初二數(shù)學特殊的平行四邊形——正方形人教實驗版

1、初二數(shù)學特殊的平行四邊形正方形人教實驗版鄭山中學:王英 【本講教育信息】一、教學內(nèi)容：特殊的平行四邊形正方形1. 掌握正方形的定義，弄清楚正方形和平行四邊形、矩形、菱形的關系. 2. 掌握正方形的性質(zhì)和判定方法. 二、知識要點：1. 正方形（1）定義：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形. （2）正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形和菱形的所有性質(zhì). 正方形各邊的性質(zhì)：四條邊相等，對邊平行. 正方形各角的性質(zhì)：四個角都是直角. 正方形對角線的性質(zhì)：正方形的對角線互相平分、互相垂直、相等，且每一條對角線平分一組對角. 正方形的對稱性：正方形是軸對稱圖形，對邊中點所在直線和對角

2、線所在直線都是正方形的對稱軸. （3）正方形的識別：有一組鄰邊相等的矩形是正方形；對角線互相垂直的矩形是正方形；一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形；對角線相等的菱形是正方形；有一組鄰邊相等且互相垂直的平行四邊形是正方形；對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形. 2. 平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系三、重點難點：本講重點是正方形的性質(zhì)，難點是平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的共性，特性及從屬關系. 【典型例題】例1. 如圖所示，已知正方形ABCD，點E是AB延長線上一點，連結(jié)EC，作AGEC于G，AG交BC于F，求證：AFCE. 分析：AF、CE分別在RtABF與RtCBE中，可考慮證明

3、它們?nèi)?，而四邊形ABCD為正方形，有相等的直角和相等的邊，為證全等提供了條件. 證明：因為四邊形ABCD是正方形，所以ABBC，ABCCBE90°. 因為AGCE，所以CGF90°，所以BCECFG90°，BCEE90°，所以CFGE，又因為CFGAFB，所以EAFB. 所以ABFCBE（SAS）. 所以AFCE. 例2. 把一張矩形紙片像圖中那樣折一下，再沿CD剪下，則紙片ABCD是什么樣的四邊形？說明理由. 分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)和圖形折疊前后的變化規(guī)律判斷四邊形ABCD的形狀. 解：正方形. 理由如下：因為這是一張矩形紙片，所以BADB90

4、6;. ADC是ABC折疊得到的，即ABCADC. 所以ADCB90°，所以四邊形ABCD是矩形. 又ABAD，所以紙片ABCD是正方形. 例3. 如圖所示，E是正方形ABCD的對角線BD上一點，EFBC，EGCD，垂足分別是F、G. 試說明AEFG. 分析：由EFBC，EGCD可得矩形EFCG，則FGEC，再證ABECBE，得AEEC，即可得到AEFG. 解：連結(jié)EC，因為四邊形ABCD是正方形，EFBC，EGCD，所以四邊形EFCG為矩形. 所以FGCE. 因為BD是正方形ABCD的對角線. 所以ABECBE. 又BEBE，ABCB，所以ABECBE. 所以AEEC，所以AEFG

5、. 評析：用CE溝通AE和FG之間的聯(lián)系. 例4. （1）下列命題中正確的是（ ）A. 兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形B. 兩條對角線相等的四邊形是矩形C. 兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形D. 兩條對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形（2）如圖所示，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若再補充一個條件能使菱形ABCD成為正方形，則這個條件是_（只填一個條件即可）. （3）如圖所示，在四邊形ABCD中，ADBC，D90°，若再添加一個條件，就能推出四邊形ABCD是矩形，你所添加的條件是_. （寫出一種情況即可）分析：（1）這個問題可以這樣考慮：對角線互相平分的四邊形是

6、平行四邊形；對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形. 故選A. （2）這個問題實際上是問什么樣的菱形是正方形？有一個角是直角的菱形是正方形，對角線相等的菱形是正方形，考慮角可補充的條件是BAD90°或ADAB；考慮對角線補充：ACBD. （3）本題應考慮和角相關的矩形的識別方法，有一個角是直角的平行四邊形是矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形. 可添加的條件是A90°或B90°，ADBC，ABCD等. 解：（1）A（2）BAD90°（或ADAB，ACBD等）（3）A90°或A

7、DBC或ABCD例5. 如圖所示，正方形ABCD，對角線AC、BD相交于點O，菱形AEFC，EHAC，垂足為H，求證：EHFC. 分析：要證EHFC，EH在矩形OBEH中，得EHOBBD，而FC是菱形AEFC的邊，CFACBD，所以EHFC，問題的關鍵是要證四邊形OBEH是矩形. 證明：由正方形ABCD得ACBD，ACBD，BOC90°. 又因為EHAC，所以EHOB. 又因為四邊形AEFC是菱形，得ACCF，ACEF，所以OHBE. 因此四邊形OBEH是矩形，因此EHOBBDACFC. 評析：綜合考查了正方形、菱形的性質(zhì)和矩形的判定方法. 【方法總結(jié)】正方形是特殊的平行四邊形，是特

8、殊的矩形，是特殊的菱形. 它具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì). 分清楚這幾種圖形的從屬關系，從關系圖中確定它們性質(zhì)的相同點和不同點. 【模擬試題】（答題時間：60分鐘）一. 選擇題1. 下列選項中，正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（ ）A. 四邊都相等B. 四角都相等C. 對角線相等D. 對角線互相平分2. 正方形的對角線長為a，則它的對角線的交點到各邊的距離是（ ）A. aB. aC. D. 2a3. 正方形是軸對稱圖形，那么它的對稱軸的條數(shù)為（ ）A. 2B. 3C. 4D. 54. 在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的條件是（ ）A. ACBD，ABCD

9、B. ADBC，ACC. AOBOCODO，ACBDD. AOCO，BODO，ABBC5. 下列命題中，真命題是（ ）A. 兩條對角線相等的四邊形是矩形B. 兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形C. 兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形D. 兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形6. 已知四邊形ABCD中，ABC90°，如果添加一個條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個條件可以是（ ）A. D90°B. ABCDC. ADBCD. BCCD*7. 如圖1所示，將長為20cm，寬為2cm的長方形白紙條，折成圖2所示的圖形并在其一面著色，則著色部分的面積為（ ）A. 34cm

10、2B. 36cm2C. 38cm2D. 40cm2 二. 填空題1. 具有平行四邊形、矩形和菱形性質(zhì)的四邊形是_. 2. 已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且AC12cm，則BO_cm，OAB_度. 3. 任意一個平行四邊形，當它的一個銳角增大到_度時，就變成了矩形；當它的一組鄰邊變到_時，就變成了菱形；當它的兩條對角線變到_時，就變成了正方形. 4. 矩形、菱形、正方形都是特殊的四邊形，它們具有很多共性，如：_（填一條即可）. 5. 正方形的面積為49，則它的邊長為_，對角線長為_. *6. 如圖所示，在正方形ABCD中，E是BD上一點，過E作EFBC于F，EGCD于G，若正方

11、形ABCD的周長是a，則四邊形EFCG的周長為_. *7. 如圖所示，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上的一點，BE1，F(xiàn)為AB上的一點，AF2，P為AC上的一動點，則當PFPE為最小值時，PFPE_. 三. 解答題 1. 如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，OEOF，求證：OCFOBE. 2. 如圖所示，在ABC中，C90°，CD平分ACB，DEBC，DFAC，垂足分別為點E、F. 求證：四邊形CFDE是正方形. *3. 如圖所示，點E、F分別為正方形ABCD邊AB、BC的中點，DF、CE交于點M，CE的延長線交DA的延長線于G，試探索：（1）DF與CE的位置關系；

12、（2）MA與DG的大小關系. *4. 如圖，四邊形ABCD是正方形，G是BC上任意一點（點G與B、C不重合），AEDG于E，CFAE交DG于F. （1）在圖中找出一對全等三角形，并加以證明；（2）求證：AEFC+EF. 【試題答案】一. 選擇題1. A 2. B 3. C 4. C 5. D 6. D 7. B二. 填空題1. 正方形 2. 6，45 3. 90，相等，垂直且相等 4. 對邊平行、對角線互相平分、對角相等等 5. 7，7 6. a 7. 三. 解答題1. 提示：證明OCFOBE可得2. 先證四邊形DECF是矩形，又DEDF，四邊形CFDE是正方形3. （1）DFCE 提示：先證EBCFCD，得ECBFDC，根據(jù)互余的關系，求出CMF90°即可. （2）由GAECBE得GACB，再根據(jù)直角三角形斜邊上