2011年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備 極限-數(shù)列的極限、數(shù)學(xué)歸納法

1、第92-93課時：第十二章 極限數(shù)列的極限、數(shù)學(xué)歸納法課題：數(shù)列的極限、數(shù)學(xué)歸納法一知識要點（一） 數(shù)列的極限1.定義：對于無窮數(shù)列an，若存在一個常數(shù)A，無論預(yù)選指定多么小的正數(shù)，都能在數(shù)列中找到一項aN，使得當(dāng)n>N時，|an-A|<恒成立，則稱常數(shù)A為數(shù)列an的極限，記作.2.運算法則：若、存在，則有 ；3.兩種基本類型的極限：<1> S=<2>設(shè)、分別是關(guān)于n的一元多項式，次數(shù)分別是p、q，最高次項系數(shù)分別為、且,則4.無窮遞縮等比數(shù)列的所有項和公式： （|q|<1）無窮數(shù)列an的所有項和： （當(dāng)存在時） （二）數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然

2、數(shù)n有關(guān)命題的一種常用方法，其證題步驟為：驗證命題對于第一個自然數(shù) 成立。假設(shè)命題對n=k(k)時成立,證明n=k+1時命題也成立.則由,對于一切n 的自然數(shù),命題都成立。二、例題（數(shù)學(xué)的極限）例1.（1）= ;2）數(shù)列an和bn都是公差不為0的等差數(shù)列，且=3,則= （3.）(a>1)= ;（4）= ;（5）.= ;（6）等比數(shù)列an的公比為q=1/3,則= ;例2將無限循環(huán)小數(shù)；1.32化為分?jǐn)?shù).例3已知,求實數(shù)a,b的值;例4數(shù)列an,bn滿足(2an+bn)=1, (an2bn)=1,試判斷數(shù)列an,bn的極限是否存在，說明理由并求(anbn)的值.例5設(shè)首項為a，公差為d的等差

3、數(shù)列前n項的和為An ,又首項為a,公比為r的等比數(shù)列前n項和為Gn ,其中a0,|r|<1.令Sn=G1+G2+Gn,若有=a,求r的值.例6設(shè)首項為1，公比為q(q>0)的等比數(shù)列的前n項之和為Sn,又設(shè)Tn=,求.例7an的相鄰兩項an,an+1是方程x2cnx+=0的兩根，又a1=2,求無窮等比c1,c2,cn, 的各項和.例8在半徑為R的圓內(nèi)作內(nèi)接正方形，在這個正方形內(nèi)作內(nèi)切圓，又在圓內(nèi)作內(nèi)接正方形，如此無限次地作下去，試分別求所有圓的面積總和與所有正方形的面積總和。rnrn+1an例9如圖，B1，B2，Bn,順次為曲線y=1/x(x>0)上的點，A1，A2，An順

4、次為ox軸上的點，且三角形OB1A1，三角形A1B2A2，三角形An1BnAn為等腰三角形（其中Ð Bn為直角),如果An的坐標(biāo)為(xn,0).(1)求出An的橫坐標(biāo)的表達式;An1A1A2AnBnB3B2B1yxO(2)求.二例題（數(shù)學(xué)歸納法）例1用數(shù)學(xué)歸納法證明2n>n2 (nN,n³5),則第一步應(yīng)驗證n= ;例2用數(shù)學(xué)歸納法證明,第一步驗證不等式 成立；例3.是否存在常數(shù)a,b,c,使得等式1·222·32n(n1)2(an2bnc)對一切自然數(shù)n成立？并證明你的結(jié)論.(89年)例4.已知數(shù)列an=,記Sn=a1+a2+a3+an,用數(shù)學(xué)歸

5、納法證明Sn=(n+1)an-n.例5證明：> (nN,n³2)例6證明：xnnan1x+(n1)an能被(xa)2整除(a0).例7.在1與2之間插入個正數(shù)，使這個數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入個正數(shù)使這個數(shù)成等差數(shù)列記（）求數(shù)列和的通項；（）當(dāng)時，比較與的大小，并證明你的結(jié)論例8若數(shù)列an滿足對任意的n有：Sn=,試問該數(shù)列是怎樣的數(shù)列？并證明你的結(jié)論.例9已知數(shù)列是等差數(shù)列，。（）求數(shù)列的通項；（）設(shè)數(shù)列的通項（其中，且），記是數(shù)列的前n項和。試比較與的大小，并證明你的結(jié)論。練習(xí)（數(shù)列的極限）1. 已知an是等比數(shù)列,如果a1a2a318,a2a3a49,Sna1a2a

6、n,那么的值等于( )(89年)(A)8(B)16(C)32(D)482. 的值等于( )(91年)(A)0(B)1(C)2(D)33.在等比數(shù)列an中,a11,且前n項和Sn滿足,那么a1的取值范圍是( )(98年)(A)(1,)(B)(1,4)(C)(1,2)(D)(1,)7.)等于 ( ) (A)0 (B) ¥ (C) (D)58等于：（A）16 （B）8 （C）4（D）29 已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的首項a1=1,公比為q,前n項和為Sn,=1,則公比q的取值范圍是： （A）.q1 （B）.0<q1 （C）.0<q<1 （D）.q>110.的值為

7、 ( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)不存在11.已知an是公差不為0的等差數(shù)列，Sn是an的前n項和，那么等于_.12.已知等差數(shù)列an的公差d0，首項a10，S_.(93年)13.如果存在，且，則_14._.(86年)15._.(87年)16.已知等比數(shù)列an的公比q1，a1b(b0)，則_.17求= （a>0);18數(shù)列,的前n項和及各項和S= .19.= .20.已知數(shù)列a1,a2,an,的前項和Sn與an的關(guān)系是Snban1,其中b是與n無關(guān)的常數(shù),且b1；.求an和an1的關(guān)系式; .寫出用n和b表示an的表達式;.當(dāng)0b1時,求極限Sn.(87年)21在邊長為a的正方

8、形ABCD中內(nèi)依次作內(nèi)接正方形AiBiCiDi(i=1,2,3,),使內(nèi)接正方形與相鄰前一個正方形的一邊夾角為a,求所有正方形的面積之和.a 22已知直線L：xny=0(nN),圓M：(x+1)2+(y+1)2=1,拋物線:y=(x1)2,又L與M交于點A、B，L與交于點C、D，求.23.設(shè)a (n1,2,3),b (n1,2,3),用極限定義證明.(85年)練習(xí)（數(shù)學(xué)歸納法）1由歸納原理分別探求：(1)凸n邊形的內(nèi)角和f(n)= ;(2)凸n邊形的對角線條數(shù)f(n)= ;(3)平面內(nèi)n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且任意三個圓不相交于同一點，則該n個圓分平面區(qū)域數(shù)f(n)= .2平面上有n

9、條直線，且任何兩條不平行，任何三條不過同一點，該n條直線把平面分成f(n) 個區(qū)域，則f(n+1)=f(n)+ .3當(dāng)n為正奇數(shù)時，求證xn+yn被x+y整除，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n=2k1時命題為真，進而需驗證n= ，命題為真。4用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)(n+2)(n+n)=2n´1´2´3´(2n1)(nN),從“k到k+1”左端應(yīng)增乘的代數(shù)式為 .5.用數(shù)學(xué)歸納法證明：an+1+(a+1)2n -1可以被a2+a+1整除(nN).6若ai>0(i=1,2,3,n),且a1+a2+an=1,證明：a12+a22+an2³. (n³2,nN)7已知An=(1+lgx)n,Bn=1+nlgx+lg2x,其中nN,n³3,試比較AN與Bn的大小.8數(shù)列an中，.9.試證：不論正數(shù)a,b,c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n>1,nN且a,b,c互不相等時，都有an+cn>2bn.(nN).10.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且a1=1,Sn=n2an (nN),(1) 試求出S1,S2,S3,S4,