注冊電氣工程師考試數(shù)學(xué)

1、向量及其線型運(yùn)算：交換律abba，結(jié)合律：(ab) ca（bc），bab（a），|ab|a|b|，|a-b|a|b|，|a |a|，定理：設(shè)向量a0，那么，向量b和向量a平行的充分必要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)，是ba。a=()i()j()k或a。|a|Cosa，|a|Cosb，|a|Cosc，|a|，CoaCobCoc1。數(shù)量積：設(shè)向量a與向量b的夾角為（1），向量a和向量b的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量記做a.b，其大小為|a|b| Cos 即：ab|a|b|Cos。向量a在軸u上的投影（Prb）等于向量a的模乘以軸和向量a的夾角的余弦，即（Prb）|a|Cos。數(shù)量積等于：ab|a|（Prb）|b|（P

2、ra），交換：abba 分配：(ab) cabac結(jié)合：(a) b（ab），為實(shí)數(shù)。向量積：ab即C=ab |c|ab|a|b| Sin|()i+()j+()|，c的方向垂直a與b所決定的平面。a，b。 ab。ab，。向量a和向量b平行的充分必要條件是ab0。baab。平面平面點(diǎn)法式方程：設(shè)平面過點(diǎn)（，），它的法向量nA,B,C,則平面的方程為A(x)B(y) c(z)0平面的一般方程Ax+By+Cz+D0， n是該平面的法向量。截距式方程：1，a、b、c依次稱為平面在x、y、z軸上的截距。兩平面的夾角（銳角）：平面方程分別為Ax+By+Cz+D0，Ax+By+Cz+D0，則夾角Cos=,平面

3、1垂直平面條件2：+=0。平面1平行平面2條件：?？臻g1點(diǎn)（，）到平面Ax+By+Cz+D0距離：d直線空間直線的一般方程：空間直線是平面1：xy+z=0.和平面2xy+z=0的交線，則直線L的方程為：xy+z=0和2xy+z=0直線的對稱式方程：設(shè)直線L過點(diǎn)（，）,它的一個(gè)方向向量為s，則直線L的方程：。直線參數(shù)方程：t，則1： xmt 2：ynt 3：zpt。兩直線夾角（銳角）：L1方程：， L2方程：，則L1、L2的夾角Cos。L1垂直L2：+=0。L1平行L2：。直線和平面夾角：直線方程，平面方程Ax+By+Cz+D0則直線和平面的夾角Sin，直線垂直平面，直線平行平面：AmBn+Cp

4、=0。柱面：已知旋轉(zhuǎn)曲面的母線C的方程為f(y，z)0，x0。旋轉(zhuǎn)軸為z軸，只要將母線的方程f(y，z)0中的y換成 ，便得曲線C繞Z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程即：f( ，z)0。橢圓柱面+1。雙曲柱面：1。拋物柱面：xay。二次曲面.球面：(x-x)+(y-y)+(z-z)R。圓錐面：+z。橢圓錐面：+z（ab）。橢球面：+1。橢球拋物面：+z，+z。雙曲拋物面：z。單葉雙曲面：+1。雙葉雙曲面：1。微分學(xué) 函數(shù)左右極限：當(dāng)函數(shù)f（x）當(dāng)x時(shí)的極限存在的充分必要條件時(shí)函數(shù)的左右極限均存在且相等，即f（）f（）極限1 ，e2.71828無窮小比較：0 則是比高階無窮?。ㄊ潜鹊碗A無窮小），c 則是

5、比同階無窮小，1 則是比等階無窮小等階無窮小性質(zhì)：x0，xsinxtanx，1cosx/2,ln（1x）x，e1x， 1x/n。第一類間斷點(diǎn)：X是f（x）的間斷點(diǎn)，但f（）及f（）均存在。不是第一類間斷點(diǎn)的就是第二類間斷點(diǎn)。第一類間斷電分為跳躍間斷點(diǎn)和可去間斷點(diǎn)，當(dāng)f（x），f（x）都存在但不相等，為跳躍間斷點(diǎn)。當(dāng)f（）及f（）均存在且相等，為可去間斷點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)：可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。yyf（xx），求導(dǎo)法則：（uv）uv(Cu) = Cu(uv)uv+ uv(u/v)=( uv- uv)/v。反函數(shù)的求導(dǎo)法則：原函數(shù)導(dǎo)數(shù)f（x）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：yf（u），u（x）。則dy/dx.或者

6、y（x）f（u）（x）。隱函數(shù)yF（x）求導(dǎo)法則，dy/dxF(x)/ F(y)。參數(shù)方程求導(dǎo)法則。參數(shù)方程為x（t），y（t），dy/dx（dy/dt）/（dx/dt）（t）/（t）。常見n階導(dǎo)數(shù)公式：，Sin（x+n），Cos（x+n），（1）(-n+1) ,=(-1)。高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則：（uv）uv。微分f（x）dy/dx。羅必塔法則：1：對于和：條件當(dāng)xa（或x）時(shí)，f(x)0且F(x)0。條件f(x)及F(x)都存在，且F(x)0。存在（或?yàn)闊o窮大），則。其他尚有0、0、1、的未定式，均可以通過變形化為和的形勢。函數(shù)性態(tài)判定.定理1：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，且在x處取得極值，那么f(

7、x)0。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)，函數(shù)的極值點(diǎn)是駐點(diǎn),反之不成立。定理2：設(shè)函數(shù)f(x)在x處連續(xù)且可導(dǎo)，則f(x)在x左側(cè)時(shí)f(x)0,則函數(shù)在x處取最小值。f(x)在x左側(cè)時(shí)f(x)0，f(x)在x右側(cè)時(shí)f(x)0,則函數(shù)在x處取最大值。若f(x)在x點(diǎn)左右鄰域內(nèi)正負(fù)號不發(fā)生變化，則在x沒有極值。定理3：設(shè)函數(shù)f(x)在x處f(x)0，f(x)0，那么當(dāng)f(x)0，函數(shù)在x處取最小值，圖形呈凹形。拐點(diǎn)：連續(xù)函數(shù)yf(x)凹弧和凸弧的分界點(diǎn)。如果f(x)0或f(x)不存在，而f(x)在x的左右兩側(cè)鄰近異號，則點(diǎn)（x，f (x)）就是曲線的一個(gè)拐點(diǎn)。偏導(dǎo)數(shù)，1：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，

8、設(shè)u（x，y）、v（x、y）均具有偏導(dǎo)數(shù)，而zf（u，v），則復(fù)合函數(shù)zf（x，y），（x、y）的偏導(dǎo)數(shù)存在，且+，+。2：隱函數(shù)求導(dǎo)法則：設(shè)方程F(x、y、z)0確定一個(gè)隱函數(shù)zf（x，y），函數(shù)F(x、y、z)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且F0，則有，。函數(shù)可微分的充分條件是函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.:空間曲線的切線和法平面：空間曲線x（t），y（t），z(t),在對應(yīng)參數(shù)tt的點(diǎn)(x，y，z）處的切線方程，法平面方程+0。:曲面的切平面與法線：曲面1方程F(x、y、z)0在其上一點(diǎn)M（x、y、z）處的切平面方程為F（x,y,z）+ F（x,y,z）+ F（x,y,z）0，法線方程為。：方向?qū)?shù)

9、與梯度：方向?qū)?shù)|f（x,y）Cos+ f（x,y）Cos。Cos、Cos為方向l的方向余弦。函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)P（x,y）的梯度向量gradf（x,y）= f（x,y）i+ f（x,y）j。偏導(dǎo)數(shù)求多元函數(shù)的極值。1：定理1必要條件：設(shè)zf（x，y）在點(diǎn)（x,y）具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在點(diǎn)（x,y）取得極值的必要條件f（x,y）f（x,y）0。2：定理2充分條件：設(shè)zf（x，y）在點(diǎn)（x,y）某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f（x,y）f（x,y）0 ，f（x,y）A, f（x,y）B,f（x,y）C,則有當(dāng)AC-B0時(shí),具有極值,且當(dāng)A0時(shí)f（x,y）為極大值, 當(dāng)A0時(shí)f（x,y）為極小值當(dāng)A

10、C-B0時(shí),不是極值。定積分：f(x)dx=F(x),定積分性質(zhì)：f(x)+g（x）dxkf(x)dxkf(x)dxf(x)dxf(x)dx+f(x)dx dxba若在區(qū)間a，b上f(x)g(x)，則f(x)dxg(x)dx|f(x)dx |f(x)dx，（ab）設(shè)M,m分別是f(x)在區(qū)間a，b上的最大最小值，則m(ba)f(x)dxM(ba)設(shè)在f(x)的閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則存在a，b,使f(x)dxf()(b-a)。f(x)dxF(x)|F(b)F(a) 換元積分法 1：第一類換元法設(shè)函數(shù)f(u)有原函數(shù)，u（x）可導(dǎo)，則有f（x）（x）dxf（u）du。常用湊微分公式f(ax+b)d

11、xf(ax+b)d(ax+b)f(x)xdxf(x)d(x), f()2f()d() f(lnx)dx/xf(lnx)dlnx f(e)d xf(e)d ef(Sinx)Cosxdxf(Sinx)dSinxf(Cosx)Sinxdxf(Cosx)dCosxf(tanx)f(tanx)dtanxf(Cotx)f(Cotx)d(Cotx)f(arcSinx) f(arcSinx)d (arcSinx)f(arcSin)f(arcSin)d(arcSin)。定積分幾何應(yīng)用平面圖形的面積：直角坐標(biāo)情形：設(shè)平面圖形由曲線yf(x)，yg(x)，f(x)g(x)和直線xa，xb所圍成，則其面積A=dx。極

12、坐標(biāo)情形：設(shè)平面圖形由曲線()及射線，所圍成，其面積A=d。體積：旋轉(zhuǎn)體的體積，設(shè)旋轉(zhuǎn)體由曲線yf(x)與直線xa，xb及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成，則V=dx。平行截面面積為已知的立體的體積，設(shè)立體由曲面及平面xa，xb所圍成，過點(diǎn)x且垂直與x軸的截面面積為A(x)，其體積Vdx。平面曲線的弧長：直角坐標(biāo)情形：設(shè)曲線的方程為yf(x)(axb), f(x)在a，b上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則弧長sdx，參數(shù)方程情形：設(shè)曲線的參數(shù)方程為x(t)，y(t)，(t)，(t)、(t)在，上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其弧長sdt。極坐標(biāo)情形，設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程()，()，()在，上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其弧長s

13、d。定積分物理應(yīng)用變力沿直線所作功，設(shè)物體受變力F(x)的作用，沿x軸由點(diǎn)a運(yùn)行倒點(diǎn)b，力F的方向同x軸方向的正向，則力所作功W=dx二重積分計(jì)算(直角坐標(biāo))積分區(qū)域D=(x，y)(x) y(x)，xa，b，則積分區(qū)域D=(x，y)(y) x(y)，yc，d，則=二重積分計(jì)算(極坐標(biāo))： D=(，)() x()，則。重積分的應(yīng)用：曲面的面積：設(shè)曲面的方程為zf(x,y)，在xOy面上的投影區(qū)域D，f(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲面面積A=平面曲線積分的計(jì)算法對弧長的曲線積分的計(jì)算法，設(shè)f(x，y)在曲線弧L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為x=,y=,(t),其中,具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且+0，則，

14、。對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法：設(shè)P（x，y）在有向曲線弧L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為x(t)，y(t)，+0，則。格林公式：設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)P(x，y)及Q(x，y)在D具有一階連續(xù)偏導(dǎo)，則，L為D的取正向的邊界曲線。冪級數(shù)概念：。另t，則阿貝爾定理：若級數(shù)當(dāng)xx時(shí)收斂，則對符合的一切x，級數(shù)發(fā)散。對冪函數(shù)，若或。則它的收斂半徑R:當(dāng)0時(shí)，R=1/.當(dāng)=0時(shí)，R=+。當(dāng)+時(shí)，R0。泰勒級數(shù)概念：若f(x)在點(diǎn)x處具有各階導(dǎo)數(shù)，則冪級數(shù)稱為f(x)在點(diǎn)x處的泰勒級數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，級數(shù)稱為函數(shù)f(x)的麥克勞林級數(shù)。常用函數(shù)展開成冪級數(shù)將展開為x的冪級數(shù)：1x+x+(1)(x)+（

15、1x1）將展開為x的冪級數(shù)：1+x+x+ (x)+（1x1）將ln(1+x)展開為x的冪級數(shù)：x+(1)Sinxx+(1)+ Cosx x+(1)+e1+x+(1+x)1+x+1/=1x+傅里葉級數(shù)，收斂特性1：在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)，或只有有限各第一類間斷點(diǎn)。2：在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限各極值點(diǎn)，則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂，且當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級數(shù)收斂域f(x)；當(dāng)x是f(x)間斷點(diǎn)時(shí)，級數(shù)收斂與f(x) f(x)。微分方程：凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程?？煞蛛x變量的方程：g(x)dyf(x)dx，設(shè)g(y)、f(x)的原函數(shù)依次是G(y)、F(x)，則的通解G(

16、y)F(x)+C。一階線性方程：y+P(x)yQ(x)的通解ye。Q(x)0為線性齊次方程、Q(x)0為線性非齊次方程。二階常系數(shù)線性微分方程y+py+qy0特征方程：r+pr+q0。特征方程有兩個(gè)不等實(shí)根：rr，通解yCe+ Ce。特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根：rr，y(C + xC)e特征方程有一對共軛復(fù)根：ye( CCos+ CSin)隨機(jī)事件與概率：Pn(n1)(n2)(nm+1)、C= P/ P。事件A的概率為0P(A)1，必然事件的概率P()=1，不可能事件的概率P()=0。隨機(jī)事件的運(yùn)算對立事件:A的對立事件。和事件：A和B事件至少一個(gè)發(fā)生(A發(fā)生或B發(fā)生)，A+B或AB。積事件：A發(fā)

17、生并且B發(fā)生，AB或AB。差事件：A發(fā)生并且B不發(fā)生，AB或A-AB或A。隨機(jī)事件的關(guān)系：包含：事件B包含事件A表示“A發(fā)生時(shí)B必定發(fā)生”，BA或AB。相等：BA并且BA，A=B?；ゲ幌嗳荩篈B=。對立：B或=A。完備事件組：和A構(gòu)成。相互獨(dú)立：A和B是否發(fā)生相互不影響。P(AB)=P(A)P(B)。摩根法則：=,=+條件概率：在事件A發(fā)生的前提下事件B發(fā)生的概率。P(BA)P(AB)/ P(A)。當(dāng)A與B相互獨(dú)立時(shí)：P(BA)P(B)、 P(AB)P(A)。概率計(jì)算公式：P()=1P(A)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)= P(B )P(AB)= P(A )P(BA)，

18、當(dāng)AB相互獨(dú)立時(shí)：P(AB)= P(A )P(B)。P(AB )P(A)P(AB)，當(dāng)AB時(shí)，P(A )P(B)，且P(AB)P(A )P(B)。古典概率：P(A)m/n。超幾何概率公式：設(shè)N件產(chǎn)品中有M件次品，其余NM件非次品，隨機(jī)地從N件產(chǎn)品中任取n件，則n件產(chǎn)品中恰有k件次品的概率P(A)。二項(xiàng)概率公式：如果做一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)只可能有兩種不同結(jié)果，稱為伯努利試驗(yàn)。成功和失敗，成功的概率為p，則出現(xiàn)失敗的概率為1p。設(shè)反復(fù)獨(dú)立地做n次伯努利試驗(yàn)，則n次試驗(yàn)中恰出現(xiàn)k次成功的概率p(A)Cp(1p)，放回的摸球的問題可以用這個(gè)公式解決?；厩髮?dǎo)公式1：(C)=0。2：(x)x。3：(Sinx) Cosx。4：(Cosx) Sinx。5：(tanx) Secx。6：(Cotx) cscx。7：(Sec x) Secxtanx。8：(Csc x)Csc