數(shù)學(xué)建模衛(wèi)星和飛船的跟蹤測(cè)控

1、.衛(wèi)星和飛船的跟蹤測(cè)控高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如

2、果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號(hào)）：全國評(píng)閱編號(hào)（由全國組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：1.問題的提出根據(jù)問題背景和所提供的信息，本文致力于解決以下三個(gè)問題：(1)在假設(shè)所有測(cè)控站都與衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道共面的情況下，計(jì)算至少應(yīng)該建立多少個(gè)測(cè)控站

3、才能對(duì)其進(jìn)行全程跟蹤測(cè)控；(2)若一個(gè)衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道與地球赤道平面有固定的夾角，并且衛(wèi)星（飛船）在離地面高度為H的球面S上運(yùn)行，綜合考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí)該衛(wèi)星(飛船)在運(yùn)行過程中相繼兩圈的經(jīng)度的差異等因素，計(jì)算此時(shí)要實(shí)現(xiàn)全程跟蹤測(cè)控的話應(yīng)該建立的測(cè)控站的最少數(shù)目；(3)收集我國一個(gè)衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行資料和發(fā)射時(shí)測(cè)控站點(diǎn)的分布信息，并分析這些測(cè)控站點(diǎn)對(duì)該衛(wèi)星所能測(cè)控的范圍，本文選擇神舟七號(hào)宇宙為研究對(duì)象。2 模型假設(shè)1.假設(shè)地球是規(guī)則的球形，半徑為6375千米；2.衛(wèi)星沿閉合的圓形軌道或者橢圓形軌道運(yùn)行；3.每次監(jiān)控衛(wèi)星監(jiān)控站都能以最大的監(jiān)控范圍內(nèi)正常工作；4.監(jiān)控船的位置是靈活的，因此可以動(dòng)態(tài)的

4、監(jiān)控衛(wèi)星的運(yùn)行；5.忽略各個(gè)地面監(jiān)控站的海拔差異，都認(rèn)為是分布在距離地心為6375千米的地表；6.衛(wèi)星運(yùn)行軌跡在地表的投影區(qū)域展開近似認(rèn)為是矩形。3 符號(hào)說明 地球的半徑 衛(wèi)星（飛船）運(yùn)行軌道離地面高度 最少觀測(cè)站數(shù)目（未取整） 最少觀測(cè)站數(shù)目（取整） 即圖2中AOB，圓心和觀測(cè)點(diǎn)的連線與圓心和衛(wèi)星軌道連線的夾角 即圖2中ABO 衛(wèi)星運(yùn)行軌道與赤道的夾角 萬有引力常量，取值 地球質(zhì)量，取值 衛(wèi)星繞地球運(yùn)行周期 地球的自轉(zhuǎn)周期，即24小時(shí) 問題二中的最少測(cè)控站數(shù)目 地球自轉(zhuǎn)在高度為的線速度 衛(wèi)星的線速度 測(cè)控站測(cè)控圓錐在地表投影圓的半徑 測(cè)控覆蓋率4 問題分析在衛(wèi)星或飛船的發(fā)射以及運(yùn)行過程中對(duì)衛(wèi)

5、星的測(cè)控是非常重要的，而其核心問題是測(cè)控站點(diǎn)的布設(shè)問題。這正是本文要解決的問題。問題一是在所有測(cè)控站都與衛(wèi)星運(yùn)行軌道共面的假設(shè)下進(jìn)行考慮的，在這種理想的情況下，要想使用最少的測(cè)控點(diǎn)，那它們應(yīng)該是這樣分布的：測(cè)控點(diǎn)均勻分布；兩個(gè)相鄰測(cè)控點(diǎn)輻射出的圓錐的母線恰好相交于衛(wèi)星軌道平面。在截面中，圓錐母線、地球半徑、衛(wèi)星運(yùn)行半徑三者組成三角形，并且有一個(gè)角為93度，于是利用正弦定理、余弦定理即可以求解三角形，測(cè)控站數(shù)目即為與單個(gè)夾角的比值，當(dāng)然應(yīng)該取整。問題二是問題一的深入，考慮到了兩點(diǎn)因素：一是衛(wèi)星軌道與赤道呈固定夾角；二是地球自轉(zhuǎn)對(duì)飛船相繼兩圈的經(jīng)度位置造成的差異。這就決定了衛(wèi)星的運(yùn)行軌跡在地表的投

6、影是衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)和地球的自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。實(shí)際上將地表展開成近似矩形，衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌跡是若干個(gè)曲線相交成的網(wǎng)狀，其容納在一個(gè)矩形帶中。要實(shí)現(xiàn)對(duì)衛(wèi)星的全覆蓋轉(zhuǎn)化為對(duì)這個(gè)帶的覆蓋。然后要探討觀測(cè)點(diǎn)的位置問題，討論發(fā)現(xiàn)將測(cè)控點(diǎn)設(shè)置在赤道上是最節(jié)省測(cè)控點(diǎn)的。最后改進(jìn)問題一的算法和模型，求解出最少的探測(cè)點(diǎn)數(shù)目。另外的一種思路是，將兩個(gè)運(yùn)動(dòng)合成，類比于一個(gè)新的衛(wèi)星繞一個(gè)不動(dòng)的地球在轉(zhuǎn)，求出新衛(wèi)星的參數(shù)，進(jìn)而求解出要設(shè)置的觀測(cè)點(diǎn)數(shù)目。問題三是理論問題一、二的實(shí)際應(yīng)用。本文選取神舟七號(hào)宇宙飛船為研究對(duì)象。首先要收集起神七的發(fā)射、運(yùn)行、測(cè)控等各個(gè)方面的詳細(xì)資料，然后將問題分解為兩個(gè)部分，一是發(fā)射過程的測(cè)控問題，二是

7、運(yùn)行過程的測(cè)控問題。對(duì)于測(cè)控覆蓋率的求解，我們將神七留在地表的投影帶計(jì)算出來，然后將11個(gè)測(cè)控點(diǎn)加入到投影帶圖形中，再計(jì)算出每個(gè)測(cè)控站的測(cè)控圓的面積，它與投影帶面積之比即為覆蓋率。對(duì)于發(fā)射過程，問題的難點(diǎn)在于對(duì)詳細(xì)發(fā)射過程、進(jìn)入預(yù)定軌道欠的軌跡等資料的了解，但是這樣的資料屬于宇航局核心資料是難以查詢的，因此我們首先根據(jù)比較成熟的計(jì)算發(fā)射過程軌道的知識(shí)和微分方程模擬發(fā)射過程，進(jìn)而以此為依據(jù)計(jì)算發(fā)射過程的測(cè)控覆蓋率。5 模型的建立與求解5.1 問題一的模型建立在問題一的模型建立與求解的過程中，我們把衛(wèi)星（飛船）的運(yùn)行軌道分為圓軌道和橢圓軌道兩種情況討論。5.1.1 情況一：衛(wèi)星（或飛船）運(yùn)行軌道為

8、圓軌道假設(shè)地球半徑為R，衛(wèi)星（或飛船）飛行軌道離地面的距離為H。實(shí)際上，每個(gè)測(cè)控站的監(jiān)控范圍都是一個(gè)以測(cè)控站為頂點(diǎn)的曲頂圓錐體，又因?yàn)轭}中假設(shè)所有測(cè)控站都與衛(wèi)星的運(yùn)行軌道共面，所以我們?nèi)⌒l(wèi)星運(yùn)行軌道的截面(如圖2)作為研究的對(duì)象，那么每個(gè)測(cè)控站的可監(jiān)控范圍的輻射圖形為扇形。如果各個(gè)觀測(cè)點(diǎn)均勻分布、且相鄰兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的輻射網(wǎng)絡(luò)在衛(wèi)星運(yùn)行軌道切面處恰好交匯，此時(shí)所有的測(cè)控站輻射范圍恰好覆蓋衛(wèi)星的軌道平面，那么此時(shí)的觀測(cè)點(diǎn)數(shù)目是最少的，設(shè)為N，如圖2所示。圖2 地球表面與衛(wèi)星運(yùn)行軌道截面圖從上圖可知，在三角形AOB中，由正弦定理可得： （5.1.1）解得： （5.1.2）從而有 （5.1.3）則可得如

9、下關(guān)于的表達(dá)式： （5.1.4）而N值要取不小于以上計(jì)算數(shù)值的整數(shù)。從（5.1.4）可知，是一個(gè)關(guān)于H的單調(diào)減函數(shù)，而又因?yàn)镹只能取不小于的整數(shù)，故。其實(shí)際意義在于，衛(wèi)星離地面越高，地面上的單個(gè)測(cè)控點(diǎn)輻射的區(qū)域會(huì)越大，所以需要的測(cè)控點(diǎn)就越少，但無論衛(wèi)星離地面多么遠(yuǎn)，都至少要用3個(gè)測(cè)控點(diǎn)才能完全覆蓋，具體的計(jì)算數(shù)值是5.1.4式。圖3繪制了觀測(cè)站點(diǎn)數(shù)目與衛(wèi)星離地高度的函數(shù)關(guān)系圖像，并確定了在N取得整數(shù)點(diǎn)時(shí)的臨界高度值，在圖中均已標(biāo)注。又依據(jù)公式5.1.4計(jì)算出了在測(cè)控點(diǎn)分別為3，4，5，29時(shí)，飛船離地面的臨界高度H（見表1）。表1 觀測(cè)站點(diǎn)數(shù)目與衛(wèi)星離地臨界高度的關(guān)系表 （高度單位：km）觀測(cè)

10、站的數(shù)目34567891011離地最小高度7557.93102.31795.51201.6873.5670.4534.7439.0368.6觀測(cè)站的數(shù)目121314151617181920離地最小高度315.1273.5240.2213.3191.1172.5156.9143.5131.9觀測(cè)站的數(shù)目212223242526272829離地最小高度121.9113.1105.498.592.486.982.077.573.5由上表，我們可用matlab軟件畫出觀測(cè)站點(diǎn)數(shù)目與衛(wèi)星離地臨界高度的關(guān)系圖：圖3觀測(cè)站點(diǎn)數(shù)目與衛(wèi)星離地高度的函數(shù)圖像5.1.2 情況二：衛(wèi)星（或飛船）運(yùn)行軌道為橢圓軌道衛(wèi)星

11、（或飛船）運(yùn)行軌道為橢圓軌道時(shí)，其測(cè)控站數(shù)目計(jì)算結(jié)果與衛(wèi)星（或飛船）運(yùn)行軌道是圓軌道情形的計(jì)算結(jié)果是一致的，因?yàn)橹灰诮攸c(diǎn)有站點(diǎn)可以探測(cè)到，那么到了遠(yuǎn)地點(diǎn)則一定能探測(cè)到，這是因?yàn)殡x地越遠(yuǎn)，測(cè)控站點(diǎn)的探測(cè)范圍越大，因此測(cè)控站點(diǎn)更容易捕捉到離地遠(yuǎn)的衛(wèi)星，所以在計(jì)算最小站點(diǎn)數(shù)目的時(shí)候，只要將H賦以近地點(diǎn)距離之值即可。5.2 問題二的模型建立對(duì)問題二，我們首先根據(jù)條件得到衛(wèi)星（或飛船）的運(yùn)行軌跡投影帶，把衛(wèi)星（或飛船）的運(yùn)行軌道與地球赤道平面的固定夾角看作是一個(gè)固定的變量，然后分一般衛(wèi)星和地球同步衛(wèi)星兩種情況討論，分別得到了地面觀測(cè)站數(shù)目與夾角和衛(wèi)星飛行高度的模型，討論了夾角的變化對(duì)地面觀測(cè)站的影響

12、以及給出了在什么地點(diǎn)建立觀測(cè)站能達(dá)到觀測(cè)站數(shù)目最少，并給出了幾類常見衛(wèi)星的高度與地面測(cè)控站數(shù)目圖。5.2.1 模型一 圖4 衛(wèi)星運(yùn)行與地球表面模擬圖如圖4所示，假設(shè)衛(wèi)星的運(yùn)行軌道與赤道平面的夾角為，衛(wèi)星在離地面高度為H的球面上運(yùn)行。由萬有引力定律，可以得到衛(wèi)星運(yùn)行的線速度V和運(yùn)行周期T。其中M是地球質(zhì)量，；G是萬有引力常量，。由于夾角是固定不變的，因此在地球不發(fā)生自轉(zhuǎn)的情況下，衛(wèi)星的運(yùn)行軌跡在地球表面的投影是一個(gè)固定的圓。但是由于在衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的同時(shí)地球自身在發(fā)生自轉(zhuǎn)，因此投影到地球表面的軌跡是地球的自轉(zhuǎn)和衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成。圖5為衛(wèi)星在地球表面上的實(shí)際投影。所以實(shí)際上，在衛(wèi)星飛行一

13、周后，地球已經(jīng)自轉(zhuǎn)了時(shí)間T（衛(wèi)星的周期），因此兩條軌跡的投影會(huì)相隔一段距離S： （5.2.1）其中R是地球平均半徑。我們更深入的研究可知，如果地球是球形的，且質(zhì)量分布均勻，衛(wèi)星繞地球按照?qǐng)A軌道飛行，則在地球自轉(zhuǎn)一周的時(shí)間里，衛(wèi)星可以飛行24/T圈，投影到地球表面就會(huì)形成24/T條圓形軌跡。相鄰兩條軌跡與赤道的交點(diǎn)之間的距離都為S。如圖5中-、-、-、-、-間的距離。相鄰兩圈的經(jīng)度差異為 （5.2.2）圖5 衛(wèi)星的運(yùn)行軌跡投影帶關(guān)于圖5的解釋說明：這是地球表面的一個(gè)展開圖，橫坐標(biāo)軸是赤道，端點(diǎn)分別是東經(jīng)180度和西經(jīng)180度；曲線是衛(wèi)星運(yùn)行軌跡在地表的投影；每一條完整的曲線代表衛(wèi)星繞地球運(yùn)行一周

14、的投影軌跡；曲線的數(shù)目為24/T。由于衛(wèi)星運(yùn)行軌道平面與赤道平面夾角為，則衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌跡在地面的投影必定分布在北緯和南緯之間。由圖6可知，弧長(zhǎng)與半徑的關(guān)系為：根據(jù)兩個(gè)扇形相似性，可以得到：圖6 地球與衛(wèi)星相對(duì)位置所以衛(wèi)星在天球面S上的運(yùn)行軌跡處在寬度為S1的帶狀環(huán)形區(qū)域內(nèi)，并且 （5.2.3）測(cè)控站所選取的位置不同，會(huì)使得監(jiān)控區(qū)域的重疊和相對(duì)位置發(fā)生變化，進(jìn)而影響到所需測(cè)控站的數(shù)目。下面分別考慮把測(cè)控站建在邊緣區(qū)域和赤道的兩種特殊情況。情形一：當(dāng)觀測(cè)站恰好位于這個(gè)帶狀環(huán)形區(qū)域的邊緣時(shí)候，即處在北緯度或南緯度時(shí)，可以計(jì)算出當(dāng)觀測(cè)站完全覆蓋高度為H的衛(wèi)星在這一點(diǎn)可能出現(xiàn)的地方時(shí)，的最大角度（見圖7

15、）。圖7 情形一：觀測(cè)站建在寬帶邊緣由余弦定理可得：解上面的方程組可得：即將上式帶入方程組消去，可得求解得：將回代至方程組中，可以求得： (5.2.4)當(dāng)大于上式的計(jì)算結(jié)果時(shí)，建在邊緣的觀測(cè)站無法監(jiān)控到衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)可能出現(xiàn)的全部區(qū)域；當(dāng)小于上式的計(jì)算結(jié)果時(shí)，建在邊緣的觀測(cè)站可以完全監(jiān)控到衛(wèi)星在此點(diǎn)上空運(yùn)行時(shí)可能到達(dá)的任何區(qū)域。情形二：當(dāng)觀測(cè)站建在赤道上時(shí)。如下圖，ED是赤道平面，C是觀測(cè)站位置，ACD和BCD都等于87度，GED和FED 為。CE=R，CD=H，弧GDF位于球面S上。圖8 情形二：觀測(cè)站建在赤道上這種情形的情況是直觀的，因?yàn)槭切l(wèi)星軌道和赤道平面的交角，所以；而且觀測(cè)站的觀測(cè)角度有

16、87度，因此在觀測(cè)站上空的圓錐體范圍內(nèi)，無論衛(wèi)星軌跡如何移動(dòng)，都會(huì)被監(jiān)控站監(jiān)控到。將兩種情形作對(duì)比，若將測(cè)控站建在投影帶的邊緣，不妨假設(shè)測(cè)控站建在北緯度處，那么此時(shí)要達(dá)到完全覆蓋的目的，就一定要覆蓋到到南緯度處（投影帶的下邊緣），那么其跨度達(dá)到了2；而若將測(cè)控站建在赤道處，那么要實(shí)現(xiàn)完全覆蓋的話，就要覆蓋到南北緯度處，而此時(shí)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)軌跡在地球上投影具有的對(duì)稱性，觀測(cè)站可以最大限度的監(jiān)控衛(wèi)星在圓環(huán)帶區(qū)域上空可能出現(xiàn)的位置，那么其跨度只有。所以，很明顯的，如果將測(cè)控站建在投影帶的中線即赤道處是最理想的，即所需要測(cè)控站數(shù)目最少的情形。現(xiàn)在我們繼續(xù)深入探討，考慮當(dāng)衛(wèi)星在離地面高度為H的球面S運(yùn)行時(shí)，需

17、要多少個(gè)站點(diǎn)才能完全監(jiān)控住衛(wèi)星可能出現(xiàn)的區(qū)域。由于衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌道與地球赤道所成的角度是固定的。前面已經(jīng)根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成分析過了，衛(wèi)星的軌跡在地球表面的投影是一個(gè)圓環(huán)帶。衛(wèi)星運(yùn)行軌道面與赤道面的斜交角度為，我們將測(cè)控站都建立在赤道上。假設(shè)最少需要個(gè)觀測(cè)站才能恰好完全覆蓋衛(wèi)星所到達(dá)的區(qū)域，這個(gè)時(shí)候應(yīng)該恰好是當(dāng)觀測(cè)站1結(jié)束對(duì)衛(wèi)星的監(jiān)控時(shí)，觀測(cè)站2恰好收到該衛(wèi)星的信號(hào)。利用這個(gè)原理我們可以計(jì)算得到和地球半徑R、軌道高度H的關(guān)系式。 圖9上圖中，由余弦定理可得又由正弦定理可得 聯(lián)立以上三個(gè)方程，解方程組得 (5.2.5)從而我們得到了一個(gè)關(guān)于半徑、高度與地面測(cè)控站數(shù)目的數(shù)學(xué)模型?，F(xiàn)在我們?nèi)〉厍虬霃綖?，?duì)一

18、些有代表性的衛(wèi)星，利用它們的數(shù)據(jù)畫出上面的函數(shù)關(guān)系如下：圖10 觀測(cè)點(diǎn)最少數(shù)目與衛(wèi)星離地面高度關(guān)系5.2.2 模型二因?yàn)樾l(wèi)星在繞著地球轉(zhuǎn)，而地球同時(shí)也在自轉(zhuǎn)，所以最終形態(tài)是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成。我們考慮將兩個(gè)運(yùn)動(dòng)合成，因?yàn)榈厍虻淖赞D(zhuǎn)對(duì)衛(wèi)星的投影軌跡產(chǎn)生了影響（出現(xiàn)了緯度差異），我們將地球的自轉(zhuǎn)合成到衛(wèi)星的運(yùn)行中，即將地球假定為不再自轉(zhuǎn)，而此時(shí)衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)與真實(shí)的運(yùn)動(dòng)便不再相同了，等價(jià)于另外一顆不同參數(shù)（運(yùn)行高度、周期等）的衛(wèi)星在繞著不能自轉(zhuǎn)的地球運(yùn)行。假設(shè)新衛(wèi)星的運(yùn)行高度為，線速度為。情形一：衛(wèi)星呈一定銳角傾斜角自西向東運(yùn)行圖11 同向旋轉(zhuǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)的合成此時(shí)，衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)與地球的自轉(zhuǎn)是同向的，那么新衛(wèi)星的

19、線速度為： （5.2.6）由萬有引力定律可知，而 因此，又因?yàn)?故得 （5.2.7）又根據(jù)問題一的結(jié)論5.1.4式，有： 將式5.2.7代入到式5.1.4中，可以得到： （5.2.8）當(dāng)然，實(shí)際的N值要取不小于的整數(shù)值。情形二：衛(wèi)星呈一定銳角傾斜角自東向西運(yùn)行圖12 反向旋轉(zhuǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)的合成此時(shí)，衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)與地球的自轉(zhuǎn)是反同向的，那么新衛(wèi)星的線速度為： （5.2.9）于是得 從而得 (5.2.10)同理，將5.2.10代入5.1.4，得到： （5.2.11）5.3 問題三的模型建立及求解5.3.1神七相關(guān)的資料及數(shù)據(jù)：神舟七號(hào)載人飛船是中國神舟號(hào)飛船系列之一，于2008年9月25日21點(diǎn)10分04

20、秒988毫秒從中國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心載人航天發(fā)射場(chǎng)用長(zhǎng)征二號(hào)F火箭發(fā)射升空。飛船于2008年9月28日17點(diǎn)37分成功著陸于中國內(nèi)蒙古四子王旗主著陸場(chǎng)。神舟七號(hào)飛船共計(jì)飛行2天20小時(shí)27分鐘。神舟七號(hào)飛船實(shí)現(xiàn)了中國人在太空中的第一次行走，具有劃時(shí)代的意義。神舟七號(hào)的運(yùn)行軌道與赤道的夾角為42°，其近地點(diǎn)距地面距離為200km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面距離為343km。神舟七號(hào)發(fā)射和運(yùn)行過程中設(shè)立了11個(gè)固定站點(diǎn)、開動(dòng)了5艘遠(yuǎn)望船艦對(duì)其進(jìn)行跟蹤測(cè)控，這11個(gè)站點(diǎn)的經(jīng)緯度等詳細(xì)信息如表3.1，為研究方便，本文已經(jīng)對(duì)其進(jìn)行了編號(hào)。表2 各個(gè)監(jiān)控站的地理位置站 點(diǎn)位置1北京站2喀什站3和田站4東風(fēng)站5青

21、島站6渭南站經(jīng)度116°23E75°59E79°E101°10E120°22E109°30E緯度39°54N39°28N37°07N42°N36°03N34°14N站點(diǎn)位置7廈門站8納米比亞站9卡拉奇站10馬林迪站11圣地亞哥站遠(yuǎn)洋一、二、三、五、六號(hào)經(jīng)度118°04E18°29E67°02E40°5E70°27W沒有固定位置，分布在各大洋，相繼移動(dòng)追蹤衛(wèi)星信號(hào)緯度24°26N22°57S24°5

22、1N3°17S33°26S5.3.2飛船在發(fā)射過程中的測(cè)控從神舟七號(hào)的發(fā)射日志中我們了解到如下關(guān)于神舟七號(hào)飛船的發(fā)射資料：21時(shí)09分許：火箭點(diǎn)火21時(shí)10分：神舟七號(hào)飛船升空點(diǎn)火第120秒,，火箭拋掉逃逸塔點(diǎn)火第159秒 ，火箭一二級(jí)分離成功點(diǎn)火第200秒，整流罩分離點(diǎn)火第500秒，二級(jí)火箭關(guān)機(jī)點(diǎn)火第583秒時(shí)，飛船與火箭成功分離飛船在上升階段有三個(gè)站，第一個(gè)是東風(fēng)站，就是發(fā)射場(chǎng)；第二個(gè)是渭南站，在西安附近；第三個(gè)是青島站。這三個(gè)測(cè)控站負(fù)責(zé)飛船在上升段的測(cè)量，因?yàn)樵谏仙A段火箭一直在中國境內(nèi)（更確切的說，一直在發(fā)射場(chǎng)附近），所以三個(gè)測(cè)控站實(shí)現(xiàn)了100%的測(cè)控覆蓋率。其次是

23、入軌階段，有兩條測(cè)量船“遠(yuǎn)望一號(hào)”和“遠(yuǎn)望二號(hào)”進(jìn)行實(shí)時(shí)跟蹤測(cè)控。飛船入軌的時(shí)候有很多動(dòng)作，如捕獲地球、建立正常運(yùn)行姿態(tài)、太陽帆板要展開、判斷軌道是否正確等，因?yàn)檫h(yuǎn)望號(hào)是可以調(diào)整位置的，所以覆蓋率也達(dá)到了100%。青島站在入軌后1分鐘還可以看，和“遠(yuǎn)望一號(hào)”測(cè)量船可以接上。這樣，飛船入軌以后5到6分鐘的情況地面都可以完全監(jiān)測(cè)到。入軌二十分鐘以后，“遠(yuǎn)望二號(hào)” 船再進(jìn)一步跟蹤判斷飛船入軌運(yùn)行情況。飛船入軌以后的測(cè)控情況參見下面模型的詳細(xì)分析。5.3.3 飛船在運(yùn)行過程中的測(cè)控因?yàn)樯裰萜咛?hào)宇宙飛船的運(yùn)行軌跡與赤道的夾角為42°，所以由問題二的結(jié)論可知，飛船的軌跡在地表的投影是北緯42&#

24、176;和南緯42°之間的寬帶，將這個(gè)寬帶展開，近似地看作一個(gè)矩形，則矩形的長(zhǎng)為赤道長(zhǎng)度，寬度為南北緯42°之間的弧長(zhǎng)，即然后將這11個(gè)固定站點(diǎn)定位到這個(gè)長(zhǎng)為、寬為的寬帶當(dāng)中去。其具體方法如下：以展開地球的南緯42°緯度線為橫坐標(biāo)軸、以經(jīng)線為縱坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，橫縱坐標(biāo)均以距離為度量，單位為千米。將地球近似看做球形，則每一度經(jīng)度、每一度緯度的跨越距離均為?；诖?，將上述11個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為如下表3的坐標(biāo)。表3 轉(zhuǎn)化后的站點(diǎn)的坐標(biāo)序號(hào)123456縱坐標(biāo)9005.48957.78699.39236.385828382.3橫坐標(biāo)98146450692782671070199

25、54序號(hào)7891011縱坐標(biāo)7350.54257.19427304.72094.7橫坐標(biāo)6688440022899118191871至此便完成了11個(gè)測(cè)控點(diǎn)到地面的投影。然后計(jì)算每個(gè)測(cè)控點(diǎn)的測(cè)控半徑，實(shí)際上計(jì)算的是每個(gè)測(cè)控點(diǎn)所輻射的圓錐在地表投影的圓的半徑，由圖13可得方程組：圖13根據(jù)上面得方程組可得，解以上方程，可得 ， （舍去）在中，由余弦定理可得進(jìn)一步，得（弧度），換算成角度是11.4206度。最后在扇形AOB中，求弦長(zhǎng)AB，即我們要求的觀測(cè)站觀測(cè)范圍在地面投影的半徑：也就是說每個(gè)站點(diǎn)所輻射的圓錐投影到地面的圓的半徑為1268.6km，因此可以在寬帶中以每個(gè)站點(diǎn)為圓心，以1268.6k

26、m為半徑作出每一個(gè)圓，如下圖所示，紅色線分別為北緯42°和南緯42°對(duì)應(yīng)的線。 圖14 測(cè)控站點(diǎn)測(cè)控區(qū)域地面投影圖由上圖可知，要計(jì)算測(cè)控站點(diǎn)的覆蓋率，可以轉(zhuǎn)化為近似的計(jì)算測(cè)控站點(diǎn)所輻射的圓的面積與寬帶總面積的比例。寬帶的面積為 （5.3.1）圓所覆蓋面積計(jì)算如下：從圖14可以看出，有兩個(gè)完整的圓包含在寬帶中并與其他圓不相交，面積為 （5.3.2）有一個(gè)圓有一部分落在了寬帶內(nèi)部，其方程為其與x軸交點(diǎn)為（23749，0）、（22049，0），并且它落入寬帶中的部分圓的面積為： （5.3.3）余下的8個(gè)圓相互交疊，需要計(jì)算其覆蓋的面積。首先得到每一個(gè)圓的方程： （5.3.4）以上

27、8個(gè)圓的交疊中共有6個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的交點(diǎn)，它們決定了覆蓋區(qū)域的輪廓。又因?yàn)橛袃蓚€(gè)交點(diǎn)非常接近，為了便于計(jì)算，我們將其視為同一個(gè)點(diǎn)。另外還有兩個(gè)重要的點(diǎn)是其與北緯42°線的交點(diǎn)，將其覆蓋面放大如下圖：圖15 交疊圓放大、分割圖計(jì)算方程組（5.3.4），可以得到六個(gè)邊界點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（5604.5，8011.06）、B（7859.71，7838.92）、C（8728.24，8054.0175）、D（10551，7262.2）、E（11970，8565.0）；與北緯42°線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為G（5211.55，9236）、F（11788.4，9236）。將以上重疊區(qū)域分割為8個(gè)部分，分別

28、為GKA、KABH、AB、BHIC、ICDJ、JDEF、DE、EF。因此重疊部分面積計(jì)算為： （5.3.5）其中代表線段AB下方弓形的面積，代表線段DE下方弓形的面積，而弧GA、弧BC、弧CD、弧EF的曲線方程見5.3.4式。代入實(shí)際數(shù)據(jù)得：所以測(cè)控覆蓋率為： （5.3.6）另外，以上計(jì)算的只是11個(gè)固定的測(cè)控點(diǎn)的測(cè)控覆蓋率，而神舟七號(hào)在發(fā)射和運(yùn)行過程中還有5艘遠(yuǎn)望船艦。因?yàn)檫@5艘船是可以隨時(shí)變動(dòng)地點(diǎn)的，所以我們近似認(rèn)為其測(cè)控輻射的圓都是完全落在寬帶中的，則有，那么此時(shí)全部16個(gè)測(cè)控點(diǎn)的覆蓋率為： （5.3.7）由以上的建模和分析，我們發(fā)現(xiàn)，在發(fā)射過程中，由于上升階段火箭偏離發(fā)射中心的距離并不

29、大而且附近布設(shè)的測(cè)控點(diǎn)數(shù)目又多，所以基本可以達(dá)到100%的測(cè)控率；而在運(yùn)行階段，測(cè)控的覆蓋率維持在13%至25%的范圍，但是由于在本次神七發(fā)射過程中“天鏈一號(hào)”中繼衛(wèi)星的同時(shí)發(fā)射，使得覆蓋率遠(yuǎn)遠(yuǎn)上升，達(dá)到了60%以上，可以較好的完成測(cè)控任務(wù)。6 模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)6.1模型的優(yōu)點(diǎn)1.本文依據(jù)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃惴ń⒘丝茖W(xué)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，成功解決了所提出的三個(gè)問題；2.在解決問題二時(shí)，本文從兩個(gè)不同的角度出發(fā)，一個(gè)是從一個(gè)投影的角度考慮，一個(gè)是從運(yùn)動(dòng)合成的角度考慮，建立了兩個(gè)完全不同的模型，但均取得了良好的計(jì)算結(jié)果；3.問題三的求解中，本文對(duì)發(fā)射過程和運(yùn)行過程分別討論，分別建立模型進(jìn)行了求解；4.在問題三的

30、求解過程中，本文成功的畫出了每個(gè)測(cè)控點(diǎn)輻射圓錐在地球表面的投影，并且在計(jì)算重疊區(qū)域的面積時(shí)，本文使用了圖像分割、定積分求解的方法精確的計(jì)算出了重疊區(qū)域面積。6.2模型的缺點(diǎn)及改進(jìn)1.在問題一中我們假設(shè)了觀測(cè)站是均勻分布的，這與實(shí)際情況是不一致的。因?yàn)橛^測(cè)站的選址要考慮地形、氣候等多方面影響，理論上適合建立觀測(cè)站的位置可能由于地形、氣候、人文條件等因素的影響而無法實(shí)現(xiàn)；2.問題二中，如果測(cè)控站投影直徑遠(yuǎn)小于寬帶的寬度，那么問題將會(huì)轉(zhuǎn)化成如何用最少的圓去覆蓋固定矩形的類似于最小覆蓋問題，本文并沒有對(duì)此做更深入的探討，這是更進(jìn)一步改進(jìn)的一個(gè)重點(diǎn)方面。3.在問題三中，雖然本文將發(fā)射過程和運(yùn)行過程的測(cè)控

31、進(jìn)行了分開考慮，但是由于火箭發(fā)射過程中行走的軌道是完全不可知的（這是航天專家組長(zhǎng)期研究制定的），而且這段時(shí)間火箭受到各種作用而不斷的改變飛行姿態(tài)和角度，因而仿真也是無法實(shí)現(xiàn)的，所以極難建立準(zhǔn)確模型求解。慶幸的是，我們查閱資料得知了發(fā)射過程時(shí)測(cè)控率是100%的。如果能有升空階段軌道的微分方程，那么問題便會(huì)變得迎刃而解。附 錄1. 衛(wèi)星監(jiān)控站的理想分布圖t=.0:.01:2*pi;x=4*cos(t);y=4*sin(t);x1=10*cos(t);y1=10*sin(t);x2=3*cos(t);y2=18*sin(t)-4;plot(x,y,x1,y1,x2,y2)axis offtitle(

32、'衛(wèi)星監(jiān)控站的理想分布狀態(tài)')2. 衛(wèi)星近圓軌道的動(dòng)力行為模擬x=2.5; y=0.2;dt=0.001;A=1.5;B=3.6;for i=1:15000 x1=x+(A-(B+1)*x+x2*y)*dt; y1=y+(B*x-x2*y)*dt; plot(x1,y1); hold on; x=x1;y=y1;end3. 衛(wèi)星的動(dòng)力系統(tǒng)函數(shù)文件function dx=myfun(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(2);dx(2)=6*sin(2*t)/(1+3*sin(t)*sin(x(2)2-0.25*sqrt(1+sin(2*t)*sin(t);4. 求解衛(wèi)星動(dòng)力系統(tǒng)的代碼clear;x45 y45=ode45('myfun',0:20:500,0.0 0.0);plot(x45,y45,'.-')ylabel('飛船離地面高度/千米')xlabel('飛船發(fā)射后各個(gè)時(shí)刻/秒')5. 同一平面內(nèi)均勻分布的監(jiān)測(cè)站和衛(wèi)星高度關(guān)系H=6375:.1:10000;N=pi./(87*pi/1