向量表現(xiàn)形式論文向量定理及應(yīng)用論文

1、向量表現(xiàn)形式論文向量定理及應(yīng)用論文：三角形“五心”的向量表現(xiàn)形式之有關(guān)定理及應(yīng)用平面向量不僅有豐富的物理背景，還有豐富的幾何背景。平面幾何中的很多問題可以借助向量這一工具來解決，如三角形中的內(nèi)心、外心、重心、垂心和旁心都可以用向量來表示。本文試從向量的角度來研究一下三角形的五心。我們把三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，即三角形內(nèi)切圓的圓心；三角形三條邊上的中垂線的交點(diǎn)叫做三角形的外心，即三角形外接圓的圓心；三角形三條邊上的中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心；三角形三條高線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心；三角形兩個(gè)角的外角角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的旁心，一個(gè)三角形有三個(gè)旁心。

2、我們將三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心、旁心合稱為三角形的“五心”。一、三角形的重心定理1：點(diǎn)o是abc內(nèi)一點(diǎn)，且+=，則o是abc的重心。推論1：若o是abc的重心，則有+=。推論2：已知o是abc所在平面上的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足 =+(+)，(0，+)則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通過abc的重心。小結(jié)：定理的證明體現(xiàn)了向量加法的幾何意義，用到了三角形重心的性質(zhì)；推論涉及了中點(diǎn)的向量公式和共線向量的充要條件，通過向量把數(shù)形巧妙結(jié)合起來。二、三角形的垂心定理2：已知o是abc所在平面上的一點(diǎn)，若oa，則=、=、是的垂心。推論1：已知o是abc所在平面上的一點(diǎn)，、=、=，則o是abc的垂心。推論2：已知o是ab

3、c所在平面上的一點(diǎn)，若 +，則o是abc的垂心。推論3：已知o是abc所在平面上的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足=+，（0,+），則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通過abc的垂心。小結(jié)：三角形的“垂心定理”主要用到了“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心的定義等相關(guān)知識，將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運(yùn)算及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。推論4的證明運(yùn)用了向量數(shù)量積的定義和正弦定理，綜合性較強(qiáng)，需要一定的積累。三、三角形的外心定理3：已知o是abc所在平面上的一點(diǎn)，若= =，則o是abc的外心。由=得，=，有外心定義知o是abc的外心。推論1：已知o是abc所在平面上的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足

4、 =+ ，(0,+)，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通過的外心。推論2：已知o是abc所在平面上的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足=+（tanb+tanc），(0,+)，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通過abc的外心。小結(jié)：定理僅涉及了三角形外心的定義，比較簡單；但從中垂線交點(diǎn)的角度去考察比較復(fù)雜，尤其是和作數(shù)量積運(yùn)算，不太容易想到，體現(xiàn)了合情推理的思想。四、三角形的內(nèi)心引理：已知o是abc所在平面上的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足 =+，(0,+)，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通過abc的內(nèi)心。定理4：設(shè)o是abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且a+b+c=，其中a=，b=，c=則o是abc的內(nèi)心。推論：設(shè)o是abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且sina+sinb+sinc=，則

5、o是abc的內(nèi)心。由上面的定理結(jié)合正弦定理即可推得。小結(jié)：這里主要涉及了與a同向的單位向量，需要從數(shù)形兩方面去理解，若能將菱形的定義和性質(zhì)、三角形內(nèi)心的定義這些知識順利地遷移到一起，即能解決問題。五、三角形的旁心定理5：設(shè)o是abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且a+b-c=，其中a=，b=，c=則o是abc的一個(gè)旁心。推論1：已知o是abc所在平面上的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足 =+，(0,+)，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通過abc的一個(gè)旁心。推論2：設(shè)o是abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且sina+sinb-sinc=，則o是abc的一個(gè)旁心。證法與內(nèi)心類似。說明：以上用向量表示三角形“五心”的定理和推論中，涉及了向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，用到了向量共線和垂直的充要條件，用了與某向量同向的單位向量，從數(shù)和形兩方面體現(xiàn)了向量的重要橋梁作用，從定義和性質(zhì)上詮釋了三角形的“五心”，是向