第五講正態(tài)分布及其數(shù)字特征

1、第五講第五講 正態(tài)分布正態(tài)分布 P45 正態(tài)分布是應用最廣泛的一種連續(xù)型分布正態(tài)分布是應用最廣泛的一種連續(xù)型分布 當一隨機變量是當一隨機變量是大量微小的獨立的隨機因素共同大量微小的獨立的隨機因素共同作用作用的結(jié)果，而每一種因素都不能起到壓倒其它因的結(jié)果，而每一種因素都不能起到壓倒其它因素的作用時，這個隨機變量就被認為服從素的作用時，這個隨機變量就被認為服從正態(tài)分布正態(tài)分布 在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標，如零件的在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標，如零件的尺寸；纖維的強度和張力；某地區(qū)成年男子的身尺寸；纖維的強度和張力；某地區(qū)成年男子的身高、體重；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；高、體重；農(nóng)作物的

2、產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標的水平或垂直偏差；信號噪測量誤差，射擊目標的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布 一一 標準正態(tài)分布及其性質(zhì)標準正態(tài)分布及其性質(zhì)1 定義定義 標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布x的概率密度為的概率密度為記為記為XN(0 0, 1)2221)(xex2 性質(zhì)性質(zhì) (1) (1) (x)是是偶函數(shù)偶函數(shù)即即 (x)是關(guān)于是關(guān)于y軸對稱軸對稱的鐘形曲線的鐘形曲線)(x0EX1DX(2)3 標準正態(tài)分布的分布函數(shù)標準正態(tài)分布的分布函數(shù))(xxXPdtext22214 (a)的值求法的值求法(1) a0時時 查表查表例例1

3、 (1)= (2)= (3)= (2.5)= (0)= (1.64)= (1.96)= 0.84130.97720.9980.99380.50.950.975（2）a0 時時定理定理 (a)=1- (- -a)a-a)( a)(a1顯然顯然 (-1)= (-2)= (-3)= 11(1) 11(2) 11(3) =1-0.8413=1-0.9772=1-0.998=0.1578=0.0228=0.0025 標準正態(tài)分布的概率計算標準正態(tài)分布的概率計算 若若XN(0 0, 1) ，則則)() 1 (aXP)(a)() 2(aXP)(1a)() 3 (bXaP)()(ab)96.1(XP)96.1

4、(XP)96.1( XP)21(XP)9 .5(xP)96.1 (1 )96.1 ()1 (1 )2(例例)1 ,0( NX求求)96.1(XP)96.1(XP)21(XP)9 .5(XP)96.1(XP)96.1 ()96.1()96.1 (1)96. 196. 1(XP)96.1()96.1 ()1()2()9 .5(解解975.0025.095.08413.01 9772.08185.01二二 一般正態(tài)分布一般正態(tài)分布正態(tài)分布的正態(tài)分布的X的概率密度為的概率密度為 222)(21)(xexf其中其中 和和 2 2為常數(shù)，且為常數(shù)，且 0 0則則 稱稱 x 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 、 2 2

5、的正態(tài)分布的正態(tài)分布記為記為 XN( , 2 2)( x期望期望和和方差方差分別為：分別為：EX2DX 正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于 對稱對稱的鐘形曲線的鐘形曲線.特點是特點是“兩頭小，中間大，左右對稱兩頭小，中間大，左右對稱”. .2 正態(tài)分布的密度曲線圖形特點正態(tài)分布的密度曲線圖形特點 決定了圖形的中心位置決定了圖形的中心位置， 決定了圖決定了圖形中峰的陡峭程度形中峰的陡峭程度.dtext222)(21設設XN( , 2 2)， 則則X的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是3 正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù))(xFxXPF()=?0.54 一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關(guān)

6、系一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關(guān)系 P47定理一定理一 (1) 若若 XN( , 2 2)N(0 0, 1)XZ則則 (2) 若若 XN(0,10,1)N( , )baXY則則EY)(baXEbaEXbbDY)(baXDDXa22aa2標準化變換標準化變換2)(2121)(xex22121ye),(2NX其反函數(shù)為其反函數(shù)為yxyx)(yY) 1 , 0( NXY證明證明 (1)xy2)(2121ye22121)(xex2)(21|21abyea) 1 , 0( NX其反函數(shù)為其反函數(shù)為abyax1axy1)(yY|1a),(2abNbaXY證明證明 (2)baxy嚴格單調(diào)嚴格單調(diào)2)(212

7、1abye例例1)2 , 1 (2NX則則35XN(0 0, 1)例例2)3 , 5(2NX則則21XN(0 0, 1)例例3)1 , 0( NX則則87X46X15X)7 , 8(2N)6 , 4(2N)5 , 1 (2N定理定理2 若若 x N( , 2 2) ,其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為F(x) )(x則則)(xF例例)2 , 1 (2NX則則)211()212()213()0()5 .0()1(F(1)= F(2)= F(3)= F(-3)= )213()2(=0.5 =0.6915=0.8413)2(1=0.02285 一般正態(tài)分布的概率也可查表計算一般正態(tài)分布的概率也可查表計算若若x

8、N( , 2 2) ， 則則)() 1 (aXP)(aF)()2(aXP)(1aF)() 3(bXaP)()(aFbF)(a)(1a)()(ab例例1)5 . 0 , 8(2NX求求)1|8(|XP)10(XP)1|8(|XP)97(XP)5 .087()5 .089()2()2()2(1 )2(10XP)5 .0810()4(999968.0)181(XP解解=0.9544例例2)2,10(2NX求求)2|10(|XP)13(XP)1310( XP)2102()2|10(|XPXP)128(XP)2108()21012()1()1 ()1 (1 )1 ()13(XP)21013(1)5 .1 (1)1310( XP)21010()21013()0()5 .1 (解解=0.6826=0.0668=0.9332-0.5=0.4332)(zXP設設 0 1, XN(0,1)，稱滿足稱滿足 (1) 定義定義：的點的點 為為X關(guān)于關(guān)于 的上分位數(shù)的上分位數(shù). z6