 答答案案：- -xx1 答答案案：- - -xx3 3. .甲甲、乙兩城市之間的高鐵全程長、乙兩城市之間的高鐵全程長1 500 km1 500 km，列車的列車的 運行速度為運行速度為b km/h. . 經(jīng)過長時間試運行后，鐵路經(jīng)過長時間試運行后，鐵路 部門決定將列車運行速度再提高部門決定將列車運行速度再提高50 km/h50 km/h，則提，則提 速后列車跑完全程要少花多長時間？速后列車跑完全程要少花多長時間？()=1500 150075000h).+50+50)bbb b答：提速答：提速后

28、列車跑完全程要少花后列車跑完全程要少花 (75000h.+50)b b中考中考 試題試題例例1 1 化簡：化簡： 的的結(jié)結(jié)果是（果是（ ）. . A A. .-x-y B. B. y-x C.C.x-y D D. . x+y22 - - -yxy xy x解析解析22= xyy x- - -原原式式 A A += x yx yx y- -()()()()()() = x+ y- -()()= .xy- - -中考中考 試題試題例例2 2計算：計算： = = . .4133- - m+m+m+解析解析 41 33 m+m+m+- -1 1 41= 3 +mm+- - 3= 3m+m+= 1 .

29、中考中考 試題試題例例3 3解析解析 22111xxxxxx- -當當 時時， = = . .22111- -xxxxxx12x=32- -221= 1xxxxx- - = 2x- -3= .2- - 1= 22- - 當當 時，原式時，原式12x =動腦筋動腦筋 某校八年級學(xué)生乘車前往某景點秋游，現(xiàn)有兩條線某校八年級學(xué)生乘車前往某景點秋游，現(xiàn)有兩條線路可供選擇：線路一全程路可供選擇：線路一全程25 km25 km，線路二全程，線路二全程30 km30 km；若；若走線路二平均車速是走線路一的走線路二平均車速是走線路一的1.51.5倍，所花時間比走倍，所花時間比走線路一少用線路一少用10 mi

30、n10 min，則走線路一、二的平均車速分別為，則走線路一、二的平均車速分別為多少？多少？ 設(shè)走線路一的平均車速為設(shè)走線路一的平均車速為x km/h km/h，則走線路二的平均，則走線路二的平均車速為車速為1.51.5x km/h. km/h.又走線路二比走線路一少用又走線路二比走線路一少用10 min10 min，即，即因此，根據(jù)這一等量關(guān)系，我們可以得到如下方程：因此，根據(jù)這一等量關(guān)系，我們可以得到如下方程：25301 = .1.56xx- -走線路一的時間走線路一的時間 - - 走線路二的時間走線路二的時間 = = h.16像這樣，分母中含有未知數(shù)的方程叫作像這樣，分母中含有未知數(shù)的方程

31、叫作分式方程分式方程. .25301 = .1.56xx- -議一議議一議 分式方程分式方程 的分母中含有未知數(shù)，的分母中含有未知數(shù)，我們我們該如何來求解呢？該如何來求解呢？25301 = 1.56xx- -25301 = 1.56xx- - 聯(lián)想到我們在七年級已經(jīng)學(xué)過一元一次方程的解聯(lián)想到我們在七年級已經(jīng)學(xué)過一元一次方程的解法，因此我們應(yīng)通過法，因此我們應(yīng)通過“去分母去分母”，將分式方程轉(zhuǎn)化為，將分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解一元一次方程來求解. .方程兩邊同乘方程兩邊同乘6 6x，得，得解解得得 x = 30.= 30.25256-306-304 = 4 = x . .經(jīng)檢驗，經(jīng)檢驗，x

32、=30 =30 是所列方程的解是所列方程的解. . 由由此可知，走線路一的平均車速為此可知，走線路一的平均車速為30 km/h30 km/h，走線路二，走線路二的平均車速為的平均車速為45 km/h45 km/h. . 從上面可以看出，解分式方程的關(guān)鍵是把從上面可以看出，解分式方程的關(guān)鍵是把含未知數(shù)的分母去掉，這可以通過在方程的兩含未知數(shù)的分母去掉，這可以通過在方程的兩邊同乘各個分式的最簡公分母而達到邊同乘各個分式的最簡公分母而達到. .例例1 1 解解方程方程 ：舉舉例例53=02xx - - -解解：方程方程兩邊兩邊同同乘最簡公分母乘最簡公分母x(x-2) )，得得5x -3(x-2)=

33、0. . 解解得得x = -3.檢驗：把檢驗：把x=-3代入原方程，得代入原方程，得因此因此x=-3是原方程的解是原方程的解. .左邊左邊= = = = 右邊，右邊，53=03 23- - - -分式方程的解也叫作分式方程的分式方程的解也叫作分式方程的根根. .例例2 2 解解方程方程 ：舉舉例例 214=.24xx- - - 解解：方程方程兩邊兩邊同同乘最簡公分母乘最簡公分母( (x x+2)(+2)(x x-2)-2)，得得 x x+2=4+2=4. . 解解得得x x=2=2. .檢驗：把檢驗：把x x=2=2代入原方程，方程兩邊的分式代入原方程，方程兩邊的分式的的分母分母都為都為0 0

34、，這樣的分式?jīng)]有意義，這樣的分式?jīng)]有意義. . 因此，因此，x x=2=2不是原分式方程的根，從而原不是原分式方程的根，從而原分式方程無解分式方程無解. . 從從例例2 2看到，方程左邊的分式的分母看到，方程左邊的分式的分母x x-2-2是是最簡公分母最簡公分母( (x x+2)(+2)(x x-2)-2)的一個因式的一個因式. . 這啟發(fā)我們，在檢驗時只要把所求出的這啟發(fā)我們，在檢驗時只要把所求出的未未知數(shù)知數(shù)的值代入最簡公分母中，如果它使最簡公的值代入最簡公分母中，如果它使最簡公分母的值不等于分母的值不等于0 0，那么它是原分式方程的一個，那么它是原分式方程的一個根；根； 如果它使最簡公分

35、母的值為如果它使最簡公分母的值為0 0，那么它不是，那么它不是原分式方程的根，稱它是原方程的原分式方程的根，稱它是原方程的增根增根. . 例例2 2 解方程：解方程： 214=.24xx- - - 解分式方程有可能產(chǎn)生增根解分式方程有可能產(chǎn)生增根，因此解分式方因此解分式方程必須檢驗程必須檢驗. .說一說說一說解可化為一元一次方程的分式方程的基本步解可化為一元一次方程的分式方程的基本步驟有哪些？驟有哪些？可化為一元一次方程的分式方程可化為一元一次方程的分式方程一元一次方程一元一次方程一元一次方程的解一元一次方程的解 把一元一次方程的解代入最簡公分母中把一元一次方程的解代入最簡公分母中，若它的值不

36、等于若它的值不等于0 0，則這個解是原分式方程的，則這個解是原分式方程的根；若它的值等于根；若它的值等于0 0，則原分式方程無解，則原分式方程無解. .方程兩邊同乘各個分式的最簡公分母方程兩邊同乘各個分式的最簡公分母求解求解檢驗檢驗練習(xí)練習(xí)1 1. .解解下列方程下列方程： 511=023( ) ( ) ；xx- - -1= 5x 答答案案： 22+=3211 2( ) ( ) ；xxx- 13+=111( ) ( ) ；xxx-答案：答案：x x = 5= 532x = 答答案案：- - 22314=1( ) .( ) .xxx-答案：無解答案：無解2. 2. 解解下列方程：下列方程：2 2

37、41=024( ) ( ) ；xx- - - - 1212=3 2163( ) .( ) .xx- -答案：答案：x x=0=0答案：答案：x x=4=4動腦筋動腦筋A(yù) A，B B兩種型號機器人搬運原料兩種型號機器人搬運原料. . 已知已知A A型機型機器人比器人比B B型機器人每小時多搬運型機器人每小時多搬運20 kg20 kg，且，且A A型機型機器人搬運器人搬運1 000 kg1 000 kg所用時間與所用時間與B B型機器人搬運型機器人搬運800 kg800 kg所用時間相等，求這兩種機器人每小時所用時間相等，求這兩種機器人每小時分別搬運多少原料分別搬運多少原料. . 設(shè)設(shè)B B型機器

38、人每小時搬運型機器人每小時搬運x x kgkg，則，則A A型機器型機器人每小時搬運（人每小時搬運（x x+20+20）kg. kg. 由由“A A型機器人搬運型機器人搬運1 000 kg1 000 kg所用時間所用時間 = = B B型機器人搬運型機器人搬運800 kg800 kg所用時間所用時間” 1000800 = +20. .xx由這一等量關(guān)系可列出如下方程：由這一等量關(guān)系可列出如下方程：方程兩邊同乘最簡公分母方程兩邊同乘最簡公分母x x( (x x+20)+20)，得，得1 0001 000 x x = 800(= 800(x x+20).+20).解解得得x x = 80.= 80

39、.檢驗：把檢驗：把x x=80=80代入代入x x( (x x+20)+20)中，它的值不等于中，它的值不等于0 0，因此因此x x=80=80是原方程的根，且符合題意是原方程的根，且符合題意. .由此可知，由此可知，B B型機器人每小時搬運原料型機器人每小時搬運原料80 kg80 kg，A A型機器人每小時搬運原料型機器人每小時搬運原料100 kg100 kg. .例例3 3 國家實施高效節(jié)能電器的財政補貼政策，國家實施高效節(jié)能電器的財政補貼政策，某某款空調(diào)款空調(diào)在政策實施后，客戶每購買一臺可獲得在政策實施后，客戶每購買一臺可獲得補貼補貼200200元，若同樣用元，若同樣用1111萬元購買此

40、款空調(diào)，萬元購買此款空調(diào)，補貼補貼后可購買的臺數(shù)比補貼前多后可購買的臺數(shù)比補貼前多10%10%，則該款，則該款空調(diào)補貼空調(diào)補貼前的售價為多少元？前的售價為多少元？舉舉例例分析分析 本題涉及的等量關(guān)系是：本題涉及的等量關(guān)系是： 補貼前補貼前1111萬元購買的臺數(shù)萬元購買的臺數(shù)(1+10%)(1+10%)= =補貼補貼后后1111萬元購買的臺數(shù)萬元購買的臺數(shù). .解解: : 設(shè)該款空調(diào)補貼前的售價為每臺設(shè)該款空調(diào)補貼前的售價為每臺x x元，元，由上述等量關(guān)系可得如下方程：由上述等量關(guān)系可得如下方程：110000110000 1+10=200 xx(%) (%) - -即即1.11 = 200 xx

41、- -方程兩邊同乘最簡公分母方程兩邊同乘最簡公分母x(x- -200200) )， 解得解得x= =2 2 200200. . 得得1 1.1.1( (x- -200200)= )= x. .檢驗：把檢驗：把x= =2 2 200200代入代入x(x-200-200)中，它的值不等于中，它的值不等于0 0， 因此因此x= =2 2 200200是原方程的根，且符合題意是原方程的根，且符合題意. .答：該款空調(diào)補貼前的售價為每臺答：該款空調(diào)補貼前的售價為每臺22002200元元. .練習(xí)練習(xí)1. 1. 某單位蓋一座樓房，如果由建筑一隊施工某單位蓋一座樓房，如果由建筑一隊施工，那，那么么18018

42、0天就可蓋成；如果由建筑一隊、二天就可蓋成；如果由建筑一隊、二隊同隊同時施時施工，那么工，那么3030天能完成工程總量的天能完成工程總量的 . . 現(xiàn)若現(xiàn)若由二隊單由二隊單獨施工，則需要多少天才能蓋成？獨施工，則需要多少天才能蓋成？310解解 設(shè)由二隊單獨施工需設(shè)由二隊單獨施工需x x天完成任務(wù)，天完成任務(wù)， 則則 答答：由二隊單獨施工，則需：由二隊單獨施工，則需225225天才能蓋成天才能蓋成. . 11330 +=18010111 += 180100= 225. , , ,xx x2. 2. 一艘輪船在兩個碼頭之間航行，順水航行一艘輪船在兩個碼頭之間航行，順水航行60 km60 km所所需

43、時間與逆水航行需時間與逆水航行48 km48 km所需時間相同所需時間相同. . 已已知水流知水流的速度是的速度是2 km/h2 km/h，求輪船在靜水中航行的速度，求輪船在靜水中航行的速度. .解解 設(shè)輪船在靜水中航行的速度為設(shè)輪船在靜水中航行的速度為x x km/hkm/h， 則則 答答：輪船在靜水中航行的速度為：輪船在靜水中航行的速度為18 km/h18 km/h. . 6048 =+22= 18.xx x- -, ,中考中考 試題試題例例1 1 分式方程分式方程 的的解解是（是（ ） A.-A.-3 3 B.2 B.2 C.3 D.-2 C.3 D.-2 53=2- -xxA A解析解

44、析將將各選項的值代入檢驗或者直接解出方各選項的值代入檢驗或者直接解出方程程. .只有只有A A項正確，故選項正確，故選A.A.中考中考 試題試題例例2 2 解解分式方程分式方程 ，方程，方程的解為（的解為（ ） A.A.x=2 B.=2 B.x=4 =4 C. C.x=3 D.=3 D.無解無解 11+2=22xxx- -解析解析在方程兩邊同在方程兩邊同乘乘( (x-2)-2)，約去分母，約去分母，得得 1-1-x+2(+2(x-2)=-1-2)=-1，1 1-x+2+2x-4=-1-4=-1，x=2.=2.檢驗，當檢驗，當x=2=2時，時，x-2=2-2=0-2=2-2=0，所以所以x=2=

45、2是增根是增根. .所以原所以原方程無解方程無解. .D D中考中考 試題試題例例3 3 輪船輪船順水航行順水航行4040千米所需的時間和逆水航行千米所需的時間和逆水航行3030千米所需的時間相同千米所需的時間相同. .已知水流速度為已知水流速度為3 3 千千米米/ /時，設(shè)輪船在靜水中的速度為時，設(shè)輪船在靜水中的速度為x x 千千米米/ /時時，則可則可列列方程為方程為 . .4030=+33- -xx解析解析V V順順=(=(x x+3)+3)千米千米/ /時，時，V V逆逆=(=(x x-3)-3)千米千米/ /時，時，故故4 03 0=.+ 33- -xx中考中考 試題試題例例4 4

46、在達成鐵路復(fù)線工程中，某路段需要鋪軌在達成鐵路復(fù)線工程中，某路段需要鋪軌. . 先由甲工先由甲工程隊獨做程隊獨做2 2天后，再由乙工程隊獨做天后，再由乙工程隊獨做3 3天剛好完成這項任務(wù)天剛好完成這項任務(wù). . 已知乙工程隊單獨完成這項任務(wù)比甲工程隊單獨完成這項已知乙工程隊單獨完成這項任務(wù)比甲工程隊單獨完成這項任務(wù)多用任務(wù)多用2 2天，求甲、乙工程隊單獨完成這項任務(wù)各需多天，求甲、乙工程隊單獨完成這項任務(wù)各需多少天？少天？解：解：設(shè)甲工程隊單獨完成任務(wù)需設(shè)甲工程隊單獨完成任務(wù)需x x天，則乙工程隊天，則乙工程隊單獨單獨完完成任務(wù)需成任務(wù)需( (x x+2)+2)天天. . 依依題意，得題意，得

47、 化化簡，得簡，得 x x2 2-3-3x x-4=0-4=0， 解解得得x x=-1=-1或或x x=4.=4. 檢驗：當檢驗：當x x=4=4和和x x=-1=-1時，時，x x( (x x+2)+2)0 0， x x=4=4和和x x=-1=-1都是原分式方程的解都是原分式方程的解. . 但但x x=-1=-1不符合實際意義，故不符合實際意義，故x x=-1=-1舍去舍去. . 乙單獨完成任務(wù)需要乙單獨完成任務(wù)需要x x+2=6(+2=6(天天).). 答：甲、乙工程隊單獨完成任務(wù)分別需要答：甲、乙工程隊單獨完成任務(wù)分別需要4 4天天、6 6天天. .23+= 1.+2xx小結(jié)與復(fù)習(xí)小結(jié)

48、與復(fù)習(xí)1 1. .舉例說明舉例說明分式的基本性質(zhì)、運算法則分式的基本性質(zhì)、運算法則. .2 2. .舉例說明舉例說明如何利用分式的基本性質(zhì)進行約分和如何利用分式的基本性質(zhì)進行約分和通分通分. .3 3. .整數(shù)整數(shù)指數(shù)冪有哪些運算法則？指數(shù)冪有哪些運算法則？4 4. .解解可化為一元一次方程的分式方程的基本思路可化為一元一次方程的分式方程的基本思路是什么是什么？解分式方程時為什么要檢驗？解分式方程時為什么要檢驗？本章知識結(jié)構(gòu)本章知識結(jié)構(gòu)分分式式基本性質(zhì)基本性質(zhì)運算運算可化為一元一次方程的分式方程可化為一元一次方程的分式方程乘、除運算乘、除運算整數(shù)指數(shù)冪的運算整數(shù)指數(shù)冪的運算加、減運算加、減運算

49、注意注意1. 1. 分式與分數(shù)有許多相似之處，在學(xué)習(xí)分式的分式與分數(shù)有許多相似之處，在學(xué)習(xí)分式的性質(zhì)性質(zhì)與運算時，可類比分數(shù)與運算時，可類比分數(shù). .2. 2. 解分式方程的關(guān)鍵在于去分母，這時可能解分式方程的關(guān)鍵在于去分母，這時可能產(chǎn)產(chǎn)生增生增根，因此必須檢驗根，因此必須檢驗. . 除了除了要看求出的未知數(shù)的值是否使最簡公要看求出的未知數(shù)的值是否使最簡公分母的值為分母的值為0 0外，在實際問題中還需檢查求出的外，在實際問題中還需檢查求出的根是否符合實際問題的要求根是否符合實際問題的要求. .觀察觀察 觀察下圖，找一找圖中的三角形，并把它觀察下圖，找一找圖中的三角形，并把它們勾畫出來們勾畫出來

50、. .你你還能舉出一些實例嗎？還能舉出一些實例嗎？不在同一直線上的三條線段首尾相接不在同一直線上的三條線段首尾相接所構(gòu)成所構(gòu)成的圖形的圖形叫作叫作三角形三角形. .三角形可用符號三角形可用符號“”來表示，如圖中的三角形可來表示，如圖中的三角形可記作記作“ABC ”，讀作，讀作“三角形三角形ABC ”.”.其中，點其中，點A A，B B，C C叫作叫作ABC ABC 的的頂點頂點；A A，B B，C C叫作叫作ABC ABC 的的內(nèi)角內(nèi)角（簡稱（簡稱ABC ABC 的的角角）；）；線段線段ABAB，BCBC，CACA叫作叫作ABC ABC 的的邊邊. .通常通常A A，B B，C C 的對邊的對

51、邊BCBC，ACAC，ABAB可分別用可分別用a a，b b，c c來表示來表示. . 在三在三角形中，有的三邊各不相等，有的兩邊相角形中，有的三邊各不相等，有的兩邊相等，有的三邊都相等等，有的三邊都相等. . 兩條邊相等的三角形叫作兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形等腰三角形. . 在等腰三角形中，相等的兩邊叫作在等腰三角形中，相等的兩邊叫作腰腰， 另外一另外一邊叫作邊叫作底邊底邊， 兩腰的夾角叫作兩腰的夾角叫作頂角頂角， 腰腰和底邊的和底邊的夾角夾角叫作叫作底角底角. .腰腰腰腰底邊底邊頂頂角角底角底角 底角底角 三邊都相等的三角形叫作三邊都相等的三角形叫作等邊三角形等邊三角形（或正三角（或

52、正三角形）形）. . 等邊三角形是特殊的等腰三角形等邊三角形是特殊的等腰三角形腰和底邊相腰和底邊相等的等腰三角形等的等腰三角形. . 在一個三角形中，任意兩邊之和與第三邊的在一個三角形中，任意兩邊之和與第三邊的長度之間有怎樣的大小關(guān)系？為什么？長度之間有怎樣的大小關(guān)系？為什么？動腦筋動腦筋 在在ABC中，中，BC是連接是連接B，C兩點的一條線段，兩點的一條線段，由基本事實由基本事實“兩點兩點之間，線段之間，線段最短最短”可得可得 AB + AC BC. .同理可得同理可得 AB + BC AC，AC + BC AB . .結(jié)論結(jié)論三角形的任意兩邊之和大于第三邊三角形的任意兩邊之和大于第三邊.

53、.一般地，我們可以得出：一般地，我們可以得出：做一做做一做 有三根木棒，其長度分別為有三根木棒，其長度分別為2 cm2 cm，3 cm3 cm，6 cm6 cm，它們能否首尾相接構(gòu)成一個三角形？它們能否首尾相接構(gòu)成一個三角形？舉舉例例例例1 如如圖，圖，D是是ABC的邊的邊AC上一點，上一點，AD=BD，試試判斷判斷AC與與BC的大小的大小. 解解 在在BDC 中，中，有有BD+DC BC（三角形的任意兩邊之和大于（三角形的任意兩邊之和大于第三邊）第三邊）. .又又 AD = BD，所以所以BD+DC = AD+DC = AC，所以所以 AC BC.練習(xí)練習(xí)1.1.（1 1）如圖，圖中有幾個三

54、角形？把它們）如圖，圖中有幾個三角形？把它們分分別表示別表示出來出來. .答：五個三角形答：五個三角形. .（2 2）如圖，在）如圖，在DBC 中，寫出中，寫出D 的對邊，的對邊， BD 邊的對角邊的對角. .答：答：D的對邊是的對邊是BC， BD邊的對角是邊的對角是BCD.2. 2. 三根長分別為三根長分別為2 cm2 cm，5 cm5 cm，6 cm6 cm的小木棒的小木棒能首尾能首尾相接構(gòu)成一個三角形嗎？相接構(gòu)成一個三角形嗎？答：能答：能. . 從三角形的一個頂點向它的對邊所在的從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫作三直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫作三

55、角形的角形的高線高線，簡稱三角形的，簡稱三角形的高高. . 如圖，如圖，AHAHBCBC，垂足為點，垂足為點H H，則線段，則線段AHAH是是ABCABC的的BCBC邊上的高邊上的高. .如圖，試畫出圖中如圖，試畫出圖中ABC的的BC邊上的高邊上的高. . 做一做做一做 D 在三角形中，一個角的平分線與這個角在三角形中，一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫作三角形的段叫作三角形的角平分線角平分線. . 如圖，如圖，BAD=CAD，則線段，則線段AD是是ABC的一條角平分線的一條角平分線. . 在三角形中，連接一個頂點和它的對邊在

56、三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫作三角形的中點的線段叫作三角形的中線中線. . 如圖，如圖，BE=EC，則線段，則線段AE是是ABC的的BC邊邊上的中線上的中線. . 任意畫一個三角形，畫出三邊上的中任意畫一個三角形，畫出三邊上的中線線. .你發(fā)現(xiàn)了什么？你發(fā)現(xiàn)了什么？做一做做一做EFDEFD 事實上，三角形的三條中線相交于一點事實上，三角形的三條中線相交于一點. . 我們把這三條中線的交點叫作三角形的我們把這三條中線的交點叫作三角形的重重心心. . 如圖，如圖，ABCABC的三條中線的三條中線ADAD，BEBE，CFCF相交于點相交于點G G，則點則點G G為為ABCABC的重心

57、的重心. .G舉舉例例例例2 2 如如圖，圖，AD是是ABC的中線，的中線，AE是是ABC的的高高. .（1 1）圖中共有幾個三角形？請分別列舉出來）圖中共有幾個三角形？請分別列舉出來. . 解解 （1 1）圖中有）圖中有6 6個三個三角形，角形，它們分別是：它們分別是：ABD，ADE，AEC，ABE，ADC，ABC.（2 2）其中哪些三角形的面積相等？）其中哪些三角形的面積相等？解：解：因因為為AD是是ABC的中線，的中線，所以所以BD=DC. .因為因為AE是是ABC的高，也是的高，也是ABD和和ADC的高，的高，所以所以SABD = SADC . .又又1= 2ABDSBD AE ，1=

58、 2ADCSDC AE ，練習(xí)練習(xí)1 1. .利用利用三角尺（或直尺）、量角器任意畫出三角尺（或直尺）、量角器任意畫出一一個個三角形，并畫出其中一條邊上的中線、高三角形，并畫出其中一條邊上的中線、高以以及及這條邊所對的角的平分線這條邊所對的角的平分線. .2. 2. 如圖，如圖，AD是是ABC的高，的高，DE是是ADB的中線，的中線， BF是是EBD的角平分線，根據(jù)已知條件填空：的角平分線，根據(jù)已知條件填空： 1 1 2 21 3 2 ( )( )；() () ；() () . . ADB=BE=DBF=ADC90AEABEBFDBE動腦筋動腦筋 在小學(xué)，我們通過對一個三角形進行折疊、在小學(xué)，

59、我們通過對一個三角形進行折疊、剪拼等操作（如圖），知道三角形的內(nèi)角和是剪拼等操作（如圖），知道三角形的內(nèi)角和是180180，你能說出這些方法的原理嗎？，你能說出這些方法的原理嗎？ 上述兩種操作都是將三角形的三個內(nèi)角上述兩種操作都是將三角形的三個內(nèi)角拼到一起構(gòu)成一個平角拼到一起構(gòu)成一個平角. .結(jié)論結(jié)論三角形的內(nèi)角和等于三角形的內(nèi)角和等于180180. .舉舉例例例例3 3 在在ABC中，中，A的度數(shù)是的度數(shù)是B的度數(shù)的的度數(shù)的3倍倍，C 比比B 大大15，求，求A，B，C的度的度數(shù)數(shù).解：解：設(shè)設(shè)B為為x ，則則A為為(3x)，C為為(x+ 15)，從而從而有有3x+x+(x+15)=180.

60、 .解解得得x=33. .所以所以3x=99 ，x+15 =48. .答：答：A，B，C的度數(shù)的度數(shù)分別為分別為99，33，48.議一議議一議 一個三角形的三個內(nèi)角中，最多有幾個直角？最多一個三角形的三個內(nèi)角中，最多有幾個直角？最多有幾個鈍角？有幾個鈍角？ 三角形的內(nèi)角和等于三角形的內(nèi)角和等于180180，因此最多有一個，因此最多有一個直角或一個鈍角直角或一個鈍角. . 三角形中，三個角都是銳角的三角形叫三角形中，三個角都是銳角的三角形叫銳銳角三角形角三角形， 有一個角是直角的三角形叫有一個角是直角的三角形叫直角三角形直角三角形，有一個角是鈍角的三角形叫有一個角是鈍角的三角形叫鈍角三角形鈍角三