高中含參數(shù)恒成立不等式問題的解題策略(共15頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上含參數(shù)恒成立不等式問題的解題策略 一、主元變換法例1已知關(guān)于的不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.分析：本題是對含參數(shù)的不等式在某個區(qū)間上恒成立，用主元變換法處理.解析：將其化為關(guān)于的不等式：對恒成立，當(dāng)=1時，不等式化為0>0，不成立.當(dāng)1時，關(guān)于的一次函數(shù)=在-2,4上的值恒為正值，無論一次項系數(shù)為正還是為負(fù)，只需要，即，解得或.所以實數(shù)的取值范圍.點評：對含參數(shù)的不等式在某個區(qū)間上恒成立問題，若將其看成關(guān)于已知范圍的變量的不等式更為簡單，常將已知范圍的變量看作主變量，化為關(guān)于已知范圍的變量的不等式，結(jié)合對應(yīng)的函數(shù)圖像，得出其滿足的條件，通過解不等式求解.二、

2、數(shù)形結(jié)合法例2已知關(guān)于的不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.分析：本題是一邊為二次式另一邊是對數(shù)式的不等式問題，用數(shù)形結(jié)合法.解析：作出=和的圖像，由題意知對，=圖像恒在的圖像的下方，故，解得,故實數(shù)的取值范圍為.點評：對不等式經(jīng)過移項等變形，可化為兩邊是熟悉的函數(shù)的形式，特別是可化為一邊為多項式另一邊是超越函數(shù)的不等式問題和含參數(shù)的一元二次不等式問題，常常用數(shù)形結(jié)合法，先構(gòu)造函數(shù)，再作出其對應(yīng)的函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像找出其滿足的條件，通過解不等式求出參數(shù)的范圍.例3.對任意實數(shù)不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.分析：設(shè)=,對任意實數(shù)不等式恒成立即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)=的最小值，畫出此函數(shù)的圖象即可求得的取

3、值范圍.解：令=在直角坐標(biāo)系中畫出圖象如圖所示，由圖象可看出，要使對任意實數(shù)不等式恒成立只需.故實數(shù)的取值范圍點評：本題中若將對任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍，改為任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍，同樣由圖象可得3;對任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍,構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象，得3.利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍.三、分離變量法例3已知函數(shù)在R上是減函數(shù)，對一切不等式 成立，求實數(shù)的取值范圍.分析:先用函數(shù)的單調(diào)性化為關(guān)于的不等式，再用分離變量法，化為一端關(guān)于的

4、式子另一端是關(guān)于的式子的不等式，解析：函數(shù)在R上是減函數(shù)，對一切不等式 成立，對一切恒成立，對一切恒成立，設(shè)=， =，當(dāng)=1即=（）時，=2，2， 解得或3，實數(shù)的取值范圍為或3.點評：對含參數(shù)不等式的在某個范圍上恒成立求參數(shù)范圍問題,若容易通過恒等變形將兩個變量分別置于不等號的兩邊，即化為不等式(或>)在的某個范圍上恒成立問題,則(),先求出的最值，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式問題，通過解不等式求出參數(shù)的取值范圍.四、分類討論法例4當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.分析：本題不等式左邊是對數(shù)式，底數(shù)含參數(shù)，故需要對底數(shù)分類討論.解析：原不等式可化為：，當(dāng)01 時，對數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，則原不

5、等式等價于：對恒成立， 當(dāng)時，=8， 8，解得，或；當(dāng)1 時，對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，則原不等式等價于：對恒成立， 當(dāng)時，=2， 2，解得，或 1，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.點評：對含參數(shù)恒成立的不等式問題，若參數(shù)取值不同，是不同的不等式或解法不同時，可對參數(shù)進(jìn)行分類討論進(jìn)行求解，注意分類要做到不重不漏.五、判別式法例5不等式1對R恒成立，求實數(shù)的取值范圍.分析：本題左邊是分子和分母都為關(guān)于二次三項式，可用判別式法.解析：0恒成立， 原不等式可化為：0對R恒成立，2>0， =0，解得13，實數(shù)的取值范圍為（1，3）.點評：對可化為關(guān)于一元二次不等式對對R（或去掉有限個點）恒成立，常用判別式法

6、.先將其化為關(guān)于一元二次不等式，結(jié)合對應(yīng)的一元二次函數(shù)圖像，確定二次項系數(shù)與判別式滿足的條件，化為關(guān)于參數(shù)的不等式問題，通過解不等式求解.注意二次是否可為0.六、最值法例6若已知不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.分析：本題是一元二次不等式在某個區(qū)間上恒成立問題，將其化為一邊是關(guān)于的二次式的另一邊為0的形式，其對應(yīng)的函數(shù)最值易求，故用最值法.解析：原不等式可化為：0對恒成立，設(shè)=()=，對稱軸=且離2遠(yuǎn)，故=2時，=，要使0對恒成立，只需=0即可，解得，實數(shù)的取值范圍為.點評：對含參數(shù)的不等式恒成立問題，可將其化為0（或0）在的某個范圍上恒成立問題，則0(0),先求出的最值，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等

7、式問題，通過解不等式求出參數(shù)的取值范圍.1. （1）若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍；（2）若關(guān)于的不等式的解集不是空集，求實數(shù)的取值范圍w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2 三個同學(xué)對問題“關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍”提出各自的解題思路甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，求的取值范圍.3. 已知向量若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求t的取值范圍.4. 已知函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).（1）對滿足的一

8、切的值，都有，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，當(dāng)實數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時，函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點.5. 求與拋物線相切于坐標(biāo)原點的最大圓的方程.6. 設(shè)，二次函數(shù)若的解集為， ，求實數(shù)的取值范圍.7. 已知函數(shù)，. 若，且存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；8. 設(shè)是函數(shù)的一個極值點.（）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，,若存在使得成立，求的取值范圍.9. 已知函數(shù) （1）求的單調(diào)區(qū)間和值域；（2）設(shè)，函數(shù),若對于任意,總存在使得成立，求a的取值范圍.10. 求實數(shù)的取值范圍，使得對任意實數(shù)和任意，恒有：。11. 已知是函數(shù)的一個極值點，其中。（I）求與的關(guān)系式；（II）求的單

9、調(diào)區(qū)間；（III）當(dāng)時，函數(shù)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3，求的取值范圍.12. 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，a26，a311，且其中A,B為常數(shù).（）求A與B的值；（）證明數(shù)列an為等差數(shù)列；（）證明不等式對任何正整數(shù)m、n都成立.13. 對于滿足|a|2的所有實數(shù)a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范圍。14. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，若，有，（1）證明在上的單調(diào)性；（2）若對所有恒成立，求的取值范圍。15. 若函數(shù)在R上恒成立，求m的取值范圍。16. 已知函數(shù)，在R上恒成立，求的取值范圍。若時，恒成立，求的取值范圍。若時，恒成立，求的取值范

10、圍。 若對任意的實數(shù)，恒成立，求的取值范圍。分析：這是有關(guān)三角函數(shù)的二次問題，運用到三角函數(shù)的有界性。已知函數(shù)，常數(shù)，求（1）函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)滿足什么條件時在區(qū)間上恒取正。答案：1.（1）設(shè).則關(guān)于的不等式的解集為在上恒成立,即解得（2）設(shè).則關(guān)于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或.2. 關(guān)鍵在于對甲，乙，丙的解題思路進(jìn)行思辨，這一思辨實際上是函數(shù)思想的反映.設(shè).甲的解題思路，實際上是針對兩個函數(shù)的，即把已知不等式的兩邊看作兩個函數(shù)，設(shè)其解法相當(dāng)于解下面的問題：對于,若恒成立,求的取值范圍.所以，甲的解題思路與題目,恒成立,求的取值范圍的要求不一致.因而, 甲的解題思路不能解決本

11、題.按照丙的解題思路需作出函數(shù)的圖象和的圖象,然而,函數(shù)的圖象并不容易作出.由乙的解題思路,本題化為在上恒成立,等價于時, 成立.由在時,有最小值,于是,.3. 依定義在區(qū)間上是增函數(shù)等價于在區(qū)間上恒成立;而在區(qū)間上恒成立又等價于在區(qū)間上恒成立;設(shè)進(jìn)而在區(qū)間上恒成立等價于考慮到在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),則. 于是, t的取值范圍是.4. 解法1.由題意，這一問表面上是一個給出參數(shù)的范圍，解不等式的問題，實際上，把以為變量的函數(shù)，改為以為變量的函數(shù)，就轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立的問題，即 令，則對，恒有，即，從而轉(zhuǎn)化為對，恒成立，又由是的一次函數(shù)，因而是一個單調(diào)函數(shù)，它的最值在定義域的端點得到.為此

12、只需 即解得.故時，對滿足的一切的值，都有.解法2.考慮不等式.由知,于是,不等式的解為 .但是,這個結(jié)果是不正確的,因為沒有考慮的條件,還應(yīng)進(jìn)一步完善.為此,設(shè).不等式化為恒成立,即.由于在上是增函數(shù),則,在上是減函數(shù),則所以, .故時，對滿足的一切的值，都有.5. 因為圓與拋物線相切于坐標(biāo)原點,所以,可設(shè).由題意, 拋物線上的點除坐標(biāo)原點之外,都在圓的外邊.設(shè)和圓心的距離為,則本題等價于 在的條件下,恒成立.整理式得 于是,本題又等價于式在的條件下,恒成立.即,由得 ,即.所以,符合條件的最大圓的半徑是,最大圓的方程為6.解法一：由題設(shè),. 的兩個根為顯然,. (1) 當(dāng)時, (2) 當(dāng)時

13、, , .于是,實數(shù)的取值范圍是.解法二:(1) 當(dāng)時,因為的圖象的對稱軸，則對，最大， (2) 當(dāng)時, 在或?qū)崿F(xiàn),由,則于是,實數(shù)的取值范圍是.這個解法的關(guān)鍵是用函數(shù)思想指導(dǎo),學(xué)會用函數(shù)和變量來思考.7. 只研究第（I）問.，則因為函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有解.由題設(shè)可知,的定義域是 ,而在上有解,就等價于在區(qū)間能成立,即, 成立, 進(jìn)而等價于成立,其中.由得,.于是,由題設(shè),所以a的取值范圍是8. 本題的第（） “若存在使得成立，求的取值范圍.”如何理解這一設(shè)問呢？如果函數(shù)在的值域與在的值域的交集非空，則一定存在使得成立，如果函數(shù)在的值域與在的值域的交集是空集，只要這兩個值域的距離的最小

14、值小于1即可.由（）可得,函數(shù)在的值域為,又在的值域為,存在使得成立，等價于或，容易證明,.于是, .9. （1）對函數(shù)求導(dǎo)，得 令解得可以求得，當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，是增函數(shù).當(dāng)時，的值域為.（2）對函數(shù)求導(dǎo)，得因為，當(dāng)時，因此當(dāng)時，為減函數(shù)，從而當(dāng)時有又即時有的值域為是如何理解“任給，存在使得”，實際上，這等價于值域是值域的子集，即這就變成一個恒成立問題，的最小值不小于的最小值，的最大值不大于的最大值即解式得 ；解式得又，故a的取值范圍為10. 提示：原不等式 答案：或11. 分析一：前面兩小題運用常規(guī)方法很快可以得到，(I) （II）當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（III）

15、為對恒成立，即3(1)(1+)>3<0，(1)(1+)<1(*)1°=1時，(*)化為0<1恒成立，<02°1時，1,1，21<0運用函數(shù)思想將(*)式化為<(1)，令=1，則2,0，記，則在區(qū)間2,0是單調(diào)增函數(shù)；由(*)式恒成立，必有，又<0，則綜合1°、2 °得分析二：（III）中的，即對恒成立，即運用函數(shù)思想將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)值大于0，設(shè)，再運用數(shù)形結(jié)合思想，可得其函數(shù)開口向上，由題意知式恒成立，解之得又所以即的取值范圍為。 通過上述的等價轉(zhuǎn)化，使恒成立的解決得到簡化，其中也包含著函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合

16、思想的綜合運用。12. 分析：本題是一道數(shù)列綜合運用題，第一問由a1、a2、a3求出s1、s2、s3代入關(guān)系式，即求出A=-20、B=-8；第二問利用公式，推導(dǎo)得證數(shù)列an為等差數(shù)列.由于an=1+5(n-1)=5n-4，故第三問即是證明對任何正整數(shù)m、n恒成立.對此復(fù)雜的恒成立問題，我們可以用分析法將此恒成立問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，由于要等價轉(zhuǎn)化故需要先移項再兩邊平方，整理得：，而基本不等式得到：，因此要證明原不等式恒成立，只要證5(m+n)-8<20(m+n)-37，將其等價變形即為15(m+n)>29，而此式對任何正整數(shù)m、n都能成立。通過等價轉(zhuǎn)化，將原來恒成立不等式得到大大簡化，

17、從而將復(fù)雜問題簡單化。13. 分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：x及a,關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數(shù)。顯然可將a視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在-2，2內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x-1)a+x2-2x+1>0,設(shè)f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,則f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x<-1或x>3.14. 分析：第一問是利用定義來證明函數(shù)的單調(diào)性，第二問中出現(xiàn)了3個字母，最終求的是的范圍，所以根據(jù)上式將當(dāng)作變量，作為常量，而則根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可。（1） 簡證：任取且，則 又是奇函數(shù) 在上單調(diào)遞增。（2） 解：對所有，恒成立，即， 即在上恒成立。 。15. 分析：該題就轉(zhuǎn)化為被開方數(shù)在R上恒成立問題，并且注意對二次項系數(shù)的討論。略解：要使在R上恒成立，即在R上恒成立。 時， 成立 時，由，可知，16. 分析：的函數(shù)圖像都在X軸上方，即與X軸沒有交點。略解：，令在上的最小值為。當(dāng)，即時， 又 不存在。當(dāng)，即時， 又 當(dāng)，即時， 又 總上所述，。解法一：分析：題目中要證明在上恒成立，若