九年級數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典例題

1、九年級數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典例題一、二次函數(shù)概念：1 .二次函數(shù)的概念：一般地,形如y =ax2 +bx +c （ a, b, c是常數(shù)，a #0 ）的函數(shù),叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似 ，二次項(xiàng)系數(shù)ao0,而b, c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).22 .二次函數(shù)y=ax +bx+c的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量 x的二次式，x的最高次數(shù)是2.a, b, c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).二、二次函數(shù)的基本形式1.二次函數(shù)基本形式： y=ax2的性質(zhì)：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a &g

2、t;0向上(0, 0 )y軸x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；x<0時(shí)，y隨x 的增大而減?。粁 = 0時(shí)，y有最小值0 .a <0問卜(0, 0 )y軸x>0時(shí)，y隨x的增大而減?。粁<0時(shí)，y隨x 的增大而增大；x =0時(shí)，y有最大值0 .22. y=ax，c的性質(zhì):上加下減。a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a >0向上(0，c)y軸x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；x<0時(shí)，y隨x 的增大而減?。粁 = 0時(shí)，y有最小值c.a <0問卜(0，c)y軸x>0時(shí)，y隨x的增大而減??；x<0時(shí)，y隨x 的增大而增大；x =0時(shí)，y有最

3、大值c .23. y = a(xh)的性質(zhì):左加右減。a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a >0向上(h，0 )X=hx > h時(shí)，y隨x的增大而增大；x c h時(shí)，y隨x 的增大而減小；x = h時(shí)，y有最小值0 .a <0問卜(h, 0 )X=hx>h時(shí)，y隨x的增大而減??；x<h時(shí)，y隨x 的增大而增大；x=h時(shí)，y有最大值0.24. y = a(x h)+k 的性質(zhì):a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a >0向上(h, k)X=hx > h時(shí)，y隨x的增大而增大；x < h時(shí)，y隨x 的增大而減?。粁=h時(shí)，y有最小值k .a <0

4、問卜(h, k )X=hx > h時(shí)，y隨x的增大而減??；x < h時(shí)，y隨x 的增大而增大；x=h時(shí)，y有最大值k .三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟:2 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng) =a（x -h ） +k ,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)（h , k ）；保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到（h, k ）處,具體平移方法如下:-2 y=ax2* y=ax2+k向右（h>0）【或左（h<0）】 平移|k|個(gè)單位y=a(x-h)2向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|個(gè)單位向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|個(gè)單位向上（k>0）

5、或下（k<0） 平移|k|個(gè)單位向右（h>0）或左（h<0） 平移|k|個(gè)單位向右（h>0）或左（h<0）】平移|k|個(gè)單位A y=a(x-h)2+k |2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上 概括成八個(gè)字“左加右減h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”.，上加下減”.四、二次函數(shù)y = ax- h +將y = ax+b升峰比較2從斛析式上看，y =a（x -h ） +k與y =ax2 bx c是兩種不同的表達(dá)形式,后者通過配方可以得到前者b 即 y =a ! x ,2a24ac -bb+,其中h=旦，k4a2a24ac b4a六、二次函數(shù)y =ax2+bx+c的性質(zhì)1

6、.當(dāng)a >0時(shí)，拋物線開口向上，對稱軸為b一，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2ab 4ac - b2，2a 4a當(dāng)x c 時(shí)，y隨x的增大而減?。?a當(dāng)x a 時(shí)，y隨x的增大而增大;2a當(dāng)x=4a時(shí)，y有最小值”*/, 2、當(dāng)x<.2a時(shí),y隨x的增 b b 4ac b2.當(dāng)a <0時(shí)，拋物線開口向下，對稱軸為x =巴，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ， b2a12a 4a ,2bb4ac _ b大而增大；當(dāng)x>2時(shí),y隨x的增大而減小；當(dāng)x =巴時(shí)，y有最大值b2a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1 . 一般式：y =ax2+bx+c （ a , b , c 為常數(shù)，a *0）; 22 .頂點(diǎn)式：y=

7、a（x-h） +k （ a , h ,k 為常數(shù)，a #0 ）;3 .兩根式（交點(diǎn)式）：y =a（x-x1）（x-x2）（a#0,x,x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b2-4ac之0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種 形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1 .二次項(xiàng)系數(shù)a 當(dāng)a>0時(shí),拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大； 當(dāng)a <0時(shí),拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大

8、.2 . 一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸.（同左異右b為0對稱軸為y軸）3 .常數(shù)項(xiàng)c 當(dāng)c>0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)c =0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 0 ； 當(dāng)c<0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來2決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.九、二次函數(shù)與一元二次方程：1 .二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程ax2 +bx +c =0是二次函數(shù)y =ax2 +bx +c當(dāng)函數(shù)值y = 0時(shí)的特殊情況.

9、圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：當(dāng)A=b2 -4ac A0時(shí),圖象與x軸交于兩點(diǎn)A（x1，0 ）, B（x2 , 0）（x1 #出）淇中的X , x2是一元二次方程ax2 +bx +c =0(a #0 )的兩根.當(dāng)A=0時(shí),圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)A <0時(shí),圖象與x軸沒有交點(diǎn).1當(dāng)a >0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y >0 ；2當(dāng)a <0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y<0.22 .拋物線丫=2* +bx+c的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,c）；17 / 13二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題一、選擇題1 .二次函數(shù)y =x24x-7的頂點(diǎn)坐

10、標(biāo)是()A.(2, 11) B. (2,7) C. (2,11) D. (2,-3)2 .把拋物線y = -2x2向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線是()._,.、2_,.、2_2._2.A. y = -2(x ' 1) B. y = 2(x -1) C. y = -2x , 1 D. y = -2x -1k3 .函數(shù)y =kx2 -k和y = (k。0)在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的()xA4 .已知二次函數(shù)y=ax2 當(dāng)x =1和x =3時(shí)，函數(shù) 確的個(gè)數(shù)是()A.1 個(gè) B.25 .已知二次函數(shù)y = ax2 由圖象可知關(guān)于x的一元+bx+c(a #0)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論

11、：a,b同號；值相等；4a + b = 0當(dāng)y = 2時(shí)，x的值只能取0.其中正 、工 :個(gè) C. 3個(gè)D. 4個(gè)+bx+c(a #0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)(-1,-3.2 )及部分圖象(如圖)，那二次方程 ax2+bx+c = 0的兩個(gè)根分別是 x1=1.3和x2=/，( )A. - 1 .3B.-2.3C.-0.3D.-3.36 .已知二次函數(shù) y =ax2+bx+c的圖象如圖所示A.第一象PMB.第二象限C.第三象限D(zhuǎn) .第四象限 227 .方程2x-x =的正根的個(gè)數(shù)為()xA.0 個(gè)B.1個(gè)C.28 .已知拋物線過點(diǎn) A(2,0),B(-1,0), 與y軸交十點(diǎn)2A. y = x x -2B.

12、fM1 y Z，貝U點(diǎn)(ac,bc)在()T £Pu個(gè).3個(gè)C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為y = -x2 +x + 2C. y =x2-x_2或 y = _x2+x+2D. y =-x2 -x-2或 y = x2 + x+ 2二、填空題9 .二次函數(shù)y =x2+bx+3的對稱軸是x = 2,則b=。10 .已知拋物線 y=-2 (x+3)35,如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是 11 . 一個(gè)函數(shù)具有下列性質(zhì)：圖象過點(diǎn)(一 1,2),當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；滿 足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是 (只寫一個(gè)即可)。12 .拋物線y =2(x-2)

13、2 -6的頂點(diǎn)為C,已知直線y = -kx+3過點(diǎn)C,則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角 形面積為。13 .二次函數(shù)y =2x24x-1的圖象是由y =2x2+bx+ c的圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位 得到的，貝U b= ,c=。14 .如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的地方，橋 的高度是(兀取3.14).三、解答題:515 .已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是x+3 = 0，圖象經(jīng)過(1,-6),且與y軸的交點(diǎn)為(0,-).2(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值為 0?(3)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，這個(gè)函數(shù)

14、的函數(shù)值 y隨x的增大而增大？1216 .某種爆竹點(diǎn)燃后，其上升圖度h (米)和時(shí)間t (秒)符合關(guān)系式h = v0t- gt(0<tw2),其中重力2加速度g以10米/秒2計(jì)算.這種爆竹點(diǎn)燃后以V0=20米/秒的初速度上升，(1)這種爆竹在地面上點(diǎn)燃后 ，經(jīng)過多少時(shí)間離地15米？(2)在爆竹點(diǎn)燃后的1.5秒至1.8秒這段時(shí)間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由.217 .如圖，拋物線y=x +bx-c經(jīng)過直線y = x-3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B,此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 C,拋物線頂點(diǎn)為 D.(1)求此拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使Sapc ： S小cd

15、 =5 : 4的點(diǎn)P的 坐標(biāo)。18 .紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料(這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算,未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理).當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí)，月銷售量為45噸.該建材店為提高經(jīng)營利潤 ，準(zhǔn)備采 取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí)，月銷售量就會(huì)增加 7. 5噸.綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元.設(shè)每噸材料售價(jià)為 x (元)，該經(jīng)銷店的月利潤為y (元).(1)當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷售量；(2)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出x的取值范圍)；(3)該建材店要獲得最大月利潤，售價(jià)應(yīng)

16、定為每噸多少元？(4)小靜說：“當(dāng)月利潤最大時(shí)，月銷售額也最大.”你認(rèn)為對嗎？請說明理由.二次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練1、心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力y與提出概念所用的時(shí)間x (分)之間滿足函數(shù)關(guān)系：y = -0.1x2+2.6x + 43 (0<x<30).(1)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？當(dāng) x在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步減弱?(2)第10分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力是多少?(3)第幾分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)?2、如圖,已知 ABC是一等腰三角形鐵板余料 ,其中AB=AC=20cm,BC=24cn ABC上截出一次I形零件 DEFG, 使EF在BC上，點(diǎn)D G分別

17、在邊 AR AC上.問矩形DEFG勺最大面積是多少？3、如圖，4ABC中，/ B=90° ,AB=6cm,BC=12cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，沿AB邊向點(diǎn)B以每秒1cm的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q 從點(diǎn)B開始，沿著BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動(dòng).如果P,Q同時(shí)出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘 PBQ勺面積最大？最大面積是多少？4、如圖，一位運(yùn)動(dòng)員在距籃下4米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時(shí),達(dá)到最大高度3.5米，然后準(zhǔn)確落入籃圈.已知籃圈中心到地面的距離為3.05米.(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的表達(dá)式；(2)該運(yùn)動(dòng)員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25

18、米處出手，問：球出手時(shí)，他跳離地面的高度是多少.-4m 5、如圖，要建一個(gè)長方形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，如果用50 m長的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場，設(shè)它的長度為x m.(1)要使雞場面積最大，雞場的長度應(yīng)為多少m?(2)如果中間有n(n是大于1的整數(shù))道籬笆隔墻，要使雞場面積最大，雞場的長應(yīng)為多少 的比較(1)(2)的結(jié) 果，你能得到什么結(jié)論？6、某商場以每件20元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷售量m(件)與每件的銷售價(jià)x(元)滿足關(guān)系：m=140 2x.(1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件的銷售價(jià)x間的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果商場要想每天獲得最大的銷售利潤

19、，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷售利潤為多少?二次函數(shù)專題復(fù)習(xí)圖像特征與a、b、c、符號的關(guān)系1、已知二次函數(shù)y = ax2+bx+c,如圖所示，若a <0,c>0 ,那么它的圖象大致是(2y3、已知二次函數(shù)則下列結(jié)論正確的是y=ax2+bx+c (aw0)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論:4、二次函數(shù)a>0;c>0;A. 0個(gè)D. 3個(gè)5、二次函數(shù)2、已知二次函數(shù)A.第一象限C.第三象限B. 1個(gè) C. 2個(gè)=axB.第二象限cy=ax2+bx+c的圖像如圖1,則點(diǎn)M (b, a )在()y=ax2+bx+c的圖象如下，A.第一象限A ab< 0B bc<

20、 0+bx+c的圖象如圖所示，則點(diǎn)(ac，bc)在(B.第二象限D(zhuǎn).第四象限C a+ b+ c> 0 d a- b+ c< 0C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.6、二次函數(shù)y=ax +bx+c的圖象如圖所示，則（）22A、a >0 b -4ac<0b、a >0 b -4ac>022C、a <0 b -4ac <0d、a <0 b -4ac >07、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么下列判斷不正確的是（A、acv 0B、a-b+c>0C、b=-4aD、關(guān)于x的方程ax2 +bx+c=0的根是x1二-1,x2=5 8、已

21、知二次函數(shù) y=ax 2 +bx+c （ aw 0）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論:b2 -4ac>0; abc> 0; 8a+c>0; 9a+3b+cv0其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A、1B、2C、3D、4二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題參考答案一，選擇題、1 .A 2.C 3. A 4.B 5.D 6.B 7.C 8.C二、填空題、9. b = Y 10 . Xv-3 11 .如 y =2x2+4,y =2x+4 等(答案不唯一)12. 1 13 . -8 7 14.15三、解答題=32aa b c = -65c =-.215. (1)設(shè)拋物線的解析式為 y=ax2 +bx+c,由題意可得

22、 b151 o 5斛得 a =, b =_3,c =所以 y = x - 3x -2222(2) x = 1 或-5 (2) x <-31216. (1)由已知得，15 = 20t 父10父/,解得t1 =3,t 2 = 1當(dāng)t =3時(shí)不合題意，舍去。所以當(dāng)爆竹點(diǎn)燃后12秒離地15米.(2)由題意得，h = 5t2+20t = 5(t 2)2+20 ,可知頂點(diǎn)白Wt坐標(biāo)t=2,又拋物線開口向下，所以在爆竹點(diǎn)燃后的1.5秒至108秒這段時(shí)間內(nèi)，爆竹在上升.9 3b-c = 0b= -217. (1)直線y = x3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn) A (3,0) ,B (0, 3).則<解得<-

23、c = -3c = 3所以此拋物線解析式為 y =x2 -2x-3 . (2)拋物線的頂點(diǎn)D(1,-4)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)C( 1,0).21212設(shè) P(a,a2 2a 3),貝U (萬父4父,2 2a 3):與父4M4) = 5: 4.化簡得 a22a 3=5當(dāng) a2 -2a 3 >0 時(shí)，a2 -2a 3=5得 a = 4, a = 2 ，P (4,5 )或 P ( 2,5 )當(dāng)a22a3 <0時(shí)，-2+2a+3 =5即a2+2a + 2 = 0 ,此方程無解.綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,5)或(2,5).18. (1) 45 +260 240 m7.5=60 (噸

24、).(2) y=(x100)(45 +260 -xM7.5),化簡得：10103 23 232 y = x +315x-24000. (3) y=-x +315x24000 =(x-210) +9075.4 44紅星經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，材料的售價(jià)應(yīng)定為每噸210元.5 4)我認(rèn)為，小靜說的不對.理由：方法一：當(dāng)月利潤最大時(shí),x為210元，而對于月銷售額W =x(45 +2600x H7.5) =-3(x160)2 +19200來說，當(dāng)x為160元時(shí)，月銷售額 W最大.，當(dāng)x為210元時(shí)，月銷售額 W不是最大.，小靜說的不對.方法二：當(dāng)月利潤最大時(shí)，x為210元，此時(shí)，月銷售額為17325元；而當(dāng)x為200元時(shí)，月銷售額為18000 元.17325V 18000, 當(dāng)月利潤最大時(shí)，月銷售額 叱是最大.，小靜說的不對.二次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練參考答案1、(1) 0<x< 13,13<x< 30; (2) 59; (3) 13.2、過 A 作 AM LBC 于 M,交 DG 于 N,則 AM=也02 -122 =16cm.設(shè) DE=xcm,S 矩形=ycm2,則由 ADG AABC,故綱二膽曰=吟DGJ(16-x). AM BC 16242y=DG - DE= 3(16-x)x=- 3 (x2-16x)=-3 (x-8)2+96,