第18章.勾股定理知識(shí)點(diǎn)與常見題型總結(jié)

1、第18章勾股定理復(fù)習(xí)一知識(shí)歸納1勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a， b，斜邊為c，那么a2亠b2 c2勾股定理的由來(lái)：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理.我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來(lái)人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的 平方和等于斜邊的平方2 .勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是 圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，

2、面積不會(huì)改變 根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理 常見方法如下：方法4S.： S正方形 EFGH - SE方形 ABCD，1 2 24 ab，(b-a)2 二 c2，化簡(jiǎn)可證.2方法ba四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S =4 1 ab c2 =2ab c22大正方形面積為 S =(a b)2二a2 2ab b2所以 a2 b2 =c21 11方法三:S梯形 N(a b) (a b)，S梯形=2Sade Sab廠2 2ab 才2，化簡(jiǎn)得證3 .勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的

3、數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形4 .勾股定理的應(yīng)用 已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊在 ABC 中，ZC=90，則 c =a2b2, b =c2a2, a = c-b2 知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系 可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題5 .勾股定理的逆定理如果三角形三邊長(zhǎng) a , b , c滿足a2 b2 c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊 勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理

4、時(shí)，可用兩小邊的平方和a2 b2與較長(zhǎng)邊的平方c2作比較，若它們相等時(shí)，以a , b , c為三邊的三角形是直角三角形；若a2，b2：c2，時(shí)，以a , b , c為三邊的三角形是鈍角三角形；若a2 b2 c2，時(shí)，以a , b , c為三邊的三角形是銳角三角形； 定理中a , b , c及a2 b2 =c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)a , b , c滿足a2 c2 b2，那么以a , b , c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊 勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形6 .勾股數(shù) 能夠構(gòu)成直角三角

5、形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2，b2 =c2中，a , b , c為正整數(shù)時(shí)，稱a , b , c為一組勾股數(shù) 記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13 ; 7,24,25等 用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：n21,2n,n2 V （ n _2, n為正整數(shù)）;2n 1,2n22n,2n2 2n 1 （ n 為正整數(shù)）m2 -n2,2mn,m2 n2 （ m n, m , n 為正整數(shù)）7.勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長(zhǎng)的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題在使 用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了

6、解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用 勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解.8 .勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊 的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.9 .勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體通常既要通過逆 定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長(zhǎng)度，二者相輔相成，完成對(duì)問題的解決.

7、常見圖形：題型一：直接考查勾股定理例 1 在 ABC 中，.C =90 已知AC =6 , BC =8 .求AB的長(zhǎng)已知 AB =17 , AC =15，求BC的長(zhǎng) 分析：直接應(yīng)用勾股定理 a2，b2 =c2解： AB 二 AC2 BC2=10 BCAB2 - AC2 =8題型二：應(yīng)用勾股定理建立方程例2 .在. ABC 中，.ACB =90 , AB =5 cm, BC =3 cm , CD _ AB 于 D , CD =已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)之比為3:4，斜邊長(zhǎng)為15，則這個(gè)三角形的面積為 已知直角三角形的周長(zhǎng)為30 cm，斜邊長(zhǎng)為13 cm，則這個(gè)三角形的面積為 分析：在解直角三角形

8、時(shí)，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積有時(shí)可根據(jù) 勾股定理列方程求解解： AC hjAB2 _BC24 , CD =AC BC =2.4AB2 cmcc1設(shè)兩直角邊分別為 a , b，則a b =17 , a2 b2 =289，可得ab =60 S = ab =30 2例 3 如圖ABC 中，.C =90 , . 1 =/2 , CD =1.5, BD =2.5，求 AC 的長(zhǎng)分析：此題將勾股定理與全等三角形的知識(shí)結(jié)合起來(lái) 解：作DE _AB于E，4 = 2，/C =90.DE =CD 二1.5在BDE中.BED =90 ,BE 二 BD2 -DE2 =2Rt . ACD

9、 二 Rt. AED.AC 二 AE在 Rt ABC 中，.C =902 2 2 2 2 2.AB 二AC BC，(AE EB)二AC 4 . AC =3例4.如圖Rt. ABC， /C =90 AC =3,BC =4,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積答案：6 題型三：實(shí)際問題中應(yīng)用勾股定理例5.如圖有兩棵樹，一棵高 8 cm，另一棵高2 cm，兩樹相距8 cm，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另 數(shù)的樹梢，至少飛了 mDC分析：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，如圖AB =8 m , CD =2 m , BC =8 m，過點(diǎn)D作DE _ AB，垂足為E ,則 AE =6 m，DE =8 m在Rt ADE

10、中，由勾股定理得 AD = AE2 DE2 =10答案：10 m題型四：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個(gè)三角形是否是直角三角形例6已知三角形的三邊長(zhǎng)為 a，b，c，判定JABC是否為Rt. ：52 a =1.5， b=2， c=2.5 a ， b =1， c =43解： a2 b2 =1.52 22 =6.25，c2 =2.52 =6.25ABC是直角三角形且 /C =90b2 c，a2 =哲，b2 c-a . ：ABC不是直角三角形916例7.三邊長(zhǎng)為a， b，c滿足a b =10，ab =18，c =8的三角形是什么形狀？ 解：此三角形是直角三角形理由：a2 b2 =(a b)2 -2ab =64，且 c2 =64.a2 b2二c2 所以此三角形是直角三角形題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用例 8.已知. ABC 中，AB=1