圓錐曲線中點弦高考專題

1、.關于圓錐曲線的中點弦問題直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題，是解析幾何中的重要內容之一，也是高考的一個熱點問題。這類問題一般有以下三種類型：（1）求中點弦所在直線方程問題；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（3）求弦中點的坐標問題。其解法有代點相減法、設而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中心對稱變換法等。一、求中點弦所在直線方程問題例1 過橢圓內一點M（2，1）引一條弦，使弦被點M平分，求這條弦所在的直線方程。解法一：設所求直線方程為y-1=k(x-2)，代入橢圓方程并整理得：又設直線與橢圓的交點為A()，B（），則是方程的兩個根，于是，又M為AB的中點，所以，解得，故所求直線方程為。解法二：設直線與

2、橢圓的交點為A()，B（），M（2，1）為AB的中點，所以，又A、B兩點在橢圓上，則，兩式相減得，所以，即，故所求直線方程為。解法三：設所求直線與橢圓的一個交點為A()，由于中點為M（2，1），則另一個交點為B(4-)，因為A、B兩點在橢圓上，所以有，兩式相減得，由于過A、B的直線只有一條，故所求直線方程為。二、求弦中點的軌跡方程問題例2 過橢圓上一點P（-8，0）作直線交橢圓于Q點，求PQ中點的軌跡方程。解法一：設弦PQ中點M（），弦端點P（），Q（），則有，兩式相減得，又因為，所以，所以，而，故?；喛傻?（）。解法二：設弦中點M（），Q（），由，可得，又因為Q在橢圓上，所以，即，所以PQ

3、中點M的軌跡方程為 （）。三、弦中點的坐標問題例3 求直線被拋物線截得線段的中點坐標。解：解法一：設直線與拋物線交于， ，其中點，由題意得，消去y得，即，所以，即中點坐標為。解法二：設直線與拋物線交于， ，其中點，由題意得，兩式相減得，所以，所以，即，即中點坐標為。上面我們給出了解決直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題的一些基本解法。下面我們看一個結論引理 設A、B是二次曲線C：上的兩點，P為弦AB的中點，則。設A、B則（1） （2）得 即。（說明：當時，上面的結論就是過二次曲線C上的點P的切線斜率公式，即） 推論1 設圓的弦AB的中點為P（，則。（假設點P在圓上時，則過點P的切線斜率為） 推論2

4、 設橢圓的弦AB的中點為P（，則。（注：對ab也成立。假設點P在橢圓上，則過點P的切線斜率為）推論3 設雙曲線的弦AB的中點為P（則。（假設點P在雙曲線上，則過P點的切線斜率為）推論4 設拋物線的弦AB的中點為P（則。（假設點P在拋物線上，則過點P的切線斜率為我們可以直接應用上面這些結論解決有關問題，下面舉例說明。例1、求橢圓斜率為3的弦的中點軌跡方程。解：設P（x，y）是所求軌跡上的任一點，則有，故所示的軌跡方程為16x+75y=0 例2、已知橢圓A、B是橢圓上兩點，線段AB的垂直平分線l與x軸相交于P，求證：。證明：設AB的中點為T，由題設可知AB與x軸不垂直， lAB l的方程為： 令y

5、=0 得 例3、已知拋物線C：，直線要使拋物線C上存在關于對稱的兩點，的取值范圍是什么？解：設C上兩點A、B兩點關于對稱，AB的中點為P（ P P在拋物線內 ， 與拋物線有關的弦的中點的問題（1）中點弦問題：（上題麻煩了。是圓不用中點法）例1 由點向拋物線引弦，求弦的中點的軌跡方程。分析：解決問題的關鍵是找到弦的端點A、B在直線上的性質和在拋物線上的性質的內在聯(lián)系。解法1：利用點差法。設端點為A，B，則，兩式相減得， 式兩邊同時除以，得， 設弦的中點坐標為，則， 又點和點在直線AB上，所以有。 將、代入得， 整理得。故得中點的軌跡方程是在拋物線內部的部分。解法2：設弦AB所在直線的方程為，由方

6、程組 消去并整理得， （3）設A、B、中點，對于方程（3），由根與系數(shù)的關系，有，代入（1）得故得所求弦中點的軌跡方程是在拋物線內部的部分。評注：（1）求點的軌跡方程即是求曲線上的點的橫、縱坐標所滿足的關系式，本題所給出的兩種方法，都是找動點與已知條件的內在聯(lián)系，列關于，的關系式，進而求出軌跡的方程。（2）弦中點軌跡問題設拋物線（）的弦AB，A，B，弦AB的中點C，則有，（1）（2）得，將，代入上式，并整理得，這就是弦的斜率與中點的關系，要學會推導，并能運用。例2 已知拋物線，過點作一條直線交拋物線于A，B兩點，試求弦AB的中點軌跡方程。解：如圖，設弦AB的中點為M，并設A、B、M點坐標分別為，根據(jù)題意設有， ， ， ， ， 代入得， 代入得，即。評注：本題還有其他解答方法，如設AB的方程為，將方程代入，利用根與系數(shù)的關系，求出弦中點的軌跡方程。例6 求直線被拋物線截得線