242函數(shù)的極值

1、3.7 3.7 函數(shù)的極值函數(shù)的極值( (一一) )yyyyyyyy年年M M月月d d日星期日星期W W 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論：.)(,)(.)(,)()(,)()(常常數(shù)數(shù)為為則則如如果果在在某某個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)恒恒有有在在這這個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)為為減減函函數(shù)數(shù)則則函函數(shù)數(shù)區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)為為增增函函數(shù)數(shù)；如如果果在在這這個(gè)個(gè)在在這這個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)則則函函數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)果果在在這這在在某某個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，如如設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xfyxfxfyxfxfyxfxfy000復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 回回 顧顧（一）函數(shù)的極值的定義（一）函數(shù)的極值的定義 觀察下面的函

2、數(shù)觀察下面的函數(shù) y = f (x) 的圖象：的圖象：Oxyaf (a)Oxybf (b) 新新 課課 教教 學(xué)學(xué) Oxyaf (a) 定義：定義：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 附近有定義，如果對(duì)附近有定義，如果對(duì) x0 附近的所有的點(diǎn)，都有附近的所有的點(diǎn)，都有 f (x) f (x0) , 我我們就說(shuō)們就說(shuō) f (x0) 是函數(shù)是函數(shù) f (x) 的一個(gè)的一個(gè)極小值極小值，記作，記作 y 極小值極小值 = f (x0) .Oxybf (b)極大值與極小值統(tǒng)稱為極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值. 在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是，極值點(diǎn)是自變量

3、的值，極值指的是函數(shù)值自變量的值，極值指的是函數(shù)值注意以下幾點(diǎn)注意以下幾點(diǎn)：（）極值是一個(gè)局部概念由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)）極值是一個(gè)局部概念由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小, 并不并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小;（）函數(shù)的極值不是唯一的）函數(shù)的極值不是唯一的, 即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè);xyOabcde y = f (x)（）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的）函數(shù)的極值點(diǎn)一

4、定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn). 而使函數(shù)取得最大值、最小值而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn).（）極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系）極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系,即一個(gè)即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，a是極是極大值點(diǎn)，大值點(diǎn)， d是極小值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)， 而而 ;( )f d( )f axyOabcde y = f (x)（二）函數(shù)極大值和極小值的判斷方法：（二）函數(shù)極大值和極小值的判斷方法：Oxyaf (a)Oxyb0)(xf

5、0)(af0)(xf0)(xf0)(bf0)(xf.)(,)(,)()()(,)(,)()()()(是是極極小小值值那那么么右右側(cè)側(cè)附附近近的的左左側(cè)側(cè)如如果果在在是是極極大大值值；那那么么右右側(cè)側(cè)附附近近的的左左側(cè)側(cè)如如果果在在方方法法：是是極極大大值值還還是是極極小小值值的的處處連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)，判判斷斷在在點(diǎn)點(diǎn)當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)000000002001xfxfxfxxfxfxfxxfxxfy求可導(dǎo)函數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f(x) (2)求方程求方程f(x)=0的根的根 (3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次

6、將函數(shù)的定義區(qū)的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開(kāi)區(qū)間，并列成表格間分成若干小開(kāi)區(qū)間，并列成表格. 檢查檢查f(x)在方程在方程根左右的值的符號(hào)：根左右的值的符號(hào)： 如果左正右負(fù)，那么如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；在這個(gè)根處取得極大值； 如果左負(fù)右正，那么如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；在這個(gè)根處取得極小值； 如果左右不改變符號(hào)，那么如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值在這個(gè)根處無(wú)極值注意：注意：對(duì)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為0是該點(diǎn)是極值點(diǎn)的必要而是該點(diǎn)是極值點(diǎn)的必要而 非充分條件非充分條件. 例如，對(duì)于函數(shù)例如，對(duì)于函數(shù) f (x) =

7、x 3 , 在在 x = 0 點(diǎn)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是處的導(dǎo)數(shù)是 0，但它不，但它不是極值點(diǎn)是極值點(diǎn) . y = x 3 31例例1 求求y= x34x+4的極值的極值31解解：y=( x34x+4)=x24=(x+2)(x2) 令令y=0，解得，解得x1=2，x2=2當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)，變化時(shí)，y，y的變化情況如下表的變化情況如下表x,22,yy328極大值43極小值-2(-2,2)2+00+283當(dāng)當(dāng)x=2時(shí)，時(shí)，y有極大值且有極大值且y極大值極大值=34當(dāng)當(dāng)x=2時(shí)，時(shí)，y有極小值且有極小值且y極小值極小值= 例例 題題 解解 析析其圖象如右圖其圖象如右圖.31例例1 求求y= x34x+4的極值的極值

8、例例 2 求求 y = ( x2 1 )3 + 1 的極值的極值 .x, 1 1,yy解：解：y=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2 令令y=0 解得解得 x1=1，x2=0，x3=1當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)，變化時(shí)，y，y的變化情況如下表的變化情況如下表 - -1(-1,0)0(0,1)100+0+ 無(wú)極值無(wú)極值 極小值極小值0 無(wú)極值無(wú)極值 當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)，時(shí)，y有極小值且有極小值且 y極小值極小值=0例例 2 求求 y = ( x2 1 )3 + 1 的極值的極值 .其圖象如右圖其圖象如右圖.例例3、（、（2008. 廣東廣東 文文) 設(shè)設(shè)aR,若函數(shù)若函數(shù)y=ex+ax, x R有大有大于

9、零的極值點(diǎn)，則于零的極值點(diǎn)，則ee-1A. a C. a D. a 01 1xxxyeaxeaeaxaaa 得即 練練 習(xí)習(xí) 求下列函數(shù)的極值求下列函數(shù)的極值. (1)y=x27x+6 (2)y=x327x72254 （1）當(dāng)當(dāng)x= 時(shí)，時(shí)，y有極小值，且有極小值，且y極小值極小值=.（2）當(dāng)）當(dāng)x=3時(shí)，時(shí)，y有極大值，且有極大值，且y極大值極大值=54. 當(dāng)當(dāng)x=3時(shí)，時(shí)，y有極小值，且有極小值，且y極小值極小值=54二次函數(shù)（定義域?yàn)楹瘮?shù)（定義域?yàn)镽)的極值就是它的最值的極值就是它的最值, 函數(shù)的極大、極小值的定義以及判別方法函數(shù)的極大、極小值的定義以及判別方法. 求可導(dǎo)函數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的三個(gè)步驟的極值的三個(gè)步驟. 函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的，在整個(gè)定義區(qū)間可能有多個(gè)極值，間而言的，在整個(gè)