常見數列通項求法

1、遞推數列求通項公式遞推數列求通項公式高數組高數組 朱懷強朱懷強前言前言l數列是高中知識的難點之一，每年高考的必考內容。自2010年新課改之后，數列問題難度有所降低。全國卷里數列，一般出現在17大題的位置，主要考察數列的通項以及前n項和相關問題，難度中等偏上。數列通項作為數列里的核心內容之一，是解決后續(xù)問題的關鍵。本課件講述遞推數列求通項常見方法，基本可以解決90%的數列通項問題。希望同學們能認真掌握下來。策略一覽策略一覽l公式法l累加法、累積法l利用 和 的關系l構造法l迭代法、兩邊取對數法l兩邊取倒數法nans類型一：公式法類型一：公式法( (等差、等比數列等差、等比數列) )1、等差數列2

2、、等比數列例例.an的前的前n項和項和Sn=2n21，求通項，求通項an類型二：利用類型二：利用a an n與與S Sn n的關系的關系解：當解：當n=1時時, a1=1 當當n2時，時，an=SnSn1=(2n21) 2(n1)21=4n2不要遺漏不要遺漏n=1的情形哦！的情形哦！ 因此因此 an=1 (n=1)4n 2(n2, )*nN11,1,2nnnSnaSSn因為因為4*1-21,不滿足上式不滿足上式 例：已知例：已知an中，中，a1+2a2+3a3+ +nan=3n+1,求通項求通項an a1+2a2+3a3+nan=3n+1 注意注意n的范圍的范圍 a1+2a2+3a3+(n1)

3、an1=3n（n2） nan=3n+13n=23n23nnan= （n2） 兩式相減得：兩式相減得：an=9 (n=1)23nn（n2, ）*nN解：當解：當n=1時時,a1=9 9132例：在例：在an中，已知中，已知a1=1,an=an-1+n (n2),求通項求通項an.練：練： 111311,3 (2)2nnnnnaaaana n n已已知知中中,證,證明明：11223343221 1 2 3 . 3 2 nnnnnnnnaanaanaanaanaaaa 解解：以以上上各各式式相相加加n1 a(234)(n+2)(n-1) =1+2 an 得得類型三：類型三：累加法，形如累加法，形如)

4、(1nfaann例：例： 12,3,.nnnnnaaaaa 1 1已已知知中中，求求通通項項練習：練習： 122,2,.nnnnaaaaan 1 1已已知知中中，求求通通項項 1111234123123423221( -1)23211 2 3( -1)21( -1)2 333, 3, 3, 3 3 , 3-13 3333= 2 3=2 3 2 3解：，將這個式子相乘得：nnnnnnnnnnnnnnnnnnn nnnnnn nnaaaaaaaaaaaaaaaanaaa 類型四：累乘法，形如類型四：累乘法，形如)(1nfaann例：例： 111,21 .nnnnaaaaa 數數列列滿滿足足, 求,

5、 求 11-1111 21 121 12(1) 1 2 1 112+111 2221解：是以為首項， 為公比的等比數列nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa 12,3+2,.1練習:已知中，求通項nnnnaaaaa 11()()1nnnnaqaddatq at tq 對于型數列，可用構造法轉化為類型五、構造法類型五、構造法 形如形如1nnaqad形如形如1111111*23 ,12(1) ,22363, 20,6,23(1) 636,1010 25 25 236,nnnnnnnnnnnnnnnnaan aaCn DaC nD C DaaCnCDanCCDDanbanbbbannN 使

6、用待定系數法是常數所以令且易知顯然 是等比數列,1nnakabn 通項公式求例：nnnaanaa, 1,32111nnaqad142 (2,3,4,)nnnaan 思思路路鑒鑒賞賞：解解法法一一（構構造造1 1）142nnnaa 112122nnnnaa 1112(1)22nnnnaa 法法二二（構構造造2 2）1124(2)nnnnaa 142nnnaa 形如形如1nnnakab例：已知數列 中， ，求數列 通項公式 na nannnaaa24, 211練習：練習： 1113,33,nnnnaaaaa n n數數列列滿滿足足: :求求通通項項公公式式. .11111 33 133 133 -

7、11333nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaannan 解解：是是以以為為首首項項，以以 為為公公差差的的等等差差數數列列（） 1()knnaA ak為常數法（1）：迭代法11211211111111lg2 ( )( )*22(),2,0lg()lg,2lglg,lg1,lg,lg2lg211,lg2 ( ),lglg2 ( ),22102,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabababbaanN兩邊取對數,有根據對數的性質有令易知是等比數列因此11212118134122112nnaaaaannnn類型六、形如類型六、形如11211211111111lg2 ( )(

8、 )*22(),2,0lg()lg,2lglg,lg1,lg,lg2lg211,lg2 ( ),lglg2 ( ),22102,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabababbaanN兩邊取對數,有根據對數的性質有令易知是等比數列因此法（2）：兩邊取對數例例8： 111,21nnnnnaaaaaa 數數列列滿滿足足: :求求通通項項公公式式類型七、取倒數法類型七、取倒數法 形如形如1nnnpaaqap111n11n12111 221a11 2aannnnnnaaaaaa 解解：是是以以為為首首項項，以以 為為公公差差的的等等差差數數列列1111(1)22 -1 2 -1nn

9、nnaaan類型八、相除法類型八、相除法 形如形如11nnnnaapaa例：例：1112,0,2.nnnnnnaaaaaaa已知且,求1111111 2 211 -211545 -1 (-2)-2222 45nnnnnnnnnaaaaaaaannnaaan 解解：是是以以為為首首項項，以以為為公公差差的的等等差差數數列列（）通項公式求法通項公式求法 類型 方法l等差、等比 公式法l已知Sn或Sn與an關系 通用公式法l形如 累加法l形如 累乘法l形如 待定系數法l形如 取對數法)(1nfaann)(1nfaanndkaann1dnkaann1nnnbkaa11nnkaadpakaannn11形如 取倒數法構造輔助數列1： 1215,2,6103 -311(1);2(2)(3).nnnnnnaanN naxa xaanS 設設數數列列若若對對任任意意的的二二次次方方程程都都有有根根 、 ，且且滿滿足足求求證證：是是等等比比數數列列求求通通項項 ；求求前前 項項和和 課后課后 練習練習2： 11,3,2 (2)1.nnnnnnaaaS SnSa 已已知知求求證證：是是等等差差數數列列，并并求求公公差差；