高中物理競賽輔導(dǎo)教程 運(yùn)動學(xué)

1、運(yùn)動學(xué)§2.1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)的基本概念圖2-1-1211、參照物和參照系要準(zhǔn)確確定質(zhì)點(diǎn)的位置及其變化，必須事先選取另一個假定不動的物體作參照，這個被選的物體叫做參照物。為了定量地描述物體的運(yùn)動需要在參照物上建立坐標(biāo)，構(gòu)成坐標(biāo)系。通常選用直角坐標(biāo)系Oxyz，有時也采用極坐標(biāo)系。平面直角坐標(biāo)系一般有三種，一種是兩軸沿水平豎直方向，另一是兩軸沿平行與垂直斜面方向，第三是兩軸沿曲線的切線和法線方向（我們常把這種坐標(biāo)稱為自然坐標(biāo)）。212、位矢 位移和路程在直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的位置可用三個坐標(biāo)x，y，z表示，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時，它的坐標(biāo)是時間的函數(shù)x=X（t） y=Y（t） z=Z（t）這就是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動

2、方程。質(zhì)點(diǎn)的位置也可用從坐標(biāo)原點(diǎn)O指向質(zhì)點(diǎn)P（x、y、z）的有向線段來表示。如圖2-1-1所示, 也是描述質(zhì)點(diǎn)在空間中位置的物理量。的長度為質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離，的方向由余弦、決定,它們之間滿足當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時,其位矢的大小和方向也隨時間而變,可表示為=(t)。在直角坐標(biāo)系中,設(shè)14用心 愛心 專心高中物理競賽力學(xué)教程 第二講 運(yùn)動學(xué)分別為、沿方向、和單位矢量，則可表示為 O2圖2-1-2位矢與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇有關(guān)。研究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，不僅要知道它的位置，還必須知道它的位置的變化情況，如果質(zhì)點(diǎn)從空間一點(diǎn)運(yùn)動到另一點(diǎn)，相應(yīng)的位矢由1變到2，其改變量為稱為質(zhì)點(diǎn)的位移，如圖2-1-2所示，位移是矢量，它是從初

3、始位置指向終止位置的一個有向線段。它描寫在一定時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)位置變動的大小和方向。它與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇無關(guān)。213、速度平均速度 質(zhì)點(diǎn)在一段時間內(nèi)通過的位移和所用的時間之比叫做這段時間內(nèi)的平均速度平均速度是矢量，其方向?yàn)榕c的方向相同。平均速度的大小，與所取的時間間隔有關(guān)，因此須指明是哪一段時間（或哪一段位移）的平均速度。瞬時速度 當(dāng)為無限小量，即趨于零時，成為t時刻的瞬時速度，簡稱速度 瞬時速度是矢量，其方向在軌跡的切線方向。瞬時速度的大小稱為速率。速率是標(biāo)量。214、加速度平均加速度 質(zhì)點(diǎn)在時間內(nèi)，速度變化量為，則與的比值為這段時間內(nèi)的平均加速度平均加速度是矢量，其方向?yàn)榈姆较?。瞬時加速度 當(dāng)為無

4、限小量，即趨于零時，與的比值稱為此時刻的瞬時加速度，簡稱加速度加速度是矢量，其方向就是當(dāng)趨于零時，速度增量的極限方向。215、勻變速直線運(yùn)動加速度不隨時間t變化的直線運(yùn)動稱為勻變速直線運(yùn)動。若與同方向，則為勻加速直線運(yùn)動；若與反方向，則為勻減速直線運(yùn)動。勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律為： Ost12t1t2圖2-1-3Ovt圖2-1-4勻變速直線運(yùn)動的規(guī)律也可以用圖像描述。其位移時間圖像（st圖）和速度時間圖像（vt圖）分別如圖2-1-3和圖2-1-4所示。從(st)圖像可得出：(1)任意一段時間內(nèi)的位移。(2)平均速度，在（）的時間內(nèi)的平均速度的大小，是通過圖線上點(diǎn)1、點(diǎn)2的割線的斜率。(3)瞬時速度

5、，圖線上某點(diǎn)的切線的斜率值，等于該時刻的速度值。從st圖像可得出：從(vt)圖像可得出：(1)任意時刻的速度。(2)任意一段時間內(nèi)的位移，時間內(nèi)的位移等于vt圖線，時刻與橫軸所圍的“面積”。這一結(jié)論對非勻變速直線運(yùn)動同樣成立。(3)加速度，vt圖線的斜率等于加速度的值。若為非勻變速直線運(yùn)動，則vt圖線任一點(diǎn)切線的斜率即為該時刻的瞬時加速度的大小。§2.2 運(yùn)動的合成與分解相對運(yùn)動221、運(yùn)動的合成與分解(1)矢量的合成與分解矢量的合成與分解的基本方法是平行四邊形法則，即兩分量構(gòu)成平行四邊形的兩鄰邊，合矢量為該平行四邊形與兩分量共點(diǎn)的對角線。由平行四邊形法則又衍生出三角形法則，多個矢量

6、的合成又可推導(dǎo)出多邊形法則。同一直線上的矢量的合成與分解可以簡化為代數(shù)運(yùn)算，由此，不在同一直線上的矢量的合成與分解一般通過正交分解法進(jìn)行運(yùn)算，即把各個矢量向互相垂直的坐標(biāo)軸投影，先在各軸上進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算之后，再進(jìn)行矢量運(yùn)算。(2)運(yùn)動的合成和分解運(yùn)動的合成與分解是矢量的合成與分解的一種。運(yùn)動的合成與分解一般包括位移、速度、加速度等的合成與分解。運(yùn)動的合成與分解的特點(diǎn)主要有：運(yùn)動的合成與分解總是與力的作用相對應(yīng)的；各個分運(yùn)動有互不相干的性質(zhì)，即各個方向上的運(yùn)動與其他方向的運(yùn)動存在與否無關(guān)，這與力的獨(dú)立作用原理是對應(yīng)的；位移等物理量是在一段時間內(nèi)才可完成的，故他們的合成與分解要講究等時性，即各個運(yùn)動

7、要取相同時間內(nèi)的位移；瞬時速度等物理量是指某一時刻的，故它們的合成分解要講究瞬時性，即必須取同一時刻的速度。兩直線運(yùn)動的合成不一定就是直線運(yùn)動，這一點(diǎn)同學(xué)們可以證明。如：兩勻速直線運(yùn)動的合成仍為勻速直線運(yùn)動；兩初速為零（同一時刻）的勻加速直線運(yùn)動的合成仍為初速為零的勻加速直線運(yùn)動；在同一直線上的一個勻速運(yùn)動和一個初速為零的勻變速運(yùn)動的合運(yùn)動是一個初速不為零的勻變速直線運(yùn)動，如：豎上拋與豎下拋運(yùn)動；不在同一直線上的一個勻速運(yùn)動與一個初速為零的勻加速直線運(yùn)動的合成是一個曲線運(yùn)動，如：斜拋運(yùn)動。222、相對運(yùn)動任何物體的運(yùn)動都是相對于一定的參照系而言的，相對于不同的參照系，同一物體的運(yùn)動往往具有不同

8、的特征、不同的運(yùn)動學(xué)量。通常將相對觀察者靜止的參照系稱為靜止參照系；將相對觀察者運(yùn)動的參照系稱為運(yùn)動參照系。物體相對靜止參照系的運(yùn)動稱為絕對運(yùn)動，相應(yīng)的速度和加速度分別稱為絕對速度和絕對加速度；物體相對運(yùn)動參照系的運(yùn)動稱為相對運(yùn)動，相應(yīng)的速度和加速度分別稱為相對速度和相對加速度；而運(yùn)動參照系相對靜止參照系的運(yùn)動稱為牽連運(yùn)動，相應(yīng)的速度和加速度分別稱為牽連速度和牽連加速度。絕對運(yùn)動、相對運(yùn)動、牽連運(yùn)動的速度關(guān)系是：絕對速度等于相對速度和牽連速度的矢量和。這一結(jié)論對運(yùn)動參照系是相對于靜止參照系作平動還是轉(zhuǎn)動都成立。當(dāng)運(yùn)動參照系相對靜止參照系作平動時，加速度也存在同樣的關(guān)系：當(dāng)運(yùn)動參照系相對靜止參照

9、系作轉(zhuǎn)動時，這一關(guān)系不成立。如果有一輛平板火車正在行駛，速度為（腳標(biāo)“火地”表示火車相對地面，下同）。有一個大膽的駕駛員駕駛著一輛小汽車在火車上行駛，相對火車的速度為，那么很明顯，汽車相對地面的速度為：（注意：和不一定在一條直線上）如果汽車中有一只小狗，以相對汽車為的速度在奔跑，那么小狗相對地面的速度就是從以上二式中可看到，上列相對運(yùn)動的式子要遵守以下幾條原則：合速度的前腳標(biāo)與第一個分速度的前腳標(biāo)相同。合速度的后腳標(biāo)和最后一個分速度的后腳標(biāo)相同。前面一個分速度的后腳標(biāo)和相鄰的后面一個分速度的前腳標(biāo)相同。所有分速度都用矢量合成法相加。速度的前后腳標(biāo)對調(diào)，改變符號。以上求相對速度的式子也同樣適用于

10、求相對位移和相對加速度。相對運(yùn)動有著非常廣泛的應(yīng)用，許多問題通過它的運(yùn)用可大為簡化，以下舉兩個例子。60º30ºvB=20m/svA=10m/s圖2-2-1例 如圖2-2-1所示，在同一鉛垂面上向圖示的兩個方向以的初速度拋出A、B兩個質(zhì)點(diǎn)，問1s后A、B相距多遠(yuǎn)？這道題可以取一個初速度為零，當(dāng)A、B拋出時開始以加速度g向下運(yùn)動的參考系。在這個參考系中，A、B二個質(zhì)點(diǎn)都做勻速直線運(yùn)動，而且方向互相垂直，它們之間的距離m在空間某一點(diǎn)O，向三維空間的各個方向以相同的速度射出很多個小球，球ts之后這些小球中離得最遠(yuǎn)的二個小球之間的距離是多少（假設(shè)ts之內(nèi)所有小球都未與其它物體碰撞）

11、？這道題初看是一個比較復(fù)雜的問題，要考慮向各個方向射出的小球的情況。但如果我們?nèi)∫粋€在小球射出的同時開始自O(shè)點(diǎn)自由下落的參考系，所有小球就都始終在以O(shè)點(diǎn)為球心的球面上，球的半徑是，那么離得最遠(yuǎn)的兩個小球之間的距離自然就是球的直徑2。§2.3拋體運(yùn)動231、曲線運(yùn)動的基本知識PQO1R1O2a1a2b1b2圖2-3-1 軌跡為曲線的運(yùn)動叫曲線運(yùn)動。它一定是一個變速運(yùn)動。圖2-3-1表示一質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動，它經(jīng)過P點(diǎn)時，在P點(diǎn)兩旁的軌跡上取兩點(diǎn)，過三點(diǎn)可作一圓，當(dāng)這兩點(diǎn)無限趨近于P點(diǎn)時，則圓亦趨近于一個定圓，我們把這個圓叫P點(diǎn)的曲率圓，曲率圓的半徑叫P點(diǎn)的曲率半徑，曲率圓的圓心叫

12、P點(diǎn)的曲率中心，曲率半徑的倒數(shù)叫P點(diǎn)的曲率。如圖2-3-1，亦可做出Q點(diǎn)的曲率圓。曲率半徑大，曲率小，表示曲線彎曲較緩，曲率半徑小，曲率大，表示曲線彎曲厲害。直線可認(rèn)為是曲率半徑為無窮大的曲線。AVAVBV1VBV2CVB圖2-3-2質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動的瞬時速度的方向總是沿該點(diǎn)的切線方向。如圖2-3-2所示，質(zhì)點(diǎn)在t時間內(nèi)沿曲線由A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)，速度由V變化到VB，則其速度增量為兩者之矢量差，=VBV，這個速度增量又可分解成兩個分量：在VB上取一段AC等于V，則V分解成V和V，其中V表示質(zhì)點(diǎn)由A運(yùn)動到B的速度方向上的增量，V表示速度大小上的增量。法向加速度a表示質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動時速度方向改變的快慢，

13、其大小為在A點(diǎn)的曲率圓的向心加速度：其方向指向A點(diǎn)的曲率中心。切向加速度表示質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動時速度大小改變的快慢，方向亦沿切線方向，其大小為總加速度a方法向加速度和切向加速度的矢量和。232、拋物運(yùn)動是曲線運(yùn)動的一個重要特例物體以一定的初速度拋出后，若忽略空氣阻力，且物體的運(yùn)動在地球表面附近，它的運(yùn)動高度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于地球半徑，則在運(yùn)動過程中，其加速度恒為豎直向下的重力加速度。因此，拋體運(yùn)動是一種加速度恒定的曲線運(yùn)動。根據(jù)運(yùn)動的疊加原理，拋體運(yùn)動可看成是由兩個直線運(yùn)動疊加而成。常用的處理方法是:將拋體運(yùn)動分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動和豎直方向的勻變速直線運(yùn)動。如圖2-3-3。取拋物軌跡所在平面為平面，

14、拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸。則拋體運(yùn)動的規(guī)律為：其軌跡方程為這是開口向下的拋物線方程。在拋出點(diǎn)和落地點(diǎn)在同一水平面上的情況下，飛行時間T，射程R和射高H分別為 拋體運(yùn)動具有對稱性，上升時間和下降時間（拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)在同一水平面上）相等（一般地，從某一高度上升到最高點(diǎn)和從最高點(diǎn)下降到同一高度的時間相等）；上升和下降時經(jīng)過同一高度時速度大小相等，速度方向與水平方向的夾角大小相等。下面介紹一種特殊的拋體運(yùn)動平拋運(yùn)動：質(zhì)點(diǎn)只在重力作用下，且具有水平方向的初速度的運(yùn)動叫平拋運(yùn)動。它可以看成水平方向上的勻速運(yùn)動（速度為v0）與豎直方向上的自由落體運(yùn)動的合成。xyOV0gVVxVy圖2

15、-3-4速度：采用水平豎直方向的直角坐標(biāo)可得： ，其合速度的大小為，其合速度的方向?yàn)椋ㄔO(shè)水平方向夾角為），可見，當(dāng)時，即表示速度趨近于自由落體的速度。位移：仍按上述坐標(biāo)就有，。仿上面討論也可得到同樣結(jié)論，當(dāng)時間很長時，平拋運(yùn)動趨近于自由落體運(yùn)動。加速度：采用水平和豎直方向直角坐標(biāo)系有,，用自然坐標(biāo)進(jìn)行分解，如圖2-3-4其法向加速度為，切向加速度為，為速度與水平向方的夾角，將速度在水平與豎直方向的坐標(biāo)系中分解可知：由此可知，其法向加速度和切向加速度分別為：由上兩式可以看出，隨著時間的推移，法向加速度逐漸變小趨近于零，切向加速度趨近于定值g，這表示越來越接近豎直下拋運(yùn)動。在生活中也很容易看到，平

16、拋物體的遠(yuǎn)處時就接近豎直下落了。運(yùn)動的軌跡方程：ABCsh圖2-3-5從方程可以看出，此圖線是拋物線，過原點(diǎn)，且越大，圖線張開程度大，即射程大。根據(jù)運(yùn)動的獨(dú)立性，經(jīng)常把斜拋運(yùn)動分解成水平方向勻速直線運(yùn)動和豎直方向上的豎直上拋運(yùn)動來處理，但有時也可以用其它的分解分法。拋體運(yùn)動另一種常用的分解方法是：分解沿方向的速度為的勻速直線運(yùn)動和沿豎直方向的自由落體運(yùn)動二個分運(yùn)動。如圖2-3-5所示，從A點(diǎn)以的初速度拋出一個小球，在離A點(diǎn)水平距離為s處有一堵高度為h的墻BC，要求小球能越過B點(diǎn)。問小球以怎樣的角度拋出，才能使最?。繉⑿睊佭\(yùn)動看成是方向的勻速直線運(yùn)動和另一個自由落體運(yùn)動的合運(yùn)動，如圖2-3-6所

17、示。ABChD圖2-3-6在位移三角形ADB在用正弦定理 軌跡：由直角坐標(biāo)的位移公式消去時間參數(shù)t便可得到直角坐標(biāo)系中的平拋運(yùn)由式中第一個等式可得 將式代入式中第二個等式當(dāng)有極大值1時，即時，有極小值。因?yàn)?，所以?dāng)小球越過墻頂時，y方向的位移為零，由式可得式代入式：我們還可用另一種處理方法以AB方向作為x軸（圖2-3-7）這樣一取，小球在x、y方向上做的都是勻變速運(yùn)動了，和g都要正交分解到x、y方向上去。小球運(yùn)動的方程為ABCxyg圖2-3-7當(dāng)最大，即時，有極小值 §2.4質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動xyOPR圖2-4-1剛體平面平行運(yùn)動與定軸轉(zhuǎn)動241、質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(1)勻速圓周運(yùn)

18、動如圖2-4-1所示，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為R的圓周上運(yùn)動時，它的位置可用角度表示（習(xí)慣上以逆時針轉(zhuǎn)角正，順時針轉(zhuǎn)角為負(fù)），轉(zhuǎn)動的快慢用角速度表示：質(zhì)點(diǎn)P的速度方向在圓的切線方向，大小為（或v）為常量的圓周運(yùn)動稱為勻速圓周運(yùn)動。這里的“勻速”是指勻角速度或勻速率，速度的方向時刻在變。因此，勻速圓周運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)具有加速度，其加速度沿半徑指向圓心，稱為向心加速度（法向加速度）。向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。(2)變速圓周運(yùn)動 （或v）隨時間變化的圓周運(yùn)動，稱為變速圓周運(yùn)動，描述角速度變化快慢的物理量為角加速度質(zhì)點(diǎn)作變速圓周運(yùn)動時，速度的大小和方向都在變化。將速度增量分解為與平行的分量和垂直的

19、分量，如圖2-4-2。相當(dāng)于勻速圓周運(yùn)動個的,的大小為PR圖2-4-2=V1V2V1圖242PR質(zhì)點(diǎn)P的加速度為其中就是切向加速度和法向加速度。為常量的圓周運(yùn)動，稱為勻變速圓周運(yùn)動，類似于變速直線運(yùn)動的規(guī)律，有OAR圖2-4-3(3)圓周運(yùn)動也可以分解為二個互相垂直方向上的分運(yùn)動。參看圖2-4-3一個質(zhì)點(diǎn)A在t=0時刻從x正方向開始沿圓周逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動，在x方向上在y方向上： ABSAS（a）        （b） 圖2-4-4從x和y方向上的位移、速度和加速度時間t表達(dá)的參數(shù)方程可以看出：勻速圓周運(yùn)動可以分為兩個

20、互相垂直方向上的簡諧運(yùn)動，它們的相位相差242、剛體的平面平行運(yùn)動剛體平面平行運(yùn)動的特征是，剛體上的任意質(zhì)點(diǎn)都作平行于一個固定平面的運(yùn)動。如圓柱沿斜面的滾動，即為平面平行運(yùn)動?？扇傮w上任意平行于固定平面的截面作為研究對象。剛體的平面平行運(yùn)動，常有兩種研究方法：一種是看成隨基點(diǎn)（截面上任意一點(diǎn)都可作為基點(diǎn)）的平動和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動的合運(yùn)動；另一種是選取截面上的瞬時轉(zhuǎn)動中心S（簡稱瞬心）為基點(diǎn)。瞬心即指某瞬間截面上速度為零的點(diǎn)。這樣，剛體的平面平行運(yùn)動看成僅作繞瞬心的轉(zhuǎn)動。確定瞬心的方法有兩種：如圖2-4-4(a)所示，若已知截面上兩點(diǎn)的速度，則與兩速度方向垂直的直線的交點(diǎn)即為瞬心。或如圖2-4-4

21、(b)所示，已知截面轉(zhuǎn)動的角速度及截面上某一點(diǎn)A的速度，則在與速度垂直的直線上，與A點(diǎn)距離為的點(diǎn)即為瞬心。注意，瞬心的速度為零，加速度不一定為零。243、剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體運(yùn)動時，剛體上或其延展部分有一根不動直線，該直線稱為定軸，剛體繞這一軸轉(zhuǎn)動。剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，其上各點(diǎn)都在與軸垂直的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動，各點(diǎn)作圓周運(yùn)動的半徑不同，在某一時刻，剛體上所有各點(diǎn)的角位移、角速度和角加速度都是相同的。而各點(diǎn)的線位移、線速度和線加速度則隨各點(diǎn)離開轉(zhuǎn)軸的垂直距離不同而不同。244、一些求曲率半徑的特殊方法先看橢圓曲線，要求其兩頂點(diǎn)處的曲率半徑。介紹以下兩種方法：(1)將橢圓看成是半徑R=A（設(shè)AB）的圓在

22、平面上的投影，圓平面和平面的夾角滿足關(guān)系式（如圖2-4-5）xypQ如圖2-4-5設(shè)一個質(zhì)點(diǎn)以速率v在圓上做勻速圓周運(yùn)動，則向心加速度，從上圖中可以看出，當(dāng)頂點(diǎn)的投影在橢圓的長軸（x軸）上的P點(diǎn)時，其速率和加速度分別為： ， 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的投影在橢圓的短軸（y軸）上的Q點(diǎn)時，其速率和加速度分別為：QPABxy圖2-4-6 。因此橢圓曲線在P、Q的曲率半徑分別為： (2)將橢圓看成是二個簡諧運(yùn)動的合成，可以把橢圓的參數(shù)方程（設(shè)AB）（如圖2-4-6） 可改寫為 即可進(jìn)一步寫出x，y二個方程的速度v和加速度a：那么在長軸端點(diǎn)P處（）的曲率半徑：在短軸端點(diǎn)Q處（）的曲率半徑再把拋物線y=Ax，要求其任意一

23、點(diǎn)的曲率半徑（如圖2-4-7）因?yàn)閽佄锞€可以寫作參數(shù)方程其中，這樣就可以導(dǎo)出 對任意一個t值： v=xy圖2-4-7a=acos=a所以這一點(diǎn)的曲率半徑將t=代入，可得 因?yàn)?，所以拋物線y=Ax上任意一點(diǎn)的曲率半徑§25幾種速度的特殊求法251、相關(guān)的速度AB圖2-5-1當(dāng)繩端在做既不沿繩方向，又不垂直于繩方向的運(yùn)動時，一般要將繩端的運(yùn)動分解為沿繩方向和垂直于繩方向二個分運(yùn)動。如圖2-5-1所示的情況，繩AB拉著物體m在水平面上運(yùn)動，A端以速度v做勻速運(yùn)動，問m做什么運(yùn)動？有的同學(xué)會將繩的速度v分解成豎直分速度vsina和水平分速度vcosa，以為木塊的速度(u<v)這是錯誤的。因?yàn)閷?shí)際上木塊并沒有一個向上的分速度。應(yīng)該將繩端B實(shí)際上的水平速度分解成沿繩方向的分速v=和垂直于繩的分速v=，v使繩子縮短，所以v=v，v使繩子圍繞滑輪轉(zhuǎn)動。因此，而且隨著a