常系數(shù)齊次線性微分方程

1、可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程的一般形式：一階微分方程的一般形式：(,)yfx y (,)(,)0P x y dxQ x y dy （變量（變量x與與y對(duì)稱）對(duì)稱）若將若將x看作未知函數(shù)，則有看作未知函數(shù)，則有若將若將y看作未知函數(shù)，則有看作未知函數(shù)，則有dyP x yQ x ydxQ x y( , )( , )0)( , ) dxQ x yP x ydyP x y(,)(,)0)(,) 對(duì)稱形式：對(duì)稱形式：討論一階微分方程的解法討論一階微分方程的解法 ()()1g y dyh x dx ()()yMxNy 22dyxydx ln0 xyyy ()()0 x

2、yxxyyeedxeedy 11yxyxeedydxee 一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程均可化為均可化為(1)(1)的形式的形式. .例如：例如：22dyxdxylndydxyyx形如：形如：或或(,)yfx y ?問題：?jiǎn)栴}：22dyxdxy21xCy 21yxC xyyxeedxeedy(1)(1)0對(duì)方程對(duì)方程兩邊積分兩邊積分：()()g y dyh x dx 設(shè)設(shè) 及及 依次為依次為 及及 的原函數(shù)，的原函數(shù)，()G y()Hx()g y()h x()()G yHxC 可分離變量方程的解法可分離變量方程的解法分離變量法：分離變量法： 由于關(guān)系式由于關(guān)系式(2)(2)含

3、有任意常數(shù)，故稱為含有任意常數(shù)，故稱為（隱式）（隱式）通解通解. .稱為微分方程稱為微分方程(1)(1)的（隱式）解的（隱式）解. .于是有于是有將方程將方程分離變量分離變量：()()g y dyh x dx 例例1 1 求解微分方程求解微分方程20.dyxydx的的通通解解解解分離變量分離變量：,2xdxydy 兩端積分兩端積分,2 xdxydy21ln yxC 221.xCxyeCe 為為所所求求通通解解 1CCe 記記，仍仍為為任任意意常常數(shù)數(shù)0y 0y 也是解，也是解，可與通解可與通解合并為合并為2xyCe 例例2 2 求解微分方程求解微分方程ln0 xyyy lndydxyyx 解解

4、 分離變量：分離變量：兩端積分：兩端積分：lndydxyyx ln lnlnln,yxCln,yC x ln.xyxye或或?yàn)闉樗笄筇靥亟饨鈒n.yCx 是是通通解解滿足初始滿足初始條件條件eyx 1的特解的特解. .1xye 由由，得得, 1ln eC解解,dMdt衰衰變變速速度度由題設(shè)條件，有由題設(shè)條件，有00tdMMdtMM (0) 衰衰變變系系數(shù)數(shù)(1) (1) 建立微分方程和定解條件：建立微分方程和定解條件：M00MMt )(tM例例3 3 衰變問題衰變問題: :衰變速度與未衰變?cè)雍克プ兯俣扰c未衰變?cè)雍砍烧瘸烧? ,已知已知, ,求衰變過程中鈾含量求衰變過程中鈾含量隨

5、時(shí)間隨時(shí)間t變化的規(guī)律變化的規(guī)律. . 初值問題初值問題 00tdMMdtMM dtMdM , dtMdM00,tMM 代代入入,lnlnCtM ,tMCe 即即00MCe 得得,C teMM 0衰變規(guī)律衰變規(guī)律分離變量分離變量?jī)蛇叿e分兩邊積分0MtOM（2 2）解微分方程：）解微分方程：利用死亡生物體內(nèi)放射性同位素碳利用死亡生物體內(nèi)放射性同位素碳1414 14C記記作作的衰變規(guī)律，推測(cè)生物體的死亡的衰變規(guī)律，推測(cè)生物體的死亡時(shí)間，用于考古、刑偵等方面時(shí)間，用于考古、刑偵等方面. .0tMM e 放射性物質(zhì)都具有類似的衰變規(guī)律：放射性物質(zhì)都具有類似的衰變規(guī)律：假設(shè)某人每天的飲食可產(chǎn)生假設(shè)某人每

6、天的飲食可產(chǎn)生熱量熱量, ,用于基本新陳代謝每天所消耗的熱用于基本新陳代謝每天所消耗的熱量為量為kg.J/d CJA，用于鍛煉所消耗的熱量為，用于鍛煉所消耗的熱量為J/kg.DJB為簡(jiǎn)單計(jì)為簡(jiǎn)單計(jì), , 假定增加假定增加( (或減少或減少) )體重所需熱量體重所需熱量全由脂肪提供，脂肪的含熱量為全由脂肪提供，脂肪的含熱量為求此人體重隨時(shí)間的變化規(guī)律求此人體重隨時(shí)間的變化規(guī)律. .例例4 4（減肥問題）（減肥問題）J表示焦耳，表示焦耳，d表示天表示天單位：?jiǎn)挝唬航猓ń猓? 1）建立微分方程與定解條件：）建立微分方程與定解條件：設(shè)設(shè)t 時(shí)刻時(shí)刻( (d) )的體重為的體重為 .tw根據(jù)熱量平衡原理

7、，在根據(jù)熱量平衡原理，在dt 時(shí)間內(nèi)，時(shí)間內(nèi)，人的熱量的改變量人的熱量的改變量吸收的熱量消耗的熱量吸收的熱量消耗的熱量因此得因此得 ttCwBAwDdd ,ABCabDD 記記則得方程則得方程 .tbwadtdw 設(shè)開始減肥時(shí)刻為設(shè)開始減肥時(shí)刻為, 0 t0w體體重重為為，于是初值條件為于是初值條件為 .00wtwt （2 2）解微分方程：）解微分方程： 00tdwabw tdtw tw 初值問題初值問題分離變量分離變量?jī)蛇叿e分兩邊積分 dwdtabw t 得通解為得通解為代入初值條件可得特解為代入初值條件可得特解為 0btaaw twebb 11ln abw ttCb btaw tCeb 1

8、bt bCabw te 1ln abw tbtbC 11bCbtaw teebb C（3 3）由上面的結(jié)果易得如下結(jié)論：）由上面的結(jié)果易得如下結(jié)論： 0btaaw twebb batwt lim隨時(shí)間的增加，趨于常數(shù)隨時(shí)間的增加，趨于常數(shù)aABbD 節(jié)制飲食節(jié)制飲食調(diào)節(jié)新陳代謝調(diào)節(jié)新陳代謝可以達(dá)到理想體重可以達(dá)到理想體重 0btaaw twebb 0,aAB若若即即0.btww e 則則 lim0tw t 飲食量?jī)H夠維持新陳代謝飲食量?jī)H夠維持新陳代謝身體快速消瘦身體快速消瘦危險(xiǎn)！危險(xiǎn)！0,0,bC若若即即0,.dwawatwdt則則方方程程變變?yōu)闉榻饨獾玫?.tbwadtdw 只吃飯只吃飯不鍛

9、煉不鍛煉.tw 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，身體越來越胖身體越來越胖危險(xiǎn)！危險(xiǎn)！,DCbDBAa 記記要達(dá)到理想體重，或者限時(shí)減肥或增肥，要達(dá)到理想體重，或者限時(shí)減肥或增肥，都可設(shè)計(jì)出都可設(shè)計(jì)出a和和b的合適組合的合適組合. . 0btaaw twebb 有高為有高為1 1米的半球形容器米的半球形容器, , 水從它的水從它的底部小孔流出底部小孔流出, , 小孔橫截面積為小孔橫截面積為1 1平方厘米平方厘米( (如圖如圖). ). 開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水, , 求水從小求水從小孔流出過程中容器里水面的高度孔流出過程中容器里水面的高度h( (水面與水面與孔口中心間的距離孔口中心間的距離) )隨時(shí)間

10、隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律. .例例 5解解 由力學(xué)知識(shí)知由力學(xué)知識(shí)知, ,水從孔口流出的流量為水從孔口流出的流量為,262. 0ghSdtdVQ 流量系數(shù)流量系數(shù) 孔口截面孔口截面面積面積 重力重力 加速度加速度cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 另一方面，設(shè)在微小的時(shí)間另一方面，設(shè)在微小的時(shí)間間隔間隔,dttt 水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,hdh 2,dVr dh 則則,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比較比較(1)(1)和和(2)(2)，得微分方程，得微分方程: :dhhh)200(2 ,262. 0dtgh

11、 1 S,cm2dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 分離變量，得分離變量，得可分離變量可分離變量,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求規(guī)律為所求規(guī)律為積分，得積分，得小小 結(jié)結(jié)一、可分離變量微分方程一、可分離變量微分方程解法解法然后兩端積分然后兩端積分. .將不同的變量寫在等式的兩端，將不同的變量寫在等式的兩端，分離變量：分離變量： g y dyh x dx 二、微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用二、微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用用微分方程解決實(shí)際問題的一般步驟：用微分方程解決實(shí)際問題的一般步驟：1.1.建立微分方程和定解條件；建立微分方程和定解條件；2.2.根據(jù)方程的類型，用相應(yīng)的方法求出通解，根據(jù)方程的類型，用相應(yīng)的方法求出通解，并根據(jù)定解條件確定特解并根據(jù)定解條件確定特解; ;3.3.對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行具體分析，解釋它的實(shí)際對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行具體分析，解釋它的實(shí)際意義意義. .如果與實(shí)際相差甚遠(yuǎn)，那么就應(yīng)修改如果與實(shí)際相