第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征Chapter Four Figure Characteristic of Random Variable內(nèi)容提要本章主要講述離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)；方差的概念，方差的計(jì)算，方差的性質(zhì)；協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的定義，協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，矩等內(nèi)容重點(diǎn)分析1、 理解數(shù)學(xué)期望與方差的概念，掌握它們的性質(zhì)與計(jì)算2、 了解二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望與方差3、 了解矩、相關(guān)系數(shù)的概念及其性質(zhì)與計(jì)算難點(diǎn)分析1、 數(shù)學(xué)期望與方差的概念、性質(zhì)與計(jì)算2、 矩、相關(guān)系數(shù)的概念、性質(zhì)與計(jì)算

2、第二章我們討論了隨機(jī)變量的分布函數(shù)，我們看到分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性但在一些實(shí)際問(wèn)題中，不需要去全面考察隨機(jī)變量的整個(gè)變化情況，而只需知道隨機(jī)變量的某些統(tǒng)計(jì)特征例如，在檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，只需要注意纖維的平均長(zhǎng)度，以及纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度，如果平均長(zhǎng)度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就越好從這個(gè)例子看到，某些與隨機(jī)變量有關(guān)的數(shù)字，雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但能概括描述它的基本面貌這些能代表隨機(jī)變量的主要特征的數(shù)字稱(chēng)為數(shù)字特征本章介紹隨機(jī)變量的常用數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差和相關(guān)系數(shù)§4.1 數(shù)學(xué)期望(隨機(jī)變量的均值)Mathematical Expectation（

3、Average of Random Variable）一、 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(Mathematical expectation of discrete random variable)Example 4.1 某年級(jí)有100名學(xué)生，17歲的有2人，18歲的有2人，19歲的有30人，20歲的有56人，21歲的有10人，則該年級(jí)學(xué)生的平均年齡為事實(shí)上我們?cè)谟?jì)算中是用頻率的權(quán)重的加權(quán)平均，對(duì)于一般的離散型隨機(jī)變量，其定義如下：Definition 4.1 設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為表4-1表4-1 若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱(chēng)其為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(Mathematical expectation)或

4、均值(Average)記為若級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱(chēng)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望不存在(Suppose is a discrete random variable, which distribution law is table 4-1. if progression is absolutely convergent, then it is called mathematical expectation (or average) of random variable , which is written . If seriesis divergent, then random variable has not m

5、athematical expectation.)Example 4.2 一批產(chǎn)品在有一二三等品及廢品4種，所占比例分別為，各級(jí)產(chǎn)品的出廠(chǎng)價(jià)分別為6元，4.8元，4元，0元，求產(chǎn)品的平均出廠(chǎng)價(jià)Solution 由題意產(chǎn)品的平均出廠(chǎng)價(jià)為(元)Example 4.3 設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，求它的數(shù)學(xué)期望Solution 由于因而 Example 4.4 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，求它的數(shù)學(xué)期望Solution 由于 Example 4.5 已知離散型隨機(jī)變量的概率分布為，求Solution 二、 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(Mathematical expectation of a cont

6、inual random variable)Definition 4.2 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度函數(shù)為，若積分絕對(duì)收斂，則稱(chēng)其為的數(shù)學(xué)期望或均值記為，(Suppose is a continuous random variable, which its probability density function is . if integral, , is absolutely convergent, then it is called mathematical expectation (or average) of random variable, which is written, an

7、d .)Example 4.6 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，求Solution 由于正態(tài)分布的密度函數(shù)為 令，則 Example 4.7 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求Solution 由于指數(shù)分布的密度函數(shù)為 Example 4.8 設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布，求Solution 由于均勻分布的密度函數(shù)為 Example 4.9 設(shè)隨機(jī)變量服從柯西分布，其密度函數(shù)為，由于積分發(fā)散，因而不存在三、 隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(Mathematical expectation of random variable function)Theorem 4.1 設(shè)為隨機(jī)變量的函數(shù)： (g是連續(xù)函數(shù))，（

8、1）是離散型隨機(jī)變量，分布律為；若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則有 （2）是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的分布密度為，若積分絕對(duì)收斂，則有 (Suppose Y is a function of random variable, (g is a continuous function), (1) is a discrete random variable, distribution law is ; if series, , is absolutely convergent, then . (2) is a continuous random variable, its probability distributio

9、n density function is , if integral is absolutely convergent, then .)（證明略）定理4.1告訴我們：求時(shí)，不必知道的分布，而只需知道的分布就可以了Theorem 4.2 設(shè)是隨機(jī)變量的連續(xù)函數(shù)，（1）是二維離散型隨機(jī)變量，聯(lián)合分布律為；則有 （設(shè)該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂）（2）是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合分布密度為，則有（設(shè)該積分絕對(duì)收斂）(Suppose is a continuous function of random vector, , (1) are discrete random vector of two dimension

10、s, its joint distribution law is ;then . (Suppose this series is absolutely convergent)(2) are continuous random vector of two dimensions, its joint distribution density function is , then . (Suppose this integral is absolutely convergent)（證明略）Example 4.10 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，求 (1)；(2) Solution (1)， 令， 由分部積

11、分法有 因而 (2)， 令，則Example 4.11 設(shè)的概率密度函數(shù)為求Solution 由定理4.2，Example 4.12 隨機(jī)變量的分布律如表4-2：表4-2X0 1 2 4P 求Solution 四、 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（The property of mathematical expectation）1 設(shè)是常數(shù)，則有2 設(shè)是隨機(jī)變量，設(shè)是常數(shù)，則有3 設(shè)，是隨機(jī)變量，則有（該性質(zhì)可推廣到有限個(gè)隨機(jī)變量之和的情況）4 設(shè)，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有（該性質(zhì)可推廣到有限個(gè)隨機(jī)變量之積的情況）1、2由讀者自己證明我們來(lái)證明3和4我們僅就連續(xù)型情形給出證明，離散型情形類(lèi)似可證Proof:

12、 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布密度為，其邊緣分布密度為，則+.性質(zhì)3得證又若和相互獨(dú)立，此時(shí)，故有性質(zhì)4得證Example 4.13 設(shè)獨(dú)立同分布，且，那么服從，因而§4.2 方 差(variance) 前面曾提到在檢驗(yàn)棉花的質(zhì)量時(shí)，既要注意纖維的平均長(zhǎng)度，還要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度那么，用怎樣的量去度量這個(gè)偏離程度呢？用來(lái)描述是不行的，因?yàn)檫@時(shí)正負(fù)偏差會(huì)抵消；用來(lái)描述原則上是可以的，但有絕對(duì)值不便計(jì)算；因此，通常用來(lái)描述隨機(jī)變量與均值的偏離程度一、 方差的概念(Conception of variance)Definition 4.3 設(shè)是隨機(jī)變量，存在，就稱(chēng)其為的方差

13、，記為 (或)，即=稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差，記為(Suppose is a random variable, if is exist, then it is called variance of, and written or , namely , is called standard variance, and written .二、 方差的計(jì)算(Calculation of variance)1 =Proof: 由方差的定義及數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 2 是離散型隨機(jī)變量，分布律為；則3 是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的分布密度為，則Example 4.14 (1) 求例4.12中的方差 (2) 求例4.5中的方差Sol

14、ution (1) (2) ，Example 4.15 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，求Solution 由于 (例11)， 因而正態(tài)隨機(jī)變量的“規(guī)則”：從這個(gè)數(shù)據(jù)看到，正態(tài)隨機(jī)變量的值幾乎完全落在了區(qū)間 Example 4.16 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，求Solution 由于， 而 ，因而 Example 4.17 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求Solution 由于指數(shù)分布的密度函數(shù)為 Example 4.18 設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布，求Solution 由于均勻分布的密度函數(shù)為， ， Example 4.19 已知隨機(jī)變量的密度函數(shù)為又已知，求Solution 解之得 三、

15、方差的性質(zhì)(The property of variance) 設(shè)是常數(shù)，則有；設(shè)是常數(shù)，則有；設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有；設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則（以上4個(gè)性質(zhì)的證明留給讀者自己完成）Example 4.20 設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，求Solution 由性質(zhì)4,設(shè)獨(dú)立同分布，且，那么服從，因而又因?yàn)?，因此 Example 4.21 設(shè)的概率密度函數(shù)為求及Solution Example 4.22 一臺(tái)設(shè)備由三大件組成，載設(shè)備的運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中需要調(diào)整的概率分別為0.10，0.20，0.30，假設(shè)各部分相互獨(dú)立， 表示需要調(diào)整的部件數(shù)，試求的分布，Solution ，由于各部件相互獨(dú)立，則有

16、§4.3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)、矩(Covariance, Correlation coefficient and Moment)我們除了討論與的數(shù)學(xué)期望和方差外，還需討論描述與之間相互關(guān)系的數(shù)字特征本節(jié)討論這方面的數(shù)字特征 一、 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的定義(Covariance and correlation coefficient)Definition 4.4 設(shè)有二維隨機(jī)變量，如果存在，則稱(chēng)為隨機(jī)變量與的協(xié)方差記為，即稱(chēng)為隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)若，稱(chēng)與不相關(guān)(Suppose there are two dimension random variable, if is exist, the

17、n it is called covariance of random variableand , and written , namely, is called correlation coefficient of random variable and . If , then and is not correlational.)二、 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(Property of covariance and correlation coefficient) 1 協(xié)方差的性質(zhì)(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 若與相互獨(dú)立，則，即與不相關(guān)反之，若與不相關(guān)，與不一定相互

18、獨(dú)立(7) 2 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1) ；(2) 若與相互獨(dú)立，則；(3) 當(dāng)與有線(xiàn)性關(guān)系時(shí)，即當(dāng)（為常數(shù)，）時(shí)， ；(4) 的充要條件是，存在常數(shù)使事實(shí)上相關(guān)系數(shù)只是隨機(jī)變量間線(xiàn)性關(guān)系其強(qiáng)弱的一個(gè)度量，當(dāng)表明隨機(jī)變量與具有線(xiàn)性關(guān)系時(shí)為正線(xiàn)性相關(guān)， 時(shí)為負(fù)線(xiàn)性相關(guān)，當(dāng)時(shí)，這種線(xiàn)性相關(guān)程度就隨著的減小而減弱，當(dāng)時(shí)，就意味著隨機(jī)變量與是不相關(guān)的Example 4.23 設(shè)是服從上的均勻分布，又，試求相關(guān)系數(shù)Solution 因而 相關(guān)系數(shù)，隨機(jī)變量與不相關(guān)，但是有，從而與不獨(dú)立Example 4.24 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為證明隨機(jī)變量與不相關(guān)，也不相互獨(dú)立證明 由于關(guān)于軸、軸對(duì)稱(chēng)，有，因而 即是與不相關(guān)又由于 ， 顯然在上，所以與不相互獨(dú)立三、 矩 (Moment)Definition 4.5 設(shè)和是隨機(jī)變量，若存在，稱(chēng)它為的階原點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱(chēng)階矩若存在，稱(chēng)它為的階中心矩若存在，稱(chēng)它為和的階混合矩若存在，稱(chēng)它為和的階混合中心矩(Suppose and are random variables, if , is exist, it is called order origin moment of . If ,