矩陣初等變換

1、 從上到下從左到右 從下到上從右到左jriririrjrkkkkk0mnmmnnaaaaaaaaa212222111211初等行變換c1cl000022211211mnnnaaaaaa = c1cl 11a 22a mna其中第i步使用第一型初等行變換時，取=-1，使用第二型初等行變換時，ci=1/k使用第三型初等行變換時，ci=1 （i=1，2l）273342731 解：273342731131232rrrr232017100731235/1rr 10/1960017100731=10/196101=196。2 求矩陣的逆求矩陣的逆一般格式：經(jīng)過一系列的初等行變換把n級可逆矩陣A與n級單位矩

2、陣E所組成 n2n的矩陣（A E）中的A化為單位矩陣，則E化為A-11AEAE初等行變換這種計算格式也可以用來判斷A是否可逆，當(dāng)我們將A化為行階梯形矩陣時，若其中的非零行的個數(shù)等于n時，則A可逆，否則A不可逆。121011322解： 11011002134001001110012101001100132212212rrrr 4611003510103410014611001101101201014611001101101201010213401101100100113231323213214rrrrrrrrrrr4613513411A100010001461351341121011322驗證：

3、 3 求矩陣的秩求矩陣的秩一般格式：將mn矩陣經(jīng)過一系列初等行變換變成階梯形矩陣初等行變換 行階梯形矩陣B例3 求矩陣 815073131223123的秩 A其中B中非零行數(shù)即為矩陣A的秩，記作r（A）。 00000591170144311727332105911701443181507313121443181507313122312323131221372rrrrrrrr由于B中有2個非零行，所以r（A）=2。4 求線性方程組的解求線性方程組的解一般格式:(1)齊次線性方程組AX=0，A是mn矩陣 1對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換，將其化為行階梯矩陣，求出r(A)。若r(A)=n，則AX=0，只

4、有零解；若r(A)n， 則AX=0有非零解，轉(zhuǎn)入2 2對階梯陣?yán)^續(xù)施行初等行變換將其化為行最簡形矩陣，寫出其對應(yīng)的線性方程組，以非零行首個非零元對應(yīng)的k個未知量為基本未知量，其余的n-k個未知量為自由未知量，將自由未知量移到等式右端得到一般解，在一般解中分別令自由未知量中一個為1，其余全為0，求得AX=0的基礎(chǔ)解系：X，X，Xn-kn-k0n-k2n-kn-k12n-kn-k0n-k089514431311311B000004/ 14/ 72/ 31011311000004/ 14/ 72/ 3104/ 54/ 32/ 301004145104743012323214321ccxxxxx =

5、，其中21,cc為任意常數(shù)。 0895443313432143214321xxxxxxxxxxxx 例4 求解非齊次線性方程組 一般格式：設(shè)向量組為12m，以12m為列構(gòu)成矩陣A，對A施行 初等行變換，將它化成行階梯形矩陣，求出其秩r（A），若r（A）=m， 則12m線性無關(guān)，若r（A）m，則12m線性相關(guān)。例5 已知a1=1,1,1T,a2=0,2,5T,a3=1,3,6T,討論a1,a2,a3的線性相關(guān)性。解：計算以向量組成的矩陣的秩6513211011312rrrr550220101 23325/12/1rrrr 000220101r(A)=23=向量個數(shù)，所給向量組是線性相關(guān)的。6 確

6、定一向量能否由另一向量線性表出確定一向量能否由另一向量線性表出一般格式：以向量組12m與向量為列構(gòu)成矩陣A，然后對A施行初等 行變換，化為行最簡形矩陣BBm行最簡形矩陣初等行變換21A 看B的最后一列能否由前面各列表出。12T12 解：以為列構(gòu)成矩陣，并對它施行初等行變換，化為行最簡形矩陣12 000000110301440770220141141453121242242321214131241474/123rrrrrrrrrrrrrrr故： 127 求向量組的秩與極大無關(guān)組求向量組的秩與極大無關(guān)組一般格式：設(shè)向量組12m，以它們?yōu)榱袠?gòu)成矩陣ABm行階梯形矩陣初等行變換21AB的非零行的首個元

7、素所在的列向量對應(yīng)的12m中的向量i1ir構(gòu)成一個極大無關(guān)組，其向量的個數(shù)即為向量組12m的秩。 T4T5T解：將已知向量為列構(gòu)成45的矩陣A，并對它施行初等行變換 000001100021110313110000021110110003131100000102012031131311321312rrrrrrA故1，2，4為該向量組的一個極大無關(guān)組，該向量組的秩為3。一般格式：已知向量組12m與12s，分別以12m與 12s 為列構(gòu)成矩陣A與矩陣B，即A=（12m）， B= （12s），令矩陣C=（A，B），對矩陣C施行初等行變換初等行變換由D可求得r（A），r（B），r（C），若r（A）=

8、r（B）= r（C），則向量組12m與12s等價，否則，它們不等價。行階梯形矩陣DC例8 判斷向量組1=（1，2，-1，5）,2=（2，-1，1，1）和向量組1=（4，3，-1，11），2=（4，3，0，11）是否等價解：以1，2，1，2為列構(gòu)成矩陣A和B，令C=（A B），然后對它施行初等行變換00001000111044219990433055504421111115011133124421ABC12129 求向量空間中向量在一組基下的坐標(biāo)求向量空間中向量在一組基下的坐標(biāo)一般格式：設(shè)12n是n維向量空間Rn的n個向量，是Rn中的一組基， 以12n，為列構(gòu)成矩陣A，若可以對A施行初等行變換，

9、 將它變成如下形式： nnnxxEA121初等行變換 其中En是n階單位陣，則12n是Rn的一組基，且在基12n下的坐標(biāo)為 nxxx21 43424143432433234141312)4/1(2)2/1()2/1(14000011000101011111122000220002020111110022002020122001111111111111112111111111rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrA 4/110004/101004/100104/500014/110004/101004/100104/501112131rrrr所以，在1，2，3，4下的坐標(biāo)就是（5/4，1

10、/4，-1/4，-1/4）T341T2T3T4T1234BA00000000321023011111333355111412初等行變換由矩陣B可知，1，2是向量組1，2，3，4的極大無關(guān)組所以 dim L（1，2，3，4）=2 1，2是L（1，2，3，4）一組基。 1BA00002100101010011110111010010011初等行變換 1212211110是 1212的一組基。 12 求從一組基到另一組基的過渡矩陣求從一組基到另一組基的過渡矩陣一般格式：已知n維向量空間V的兩組基分別為 12n與12n，以 12n與12n為列構(gòu)成矩陣M，對M施行初等行變換，使它變?yōu)槿缦滦螤睿篗= （12n 12n） 初等行變換 （E A） 上式中的A即為從基12n到基12n的過渡矩陣?yán)?2 設(shè)1=（1，0，1）T，2=（2，1，0）T，3=（1，1，1）T1=（1，2，-1）T，2=（2，2，-1）T