信號(hào)與系統(tǒng)第五章-離散時(shí)間傅立葉變換

1、1第第5章章 離散時(shí)間傅立葉變換離散時(shí)間傅立葉變換The Discrete-time Fourier Transform1. 離散時(shí)間傅立葉變換；離散時(shí)間傅立葉變換；2. 常用信號(hào)的離散時(shí)間傅立葉變換對(duì)常用信號(hào)的離散時(shí)間傅立葉變換對(duì); ;4. 傅立葉變換的性質(zhì)；傅立葉變換的性質(zhì)；2v注釋注釋: :CFS ( The Continuous-Time Fourier Series ): 連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)DFS ( The Discrete-Time Fourier Series ): 離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)CTFT ( The Continuous-Time Fo

2、urier Transform ): 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換連續(xù)時(shí)間傅立葉變換 DTFT ( The Discrete-Time Fourier Transform ): 離散時(shí)間傅立葉變換離散時(shí)間傅立葉變換3 5.0 引言引言 Introductionv 本章將采用與討論本章將采用與討論CTFTCTFT完全相同的思想方法，來研究離完全相同的思想方法，來研究離散時(shí)間非周期信號(hào)的頻域分解問題。散時(shí)間非周期信號(hào)的頻域分解問題。v DFS DFS與與CFSCFS之間既有許多類似之處，也有一些重大差別：之間既有許多類似之處，也有一些重大差別：主要是主要是DFSDFS是一個(gè)有限項(xiàng)級(jí)數(shù)，其系數(shù)是一個(gè)有限項(xiàng)級(jí)數(shù)

3、，其系數(shù) ak 具有周期性。具有周期性。v 在采用相同方法研究如何從在采用相同方法研究如何從 DFS DFS 引出離散時(shí)間非周期引出離散時(shí)間非周期信號(hào)的頻域描述時(shí)，可以看到，信號(hào)的頻域描述時(shí)，可以看到，DTFTDTFT與與CTFTCTFT既有許多相類既有許多相類似的地方，也同時(shí)存在一些重要的似的地方，也同時(shí)存在一些重要的區(qū)別。區(qū)別。v 抓住它們之間的相似之處并關(guān)注其差別，對(duì)于掌握和加抓住它們之間的相似之處并關(guān)注其差別，對(duì)于掌握和加深對(duì)頻域分析方法的理解具有重要意義。深對(duì)頻域分析方法的理解具有重要意義。45.1 非周期信號(hào)的表示非周期信號(hào)的表示一一. 從從DFS到到DTFT:回顧：周期離散信號(hào)的

4、回顧：周期離散信號(hào)的DFSDFS對(duì)周期信號(hào)對(duì)周期信號(hào) 由由DFS有有 x n22 ,1 jknNkkNjknNknNx na eax n eN -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 4 5 8 9 10 kNak-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n x n-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 nx n2 jknNknNNax n e1121, 0, 2,sin2(1/ 2)/),0, 2,sin(/)NkNNkNNkNNkN5kkk1220NN1240NN1210NNkNa考察脈沖寬度不變，周期考察脈沖寬度不變，周期N增大時(shí)增大時(shí)Nak變化情況變化情況6當(dāng)當(dāng) 時(shí)

5、，有時(shí)，有 ，將導(dǎo)致信號(hào)的頻譜無，將導(dǎo)致信號(hào)的頻譜無限密集，最終成為連續(xù)頻譜。限密集，最終成為連續(xù)頻譜。N 0(2 /)0N 從時(shí)域看，從時(shí)域看，當(dāng)周期信號(hào)的周期當(dāng)周期信號(hào)的周期 時(shí)，時(shí)，周期序列周期序列就變成了一個(gè)非周期的序列。因此，對(duì)一個(gè)非周期信就變成了一個(gè)非周期的序列。因此，對(duì)一個(gè)非周期信號(hào)，頻譜應(yīng)該是一個(gè)連續(xù)的頻譜。號(hào)，頻譜應(yīng)該是一個(gè)連續(xù)的頻譜。 N 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 令令2limjkNNkNaX eN ，（）2 jknNknNNax n ejX e （）說明說明: :顯然顯然對(duì)對(duì)是以是以2為周期的。為周期的。DTFT jjnnX ex n e（）有有: :數(shù)學(xué)推導(dǎo)：數(shù)學(xué)推導(dǎo)：7kNjkeX

6、Na2)(1 當(dāng)當(dāng) 在一個(gè)周期范圍內(nèi)變化時(shí)，在一個(gè)周期范圍內(nèi)變化時(shí)， 在在 范圍范圍變化，所以積分區(qū)間是變化，所以積分區(qū)間是 。k0k22ka將其與將其與 表達(dá)式比較有表達(dá)式比較有00 ,Nxnxnkd ，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)于是于是: :00000012 (),1()2jkjknkNjkjknkNx nX eeNNX ee21 ()2jjnx nX eed8 表明表明: :離散時(shí)間序列可以分解為頻率在離散時(shí)間序列可以分解為頻率在2區(qū)間上區(qū)間上分布的、幅度為分布的、幅度為 的復(fù)指數(shù)分量的的復(fù)指數(shù)分量的線性組合。線性組合。 deXj)(2121 ()2jj nx nX eed() jjnX ex n eDT

7、FTDTFT變換對(duì)：變換對(duì)：9-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 nx n - 0 2 jeX-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 4 5 8 9 10 kNak-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n x nDFSDTFT1001()1jnj njnX ea eae 二二. .常用信號(hào)的離散時(shí)間傅立葉變換常用信號(hào)的離散時(shí)間傅立葉變換21()12 cosjX eaa通常通常 是復(fù)函數(shù)，用它的模和相位表示是復(fù)函數(shù)，用它的模和相位表示: :()jX e1sin()tan1cosjaX ea 1. ,1nx na u na1101a10a 擺動(dòng)指數(shù)衰減擺動(dòng)指數(shù)衰減 x

8、n單調(diào)指數(shù)衰減單調(diào)指數(shù)衰減 x n12 1 nnx na una u n cos211111)(220101aaaaeaeaeeaeaeaeaeXjjjnnjnnnjnnnjnnnjnj| | ,| 1nx naa2.可以得出結(jié)論可以得出結(jié)論: :實(shí)偶序列實(shí)偶序列實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)13111sin(21)2()sin2Njj nnNNX ee1, 0,x n11NnNn3.矩形脈沖矩形脈沖: :當(dāng)當(dāng)12N 時(shí)，可得到時(shí)，可得到: :有同樣的結(jié)論有同樣的結(jié)論: :實(shí)偶信號(hào)實(shí)偶信號(hào)實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)1411sin(21)sin,kakNkNNNA.A.與對(duì)應(yīng)的周期信號(hào)比較與對(duì)應(yīng)的周期信號(hào)比較21()j

9、kkNaX eN顯然有顯然有1()sin(21)sin22jX eNB B. .與對(duì)應(yīng)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)比較與對(duì)應(yīng)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)比較,0, 1)(tx11TtTt111sin2)(TTTjX15() 1jj nnX ex n e n0n1)(jeX10 x nn4.165.3 離散時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì)離散時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì) DTFT也有很多與也有很多與CTFT類似的性質(zhì)，當(dāng)然也有類似的性質(zhì)，當(dāng)然也有某些明顯的差別。某些明顯的差別。一、周期性一、周期性 (periodic)：比較：比較：這是與這是與CTFT不同的。不同的。(2 )()()jjX eX e則則若若 (),jx nX e1212 ()

10、()jjax nbx naX ebXe二二. 線性線性 三三. 時(shí)移與頻移時(shí)移與頻移00() ()jnjx n eX e (),jx nX e若若則：則：00()j njx nnX ee時(shí)移特性時(shí)移特性頻移特性頻移特性四四. 時(shí)域反轉(zhuǎn)時(shí)域反轉(zhuǎn)()jxnX e若若則則 (),jx nX e以下這些性質(zhì)與連續(xù)時(shí)間情況下完全一致：以下這些性質(zhì)與連續(xù)時(shí)間情況下完全一致：18 1(1) ()jjx nx neX e六六. 差分特性差分特性DTFT的差分性質(zhì)對(duì)應(yīng)于的差分性質(zhì)對(duì)應(yīng)于CTFT的微分性質(zhì)的微分性質(zhì)五五. . 共軛對(duì)稱性共軛對(duì)稱性* (), ()jjx nX ex nXe若若則則Re()Re()I

11、m()Im()jjjjX eX eX eX e*()()jjXeX e1.1. x n是實(shí)信號(hào)，則是實(shí)信號(hào)，則()()()()jjjjX eX eX eX e2.2.是實(shí)偶信號(hào)，則是實(shí)偶信號(hào)，則()()()jjjX eX eXe是實(shí)偶函數(shù)是實(shí)偶函數(shù): :)(jeX3.3.是實(shí)奇信號(hào)，則是實(shí)奇信號(hào)，則()()()jjjX eX eX e是虛奇函數(shù)是虛奇函數(shù): :)(jeX x n x n19七七. 時(shí)域內(nèi)插時(shí)域內(nèi)插 ( Interplation ): / , 0kx n kx n，定義定義為為的整數(shù)倍的整數(shù)倍其他其他nkn() jj nj rkkkknrXex n ex rk e ()j rkj

12、krx r eX e ()jkkx nX e202221 ()2jnx nX ed八八. . Parseval定理定理: :2)(jeX稱為稱為的的能量譜密度函數(shù)。能量譜密度函數(shù)。 x n221 knNkNx naN比較比較: :在在DFS中有中有稱為周期信號(hào)的稱為周期信號(hào)的功率譜。功率譜。2ka215.4 卷積特性卷積特性 * ()()()jjjy nx nh nY eX eH e若若則則說明：說明：該特性提供了對(duì)該特性提供了對(duì)LTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析的理論基礎(chǔ)。的理論基礎(chǔ)。即是即是系統(tǒng)的頻率特性系統(tǒng)的頻率特性。()jH e225.5 相乘性質(zhì)相乘性質(zhì)（The Multipli

13、cation Property)由于由于 和和 都是以都是以 為周期的，為周期的，1()jX e因此上述卷積稱為因此上述卷積稱為周期卷積周期卷積。22()jXe12()12212 1()()()21()()2jjjjjy nx nx nY eX eXedX eXe 如果如果則則235.9 小結(jié)小結(jié) Summaryv通過對(duì)通過對(duì)DTFT性質(zhì)的討論，揭示了離散時(shí)間信號(hào)性質(zhì)的討論，揭示了離散時(shí)間信號(hào)時(shí)域與頻域特性的關(guān)系。不僅看到有許多性質(zhì)在時(shí)域與頻域特性的關(guān)系。不僅看到有許多性質(zhì)在CTFT中都有相對(duì)應(yīng)的結(jié)論，而且它們也中都有相對(duì)應(yīng)的結(jié)論，而且它們也存在存在一一些重要的差別，例如些重要的差別，例如DTFT總是以總是以2為周期的。為周期的。v本章與第本章與第4章平行地討論了章平行地討論了DTFT，討論的基本，討論的基本思路和方法與第思路和方法與第4章完全對(duì)應(yīng)，得到的許多結(jié)論