2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(全國Ⅱ卷)

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國n卷）注意事項：1 .本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答題前，考生務(wù)必將自己的 姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上 .2 .回答第I卷時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮搽干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，寫在本試卷上無效3 .回答第n卷時，將答案寫在答題卡上，答在本試題上無效4 .考試結(jié)束，將本試題和答題卡一并交回.第I卷一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合 題目要求的.1 .設(shè)集合 M= 0,1,2, N= x|x2 3x 2<0，貝U

2、 M N=【D】A.1B.2C.0, 1D. 1,22 .設(shè)復(fù)數(shù)z1 , z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，Z1 2 i ,則z1z2【A】A.- 5B. 5C.- 4+ iD. - 4 - i3 .設(shè)向量a,b滿足|a+b尸JT0 , |a-b|= J6 ,則a b =【A】A. 1B. 2C. 3D. 54 .鈍角三角形 ABC的面積是2 , AB=1 , BC=V2 ,則AC= BA. 5B. -5C. 2D. 15 .某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的 概率是【A】連續(xù)兩為優(yōu)良的概A.

3、0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.456 .如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1 （表示1cm），圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為【C】A.1727B. 9C.27D.7 .執(zhí)行右圖程序框圖，如果輸入的x,t均為2,則輸出的S= DA. 4B. 5C. 6D. 78 .設(shè)曲線A. 0y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x,則a= D B. 19 .設(shè)x,y滿足約束條件A. 10B. 8C. 2D. 3xy7< 0x3y1<0 ,則 z3xy50C.

4、3D. 22x y的最大值為【B】10 .設(shè)F為拋物線C: y23x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點，。為坐標(biāo)原點，則 OAB的面積為【D】3.3A. T9.3B. /6332D. 4/幡九 t /M=L S=3輸出3S=M+S11 .直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，/BCA=90° 中點，BC=CA=CC 1,則BM與AN所成的角的余弦值為 【C】,M , N分別是AiBi,A1C1 的k=k+lA. 110B. 5D.12 .設(shè)函數(shù)f一 3 sinmx若存在的極值點Xo滿足x02f Xo取值范圍是CA.6,B.,44,C.2,D.4,第II卷本卷包

5、括必考題和選考題兩部分.第13題第21題為必考題，每個試題考生必須做答第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答.二.填空題11013 . x a的展開式中，x7的系數(shù)為15,則a=2.(用數(shù)字填寫答案)14 .函數(shù)f x sin x 2 2sin cos x的最大值為1.15 .已知偶函數(shù)f x在0, 單調(diào)遞減，f 20 .若f x 10,則x的取值范圍是_L 1,3)16 .設(shè)點M (x0,1),若在圓O: x2y2 1上存在點N,使得/ OMN=45 ° ,則比的取值范圍是1,1三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17 .(本小題滿分12分)已知數(shù)列 an滿足a1

6、=1, an 1 3an 1.(i)證明 an 2是等比數(shù)列，并求 an的通項公式;(n)證明：工 1+1 3.a a?an 2解：(I)由 an 1 3an 1 得 an 11、3(an 二)。2313一,所以an一 是首項為一，公比為3的等比數(shù)歹U。2221 3n =”3n 1an -,因此an的通項公式為an 22212(n)由(I)知一 -nan 31111因為當(dāng)n 1時，31 2 3 ，所以七一3n 12 3于是1a11a2-11所以一一aa2n18.(本小題滿分12分)如圖，四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD為矩形，PAL平面ABCD , E為PD的中點. (I )證明：PB

7、/平面AEC ;(II)設(shè)二面角 D-AE-C為60° , AP=1 , AD= 73 ,求三棱錐 E-ACD的體積.解：(I)連接BD交AC于點O,連結(jié)EO。因為ABCD為矩形，所以 。為BD的中點。又E為PD的中點，所以 EO / PB。EO 平面 AEC,PB 平面 AEC,所以PB/平面 AEC.(n)因為 PA 平面ABCD , ABCD為矩形，所以 AB,AD,AP 兩兩垂直。uuuuuu如圖，以A為坐標(biāo)原點， AB的方向為x軸的正方向，AP為單位長，建立空間直3 i uur；3 i角坐標(biāo)系 A xyz ,則 D(0, v3,0), E(0,), AE (0,).uur設(shè)

8、 b(m,0,0)(mf 0),則 c(mW3,0), AC (m,j3,0)。設(shè)ni (x, y, z)為平面ACE的法向量,則n1niuurAC uur AE0,0,mx 3y 0,即73i八，-y z 0,22又n2 (1,0,0)為平面DAE的法向量,由題設(shè)cos(ni,n2» ；即31 3J2 一 ,解得 m 一 。_1E ACD的高為一.23.8334m22因為E為PD的中點，所以三棱錐三菱錐E ACD的體積V 1 1 .3 3 13 22 219.(本小題滿分12分)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入 y (單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表:年份2007200820

9、092010201120122013年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(I)求y關(guān)于t的線性回歸方程；(n)利用(I)中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的 變化情況，并預(yù)測該地區(qū) 2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入 .附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：ntyi yb J，9 y 法2ti ti 1解：(I)由所給數(shù)據(jù)計算得二 1 一、t - (1+2+3+4+5+6+7 ) =4一 1 ,y (2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9 ) =4.37_2.一一 (t1 t) =9+4+1

10、+0+1+4+9=28t 17_(t1 t)(y1 y)11=(3) X (1.4) + ( 2) X (1) + (1) X (0.7) +0X 0.1+1 X 0.5=14.(ti t)(y y)1172(ti 1)1 114 -一 0.5 ，28$ y $t 4,3 0.5 4 2.3.所求回歸方程為$ 0,51 2.3.(n) 由(I)知，b=0,5> 0,故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增 加，平均每年增加 0.5千元。將2015年的年份代號1=9帶入(I)中的回歸方程，得$ 0,5 9 2.3 6.8故預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8

11、千元.20.(本小題滿分12分)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：ax2 b2 1 a b 0的左，右焦點，M是C上一點且MF2與X軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為 N.(I )若直線 MN的斜率為3 求c的離心率;4(n)若直線 MN在y軸上的截距為2,且MN5FN ,求a,b.解：(I)根據(jù)ca2 b2及題設(shè)知M(c, ),2b2a3acb2 4a(n)由題意，原點D(0,2)是線段,2222 cC1C -將b a c代入2b 3ac ,解得 ，2 (舍去)a 2 a一 、 1故C的離心率為一.2。為f1f2的中點，MF2 / y軸，所以直線 MF1與y軸的交點b2MF1的中點，故 a由 MN

12、 5 F1N 得 DF1 2 F1N設(shè)N(xi, y"，由題意知yiXiyi2( c Xi) c，即2yi 2十 口 9c2代入C的方程，得當(dāng)4a將及c , a2 b2代入得-29(a4a)4a2-1 14a解得a_ . 27,b 4a 28,7,b 2.7.21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f x =ex ex 2x(i)討論f x的單調(diào)性；(n)設(shè)g x f 2x 4bf x ,當(dāng)x 0時，g x 0,求b的最大值;(出)已知1.4142 J2 1.4143,估計ln2的近似值(精確到 0.001)解：(I) f'(x)=ex ex 2 0 ,等號僅當(dāng)x 0時成立。所以f

13、(x)在(，)(n) g(x) = f(2x) 4bf (x) e2x e 2x 4b(ex ex) (8b 4)x2x 2xx xg'(x) = 2 e e 2b(e e ) (4b 2)x xx x= 2(e e 2)(e e 2b 2)單調(diào)遞(i)當(dāng)b 2時，g'(x) >0,等號僅當(dāng)x 0時成立，所以g(x)在(增。而g(0) =0,所以對任意x f 0,g(x) f 0;(ii)當(dāng)bf 2時，若x滿足g'(x) V0.而g(0) =0,因止匕蘭 綜上，b的最大值為2.(出)由(n)知，g(ln ,2)當(dāng) b=2 時，g(ln 揚 |-一 3.2 ,，當(dāng)

14、b 一 1 時，ln(bg(ln 2)1 ln 2 < 所以In 2的近似值為0.6請考生在第22、23、24題中任選一 寫清題號.22.(本小題滿分10)選修4 1: 如圖，P是e O外一點，PA是切必 交十點 B, C, PC=2PA, D 為 P(2pe e p 2b 2,即 0pxpln(b 1 Jb2b)時10Px ln(b 1 Jb2 2b)時，g(x) <0.3 2 2b 2(2b 1)ln 2.28.2 34v2 6ln 2 >0； ln 2 >>0.6928；121 Jb2 2b) ln&,=-272 (372 2)ln 2<0,

15、23 .2< 0.69342893.一題做答，如果多做，同按所做的第一題計分，做答時請幾何證明選講戔，A為切點，割線PBC與e O相)的中點，AD的延長線交e。于點E.證明：(I) BE=EC;(n ) AD DE=2 PB2解：(I )連結(jié) AB,AC.由題設(shè)知 因為/ PDA= / DAC+ / DCA/ PAD= / BAD+ / PAB / DCA= / PAB,EPA=PD,故/ PAD= / PDA.所以/ DAC= / BAD ,從而 Be ?C。因止匕BE=EC.2(n)由切割線定理得 PA PB PC。因為 PA=PD=DC ,所以 DC=2PB,BD=PB 。 由相交

16、弦定理得AD DE BD DC , 所以 AD DE 2PB2.23.(本小題滿分10)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓 C的極坐標(biāo)方程為2cos ,0,2 .(I )求C的參數(shù)方程;(n )設(shè)點D在C上，C在D處的切線與直線y J3x 2垂直，根據(jù)(I)中你得到的參數(shù)方程，確定 D的坐標(biāo).1).解：(I) C的普通方程為(x 1)2 y2 1(0可得C的參數(shù)方程為1 cost, (t為參數(shù)，0sint,(n)設(shè)D(1 cost,sin t).由(I)知C是以G (1,0)為圓心，1為半徑的上半圓。因為C在點D處的切線與t垂直，所以直線 GD與t的斜率相同，tant 、3,t .3故 D 的直角坐標(biāo)為(1 cos-,sin ) , gp (-,-)。332 224.(本小題滿分10)選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù) fx=x1 x a (a 0)