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文檔簡介
1、三垂線定理三垂線定理AaOP 已知已知 PA、PO分別分別是平面是平面 的垂線、斜的垂線、斜線,線,AO是是PO在平面在平面 上的射影。上的射影。a ,aAO。求證: aPO在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個平面的一條在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么,它就和這條斜線垂直。斜線的射影垂直,那么,它就和這條斜線垂直。三垂線定理AaOP證明:aPOPA a AOaa平面PAOPO平面PAOPA a三垂線定理三垂線定理: 在平面在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個平內(nèi)的一條直線,如果和這個平面的一條斜線的射影垂直,那面的一條斜線的射影垂直,那么,它就和這條斜線垂直。么,它就和這條斜線
2、垂直。AaOP證明:aPOPA a AOaa平面PAOPO平面PAOPA aPCBAO例例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一點,外一點, PA平面平面ABC ,AC BC, 求證:求證: PC BC證明:證明: P 是平面是平面ABC 外一點外一點 PA平面平面ABC PC是平面是平面ABC的斜線的斜線 AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC 平面平面ABC 且且AC BC 由三垂線定理得由三垂線定理得 PC BCM例2 直接利用三垂線定理證明下列各題:(1) PA正方形ABCD所在平面,O為對角線BD的中點求證:POBD,PCBD(3) 在正方體AC1中,求證:A1CB1
3、D1,A1CBC1(2) 已知:PA平面PBC,PB=PC,M是BC的中點,求證:BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1) PA正方形ABCD所在平面,O為對角線BD的中點,求證:POBD,PCBDPOABCD證明:ABCD為正方形 O為BD的中點 AOBD又AO是PO在ABCD上的射影POBD 同理,ACBD AO是PO在ABCD上的射影PCBDPMCAB(2) 已知:PA平面PBC,PB=PC, M是BC的中點, 求證:BCAMBCAM證明: PB=PCM是BC的中點PM BCPA平面PBCPM是AM在平面PBC上的射影(3) 在正方體AC1中
4、,求證:A1CBC1 , A1CB1D1 在正方體AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 C B A1B1 C1A D D1證明: C B A1B1 C1A D D1同理可證, A1CB1D1由三垂線定理知 A1CBC1 PMCABPAOaA1 C1 C B B1OAaP 我們要學會從紛繁的已知條件中找出或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件解題回顧解題回顧,怎么找?三垂線定理解題的關(guān)鍵:找三垂!怎么找?一找直線和平面垂直二找平面的斜線在平面 內(nèi)的射影和平面內(nèi)的 一條直線垂直注意:由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作為已知條件解題回顧解題回顧PA
5、OaPAOabcde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判定定理,這兩條直線可以是:相交直線相交直線異面直線異面直線使用三垂線定理還應(yīng)注意些什么?解題回顧解題回顧直線a 在一定要在平面內(nèi),如果 a 不在平面內(nèi),定理就不一定成立。PAOa例如:當 b 時, bOA注意:如果將定理中“在平面內(nèi)”的條件去掉,結(jié)論仍然成立嗎?b但但 b不垂直于OP 解題回顧解題回顧若a是平面的斜線,直線b垂直于 a在平面內(nèi)的射影,則 ab ( )若a是平面的斜線,b,直線 b垂直于a在平面內(nèi)的射影, 則 ab ( )若a是平面的斜線,直線b 且b垂直于a在另一平面內(nèi)的射 影則ab ( )若 a是平面的斜線,
6、平面內(nèi) 的直線b垂直于a在平面內(nèi)的射 影,則 ab ( )練習:判斷下列命題的真假:面ABCD 面直線A1C 斜線 a直線B1B 垂線 bADCBA1D1C1B1面ABCD 面面B1BCC1面直線A1C 斜線 a直線AB 垂線 b面ABCD 面直線A1C 斜線 a直線B1B 垂線 bPAOal已知:PA,PO分別是平面 的垂線和斜線,AO是PO在平面 的射影,a , a AO,l 平行于 a 。求證: l 垂直于PO若a是平面的斜線,b,直線 b垂直于a在平面內(nèi)的射影,則 abPAOa三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系?三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系?線射垂直PAOa線面垂直線斜垂直PAOa直 線 和平面
7、垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直線射垂直線射垂直線斜垂直線斜垂直PAOaPAOa平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆定理 在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個平面的一條斜線垂直,那么,它也和這條斜線的射影垂直。PAOa 已知:PA,PO分別是平面 的垂線和斜線,AO是PO在平面 的射影,a ,a PO求證:a AO三垂線定理的逆定理三垂線定理的逆定理三垂線定理的逆定理 在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個平面的一條斜線垂直,那么,它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理三垂線定理: 在平面內(nèi)的一條直線,如果
8、和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么,它就和這條斜線垂直。線射垂直線射垂直線斜垂直線斜垂直定理逆定理線射垂直線射垂直 線斜垂直線斜垂直 定 理逆定理例3 如果一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等,那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線上。已知:BAC在平面內(nèi),點P,PEAB,PFAC,PO ,垂足分別是E、F、O,PE=PF求證:BAO=CAO分析: 要證 BAO=CAO只須證OE=OF, OEAB,OFACP C B A O F E ?證明: PO OE、OF是PE、PF在內(nèi)的射影 PE=PF OE=OF由OE是PE的射影且PEAB OEAB同理可得OFAC結(jié)論成立例4 在四面體ABCD中,已知ABCD,ACBD求證:ADBCDOBC,于是ADBC.證明:作AO平面BCD于點O,連接BO,CO,DO,則BO,CO,DO分別為AB,AC,AD在平面BCD上的射影。OADCBABCD,BOCD,同理COBD,于是O是BCD的垂心,1. 在正方體AC1中,E、G分別是AA1和CC1的中點, F在AB上,且C1EEF,則EF與GD所成的角的大小為( )(A) 30 (B) 45 (C) 60(D) 90DF A D C B A1D1B1C1G E M EB1是EC1在平面AB1內(nèi)的射影EB1 EFDGAMEB1EF DG練習與作業(yè)2.已知 PA、
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