求極限及幾種方法論文

1、求極限的幾種方法崔令坤摘要：極限概念與求極限的運(yùn)算貫穿了高等數(shù)學(xué)課程的始終，掌握求極限的方法與技巧是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)，極限方法能力。定義:設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，即存在1.用極限定義求極限例1：（1） 用放法證明: (2) 設(shè)（1）證明：，要 記 此式可改寫成： 用到了二項(xiàng)展開式 得： 當(dāng)時(shí)至此要，只要 即 故令，則時(shí)，有2） 證明：當(dāng)A為有限數(shù)時(shí)， 因?yàn)?，?使得，當(dāng)nN時(shí) 有從而，上式注意：這里 已為定數(shù)，因而，當(dāng)時(shí)， 于是，令，則時(shí)2.用Cauchy準(zhǔn)則證明極限： 例：設(shè)試證收斂，證明：因?yàn)閷τ校ㄖ灰矗?，故令，則時(shí)，有 ，收斂從而，結(jié)論得證。3.利用單調(diào)有

2、界原理證明極限存在 要點(diǎn)：單調(diào)有界原理單調(diào)遞增，有上界或，有單調(diào)遞減，有下界。 例：證明：數(shù)列 單調(diào)下降有界，從而有極限。證明：利用已知不等式有故嚴(yán)格單調(diào)遞減又因?yàn)榧从邢陆?，單調(diào)遞減，故存在。數(shù)列與子列，函數(shù)與數(shù)列的極限關(guān)系大家都知道數(shù)列與子列有如下的極限關(guān)系（當(dāng)時(shí)）任意子列有（當(dāng)時(shí)）類似的，函數(shù)與數(shù)列有如下的極限關(guān)系：；若，則有當(dāng)時(shí)，作為分條件都可以減弱。例：試證: 證明：只需證明充分性，而必要性顯然成立 按已知條件當(dāng)時(shí)，又，當(dāng)時(shí)，于是令 ，則時(shí)恒有 故5.利用等價(jià)代換和初等變形求極限a 大家在求乘除極限里，其因子可用等價(jià)因子代替，極限不變。最常用的等降價(jià)關(guān)系如：當(dāng)時(shí)，（其中），例：1) 2

3、) 3) 4) 設(shè)有限數(shù)a,b,A均不為零，證明：的充分必要條件是解答：1) 解：由于，故原式=2） 解：原式=3） 解：原式=4）證明：（）左邊的極限存在表明：時(shí)，故從而有：=等價(jià)代換=() 右邊的極限存在表明：當(dāng)時(shí)，由于對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性可知，即：，故有從而有:注：等價(jià)代換原理，來源與我分?jǐn)?shù)約分，只能對乘除式里的因子進(jìn)行代換，在分子（分母）多項(xiàng)式里的單項(xiàng)式不可作等價(jià)代換，否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。b.利初等變形求極限要點(diǎn)：用初等數(shù)學(xué)的方法，將加以變形，然后求極限，主要對進(jìn)行緊縮。例：求 1）. 2) 3) 4) 1）解： 1）式的右邊乘以得：從而 （當(dāng)時(shí)，）2) 解: 2)式乘以，再對分子反復(fù)利用 （

4、當(dāng)時(shí)）從而從而，有：4）解：從而，有：6.利用已知極限1）若，則因?yàn)?）若，則。因?yàn)镋uler常數(shù)的經(jīng)典極限：存在。例1：求的極限解：原式=（其中C為Euler常數(shù)，當(dāng)時(shí)，）例2：試借用Stirling公式：來求極限。解：從而，有（其中C為Euler常數(shù)）7 利用變量替換求極限 為了將未知的極限簡化，或轉(zhuǎn)化為已知的極限來求，可根據(jù)極限的特點(diǎn)，引入新的變量，來替換原來的極限過程，轉(zhuǎn)化為新才極限的過程。例：若 試證明：證明：令 則當(dāng)時(shí)，于是從而有：8 兩邊夾法則 當(dāng)極限不易求出時(shí)，可以考慮將極限適當(dāng)變形。即將極限適當(dāng)放大或縮小，使原極限變?yōu)樾碌臉O限，且二者的極限值相同，則原極限存在，且等于此極限值

5、。 例：求極限的值（1） （2） (1) 解:由于幾何平均數(shù)小于算術(shù)平均數(shù)，故分母中的因子由此可知： 而9 LHospital法則 （1）在使用LHospital法則之前，必須考慮它是否屬于七種不定型之一。不定行：“”，“”，“”，“”，“”，“”，“”。否則就不能用它。例：1）2）3）解：由LHospital法則：由于.（2）LHospital法則并不是萬能的，有時(shí)用LHospital法則求不出極限，并等于極限不存在。例如，就是如此。這是因?yàn)長Hospital法則只是充分條件，而不是必要條件。（3）LHospital法則告訴我們，對于型或型,當(dāng)存在時(shí)也存在嗎?請看下面的例子例：求解：這是型，

6、但我們并不能根據(jù)當(dāng)時(shí)，的極限不存在，就錯(cuò)誤地得出也不存在的結(jié)論-事實(shí)上，顯然有。因此，不存在并不表示本身存在或是不存在，它不僅僅意味著，此時(shí)不能使用LHospital發(fā)展，而應(yīng)改用其他方法來討論（4）型的LHospital法則使用時(shí)，只需檢驗(yàn)分母趨向無窮大即可，分子趨不趨向沒有關(guān)系。請看下面的例子。例：設(shè)在內(nèi)可微，且，當(dāng)時(shí)，且（有限數(shù)，或），則證明：已知，因此保持取，應(yīng)用Cauchy中值定理，然后令知函數(shù)差分比（當(dāng)時(shí)）. （1）剩下的問題在于根據(jù)，（時(shí)），由差分比推出（當(dāng)時(shí)）。事實(shí)上可以改寫成，因此 （2）1）若A=有限數(shù)，有（2）可得 （3）保持，令，則使當(dāng)時(shí)，有 .再將固定，令x繼續(xù)趨向，

7、據(jù)（當(dāng)時(shí)），知，使得時(shí)，有，由于由（3）2）若，則x充分接近時(shí)，。并且對M=1，當(dāng)時(shí)，有，從而：（當(dāng)固定令時(shí)）可見（當(dāng)時(shí)）.由此可見利用1）中結(jié)果，由得出，從而注：1）這里是的情況，的情況以及的情況亦有類似的結(jié)論和證法。由，及的結(jié)論，可知時(shí)結(jié)論也成立。2）本例雖然稱為型的LHosptal法則，實(shí)際上對于，條件只要求分母，并不一定要求分子。這一點(diǎn)與型的LHospital法則不同。10 利用Taglor公式求極限例： 1）2）3）1）解：原式=2）解：注意到令，而；當(dāng)時(shí)，；從而，原式=3）解：原式=11利用積分定義求極限例：1）2）3）解：1）原式=2）去對數(shù)后變成（積分和里選左端點(diǎn)）故原式3）

8、因?yàn)楫?dāng)時(shí)，左端的極限右端極限12： 利用級數(shù)求解極限問題（1） 利用收斂級數(shù)通次趨向于零 例： 解：因?yàn)椋ó?dāng)時(shí)） 故正項(xiàng)級數(shù)收斂，從而通項(xiàng)（當(dāng)時(shí)）（2） 利用收斂級數(shù)余項(xiàng)趨向于零 例：求 解：因?yàn)榧墧?shù)收斂，因此其余項(xiàng) 故原極限為零。（3） 利用級數(shù)的收斂性 由于若收斂，則也收斂，因此極限存在 例：設(shè) 證明收斂 證明： 對利用Lagrange中值定理公式因此有故收斂，從而也收斂。13 利用連續(xù)性求極限例：求 解：由于初等函數(shù)在有定義的地方皆連續(xù)原極限12利用兩個(gè)重要極限求極限（1） （2） 下面我們來證明這兩個(gè)結(jié)論成立的情況：（1）證明; 我們先證。首先，對任意，有，其中表示x的整數(shù)部分。當(dāng)時(shí)，不等式左，右兩側(cè)表現(xiàn)為兩個(gè)數(shù)列極限與利用函數(shù)極限的夾逼性，得到再證，為此令，于是當(dāng)時(shí)，從而有將結(jié)合起來，就得到 yOABC （1）圖（1）設(shè)的弧度為，由于面積，可以得到。從而有顯然上式對于也成立。由于，可知。應(yīng)用極限的夾逼性，得到的例題：對于的應(yīng)用求極限：解：例題：對于的應(yīng)用求極限：解：參 考 文 獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分