微分中值定理的推廣及其應用

1、目 錄摘 要14ABSTRACT151前言162預備知識163 Rolle定理條件的探討與分析174Rolle定理和Lagrange中值定理的推廣195新的中值定理226具體運用236.1微分中值定理推廣定理的運用236.2新中值定理的運用237結論25致 謝26參考文獻27微分中值定理的推廣及其應用摘 要本文對微分中值定理中的Rolle定理條件進行了詳細的分析與討論，然后給出Rolle定理和Lagrange中值定理的推廣定理，再結合高等代數(shù)中的矩陣知識，推導出新的中值定理，進而擴大微分中值定理的應用范圍最后，給出具體實例，進行定理的應用關鍵詞：微分，中值定理，推廣，應用Differentia

2、l in the value of the law of the promotionand applicationABSTRACTOf differential in the value of the theorem rolle theorem conditions detailed analysis and discussion and rolle lagrange theorem and the value of the law of the theorems, combining the promotion of matrix knowledge, resulting in the va

3、lue of the new law, and then expand the differential in the law of value of the scope of application. finally, the specific instance, the application of a theorem.KEY WORDS：differential，mean value theorem ，expand，demonstrate，application1引言Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理統(tǒng)稱為微分中值定理1微分中值定理是數(shù)學分析中最為重要的內容之

4、一，它是利用導數(shù)來研究函數(shù)在區(qū)間上整體性質的基礎，是聯(lián)系閉區(qū)間上實函數(shù)與其導函數(shù)的橋梁與紐帶，具有重要的理論價值與使用價值因此討論微分中值定理的推廣具有重要的價值，如25678.一般來說，Lagrange中值定理、Cauchy中值定理的證明都是通過Rolle定理來實現(xiàn)的，故有必要對Rolle定理進行深入的探討與研究，如4.而Lagrange中值定理的特殊情況f(a)=f(b)就是Rolle定理，故Lagrange中值定理本身就是Rolle定理的一種推廣要想對Rolle定理進行推廣，就必須對Rolle定理的條件進行詳細的分析和探討同時，在實際運用微分中值定理時，我們常會遇到這樣的情況，即定理的條

5、件不全滿足，但仍然有這樣的結論為此，我們有必要將Rolle定理進行推廣 本文詳細分析了Rolle定理的條件，進而將Rolle定理向無窮區(qū)間進行了推廣，然后又在此基礎上對Lagrange中值定理進行了推廣，再結合高等代數(shù)行列式的知識，推導出新的中值定理最后，給出了定理的具體應用2預備知識首先回顧一下微分中值定理Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理統(tǒng)稱為微分中值定理Rolle定理1：設函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）上可導，且,則至少存在一點§（a,b），使得Lagrange中值定理1：設函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）上可導，且,則至少

6、存在一點，使得Cauchy中值定理1：設和都在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）上可導，且對任意，則至少存在一點，使得 引理1（Fermat引理）1 是的一個極值點，且在處導數(shù)存在，則引理22 設函數(shù)在閉區(qū)間（a,b）內連續(xù)，且，則在（a,b）內能取得最小值（最大值）證明 令，由條件知，故存在使得對任意有現(xiàn)取， 因在上連續(xù)，故在上能取得最小值與最大值，因為由可知在上的最小值與最大值，就是在（a,b）內的最小值（最大值），引理得證定義13 函數(shù)與是定義在區(qū)間D上的函數(shù)，則行列式定義23 函數(shù)與是定義在區(qū)間D上的函數(shù)，則行列式3 Rolle定理條件的探討與分析Rolle定理有3個條件：在閉區(qū)間

7、a，b上連續(xù)；在開區(qū)間(a，b)內可導；缺少其中之一，洛爾定理就可能不成立例如：函數(shù). 在0,1上不連續(xù)，如圖3-1；. 在-1,1內不可導，如圖3-2；. ，如圖3-3 函數(shù)在處不連續(xù)，所以函數(shù)在0,1上不連續(xù)，不滿足Rolle定理條件，故函數(shù)在0,1上不能運用 Rolle定理函數(shù)在處不可到，所以函數(shù)在(-1,1)內不可導，不滿足Rolle定理條件，故函數(shù)在-1,1上不能運用Rolle定理函數(shù)在0,1上兩端點的函數(shù)值不相等，即，不滿足Rolle定理條件，故函數(shù)在0,1上不能運用 Rolle定理盡管如此，也不能說這3個條件是洛爾定理的必要條件例如：函數(shù) 此函數(shù)在處不連續(xù)，在處不可導，且，所以函

8、數(shù)在-2,2上不連續(xù)，在(-2,2)內也不可導，且兩端點的函數(shù)值也不相等，這就是說此函數(shù)不滿足Rolle定理的3個條件但是，在開區(qū)間(一2，2)內仍存在一點 滿足這說明，洛爾定理的3個條件都是充分條件Rolle定理中“函數(shù)在開區(qū)間(a，b)可導”，不宜改為“在閉區(qū)間a，b可導”雖然“函數(shù)在閉區(qū)間a，b上可導”，這一條件包含了“函數(shù)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)”和“函數(shù)在開區(qū)間(a，b)內可導”這兩個條件，而且看起來這樣替換比以前更簡便些，但是，“函數(shù)在閉區(qū)間a，b上可導”這一條件不僅包含了“函數(shù)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)”和“函數(shù)在開區(qū)間(a，b)內可導”這兩個條件，而且比這兩個條件（函數(shù)在閉區(qū)間a，b上連

9、續(xù)和函數(shù)在開區(qū)間(a，b)內可導）對的要求更為嚴格，即要求函數(shù)f(x)在點a存在右導數(shù)和在點b存在左導數(shù)，這樣就會使?jié)M足Rolle定理條件的函數(shù)要比原來少很多例如：函數(shù)在閉區(qū)間一1，1上連續(xù)，在開區(qū)間(一1，1)內可導，且，滿足洛爾定理的條件因此，在開區(qū)間(一1，1)內至少存在一點，使得 顯然但是，在閉區(qū)間一1，1并不可導因為導數(shù)分別在與的左、右導數(shù)都不存在由此可見，如果將Rolle定理的條件替換成函數(shù)在閉區(qū)間a，b上可導，且,那么對函數(shù)在閉區(qū)間一1，l上就不能應用Rolle定理這樣就縮小了Rolle定理的適用范圍因而，Rolle定理的條件不宜替換且Rolle定理中前兩個條件（函數(shù)在閉區(qū)間a，

10、b上連續(xù)和函數(shù)在開區(qū)間(a，b)內可導）是彼此有關的函數(shù)在開區(qū)間(a，b)內可導，則函數(shù)在開區(qū)間(a，b)內連續(xù)，它被包含在“函數(shù)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)”之中但是，函數(shù)在開區(qū)間(a，b)內可導，不能代替函數(shù)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，而函數(shù)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)更不能代替函數(shù)在開區(qū)間(a，b)內可導為了使這兩個條件互相獨立，可改為“函數(shù)在開區(qū)間(a，b)內可導和函數(shù)在a右連續(xù)在b左連續(xù)”這樣敘述，雖然這兩個條件是互相獨立的，但是行文很累贅為了敘述上的對稱性和便于記憶，不追求條件之間的獨立性，數(shù)學分析中關于Rolle定理以及微分中值定理的條件仍敘述為“函數(shù)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)和函數(shù)在開區(qū)間(a，b)內可導

11、”然而，在實際運用微分中值定理時，我們常會遇到這樣的情況，即定理的條件不全滿足，但仍然有這樣的結論比如；所給區(qū)間為或或為此，我們有必要將Rolle定理進行推廣4 Rolle定理和Lagrange中值定理的推廣定理1：設函數(shù)在（a,b）內可導，且有，則存在點，使得證明：首先對A為有限值進行論證：令則易知函數(shù)在a,b上連續(xù)，在（a,b）內可導且由Rolle定理可知，在(a,b)內至少存在一點，使得，而在(a,b)內有，所以其次對A=（）進行論證：由引理1，在（a,b）內能取得最小值（最大值）不妨設：函數(shù)在處取得最小值（最大值）此時函數(shù)在處也就取得極小值（極大值）又因為在處可導，由Fermat引理，

12、可得綜上所述，從而定理得證定理2：設函數(shù)在(a,),內可導，且，證明：在（a,)中存在一點，使得證明：令，且，于是，復合函數(shù)在有窮區(qū)間上滿足一下條件：（）：在內可導；（）：于是，令 其中由定理1知，存在一點，使得，其中顯然，由于，故有定理3：設函數(shù)在（，b),內可導，且，證明：在（,b)中存在一點，使得證明：令，且，于是，復合函數(shù)在有窮區(qū)間上滿足一下條件：（）：在內可導；（）：于是，令 其中由定理1知，存在一點，使得，其中顯然，由于，故有定理4：設函數(shù)在（，),內可導，且，證明：在（,)中存在一點，使得證明：令，于是復合函數(shù)在有窮區(qū)間內滿足一下條件：（）：在內可導；（）：，于是，令 其中由定理

13、1可知，至少存在一點，使得，其中，由于，故有定理5：如果函數(shù)滿足條件：在開區(qū)間（a,b）上可導且存在，則在（a,b）內至少存在一點，使得證明：令，則易知，則根據(jù)定理1可得，至少存在一點，使得，則在（a,b）內至少存在一點，使得故命題得證5新的中值定理定理6: 設函數(shù)和在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在（a,b）上可導，則在（a,b）內存在一點，使得證明：令，則，又有，易知在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在（a,b）上可導，故運用Lagrange中值定理可得，存在一點，使得，即，所以在（a,b）內存在一點，使得，故定理得證定理7: 設函數(shù)和在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在（a,b）上可導，且在閉區(qū)間a,b上，有意義，則在（

14、a,b）內存在一點，使得證明：令，易知和在區(qū)間a,b上滿足Cauchy中值定理條件，故有，,即，所以在（a,b）內存在一點，使得，故定理得證6具體運用6.1微分中值定理推廣定理的運用例1，設函數(shù)在內可導，且具有二階連續(xù)導數(shù)，且，求證：存在，使得證： 由定理2可得，存在，使得又因為在具有二階連續(xù)導數(shù)，則在內具有一階連續(xù)導數(shù)，故有例2,設函數(shù)滿足條件：在開區(qū)間（a,b）上可導且存在，且，對任意，有，證明證：由題設對任意，函數(shù)在上滿足定理5的條件，則，由于對任意，有，于是，其中是在0,1上的最大值同理有，對任意自然數(shù)n，有因為，所以即，再由的任意性，故對任意有恒等于0即命題得證6.2新中值定理的運用例1 設a,b>0，證明存在一點，使得證：根據(jù)定理6，令令，那么 ，則存在一點，使得，即，故存在一點，使得例2 設a,b>0，證明存在一點，使得證: 根據(jù)定理6，令，那么，則存在一點，使得，即，故存在一點，使得 例3 設在a,b上連續(xù)（），在（a,b）上可導，證明存在一點，使得證：根據(jù)定理7，令，那么 ，則存在一點，使得，即，故存在一點，使得例4 設a,b>0，證明存在一點，使得證：根