2008年全國高中數學聯(lián)合競賽浙江省預賽試卷(共9頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上2008年浙江省高中數學競賽試卷一、 選擇題 （本大題滿分36分，每小題6分）1已知集合，則下列正確的是（ ）A B. C. D. 解：因為，所以有正確答案為 A。2當時，則下列大小關系正確的是（ ） A B. C. D. 解：當時，。又因為。所以 。 選 C。3設在上有定義，要使函數有定義，則a的取值范圍為（ ）A； B. ； C. ； D. 解：函數的定義域為 。當時，應有，即；當時，應有，即。 因此，選 B。4已知P為三角形ABC內部任一點（不包括邊界），且滿足，則ABC一定為( )A直角三角形；B. 等邊三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形解：因為，

2、所以已知條件可改寫為。容易得到此三角形為等腰三角形。 因此 選 D。5已知是偶函數，則函數圖象與軸交點的縱坐標的最大值是（ ）A B. 2 C. D. 4解：由已知條件可知，函數圖象與軸交點的縱坐標為。令，則。因此 選 A。6圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點，動點P在圓錐底面內（包括圓周）。若AMMP，則P點形成的軌跡的長度為（ ）A. B. C. 3 D.解：建立空間直角坐標系。設A(0,-1,0), B(0,1,0), ，P(x,y,0).于是有由于AMMP，所以，即，此為P點形成的軌跡方程，其在底面圓盤內的長度為。 因此 選 B。二、填空題 （本題滿

3、分54分，每小題9分）7 。解：根據題意要求，。于是有。因此。因此答案為 1。8設為非負實數，滿足，則 。解：顯然，由于，有。于是有，故。9設，則。解： 。10. 設實系數一元二次方程有兩個相異實根，其中一根在區(qū)間內，另一根在區(qū)間內，則的取值范圍是 。解： 根據題意，設兩個相異的實根為，且，則，。于是有 ，也即有。故有，即取值范圍為。11已知，直線與的交點在直線上，則 。解：由已知可知，可設兩直線的交點為，且為方程，的兩個根，即為方程的兩個根。因此，即0。12在邊長為1的正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點，使沿線段DE折疊三角形時，頂點A正好落在邊BC上。AD的長度的最小值為 。解

4、：設，作ADE關于DE的對稱圖形，A的對稱點G落在BC上。在DGB中，當時，即。13已知橢圓C：（），其離心率為，兩準線之間的距離為。（1）求之值；（2）設點A坐標為(6, 0)，B為橢圓C上的動點，以A為直角頂點，作等腰直角ABP（字母A，B，P按順時針方向排列），求P點的軌跡方程。三、解答題（本題滿分60分，每小題20分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）得分評卷人 解：（1）設c為橢圓的焦半徑，則。于是有a5，b3。（2） 解法一：設B點坐標為，P點坐標為。于是有因為，所以有。 (A1 )又因為ABP為等腰直角三角形，所以有 AB=AP，即 。 (A2 ) 由（A1）推出，代入（

5、A2），得 從而有 ，即（不合題意，舍去）或。 代入橢圓方程，即得動點P的軌跡方程解法二： 設,，則以A為圓心，r為半徑的圓的參數方程為。設AB與x軸正方向夾角為，B點的參數表示為，P點的參數表示為.從上面兩式，得到。又由于B點在橢圓上，可得。此即為P點的軌跡方程。14求解不等式。得分評卷人 解：（I）情形。此時不等式為。 于是有 （1）。因此 當時，有；當時，有；當時，有；當時，空集。 （2） 。此時有 當時，有；當時，有；當時，有；當時，。 （II）情形。此時不等式為。 于是有 （3）。因此 當時，有；當時，有；當時，空集。（4）。 因此 當時，有；當時，空集。綜合（1）（4）可得當時，有

6、；當時，有；當時，。15設非負等差數列的公差，記為數列的前n項和，證明： 1）若，且，則； 2）若則。得分評卷人 解：設非負等差數列的首項為，公差為。（1）因為，所以，。從而有。 因為，所以有于是。（2） 又因為，所以有四、附加題（本大題滿分50分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。選考B卷的學生選做本大題，不計入總分。）16設為2008個整數，且（）。如果存在某個，使得2008位數被101整除，試證明：對一切，2008位數 均能被101整除。解： 根據已知條件，不妨設k1，即2008位數被101整除，只要能證明2008位數能被101整除。 事實上，從而有，即有。因為，所以。 利用上述方

7、法依次類推可以得到對一切，2008位數均能被101整除。17. 將3k（k為正整數）個石子分成五堆。如果通過每次從其中3堆中各取走一個石子，而最后取完，則稱這樣的分法是“和諧的”。試給出和諧分法的充分必要條件，并加以證明。解： 分法是和諧的 充分必要條件 是 最多一堆石子的個數不超過k。 下面設五堆石子的個數分別為a,b,c,d,e（其中）。“必要性”的證明： 若分法是和諧的，則把a所對應的石子取完至少要取a次，這a次每次都要取走3個石子。如果 ，則，即把a所對應的一堆取完時，需取走的石子多于五堆石子的總數。矛盾。因此最多一堆石子的個數不能超過k。 “充分性”的證明：（數學歸納法）（1） 當時，滿足“” 的分法只能是1，1，1，0，0。顯然這樣的分法是和諧的。（2） 假設時，滿足“” 的分法是和諧的。（3） 當時，若，且分法a,b,c,d,e是不和諧的