線性代數(shù)解題技巧精編參考資料

1、第一章 行列式Arthur Cayley（1821-1895，英國）矩陣論的創(chuàng)立者。在劍橋，獲數(shù)學(xué)榮譽(yù)會考一等第一名，并獲得Smith獎，從事n維解析幾何，行列式理論，線性變換和矩陣等方面的研究。James, Joseph Sylvester（18141897，猶太人），矩陣論的創(chuàng)立者。在劍橋，獲數(shù)學(xué)榮譽(yù)會考一等第二名。他開創(chuàng)了美國純數(shù)學(xué)研究，創(chuàng)辦了美國數(shù)學(xué)雜志。從事行列式，矩陣論，組合數(shù)學(xué)等方面研究。§1 行列式的概念學(xué)習(xí)要求1）會用對角線法計算二、三階行列式2）會求排列的逆序及奇偶性3）理解階行列式定義一、二，三階行列式的計算1）求平面兩直線交點(diǎn)消去，解出得記 副對角線主對角線二

2、階行列式等于主對角線上兩元素之積減去副對角線上兩元素之積。則有 交點(diǎn)：，其中2）求三平面的交點(diǎn)消，解出得（設(shè)）其中+對角線計算法三階行列式由6項(xiàng)組成，每項(xiàng)是位于中不同行不同列的三元素之積，并按一定規(guī)則帶有正號或負(fù)號。主對角線上三元素之積及平行于主對角線上三元素之積的項(xiàng)帶正號，副對角線上三元素之積及平行于副對角線上三元素之積的項(xiàng)帶負(fù)號。則記得 。同理有 例1： 解：得：注意對角線法不適于3階以上的行列式。3）分析三階行列式的規(guī)律：每項(xiàng)：每項(xiàng)為三元素之積，三元素取之不同行不同列。項(xiàng)數(shù)：符號：與每項(xiàng)三元素的所在的列下標(biāo)三個數(shù)字的排列有關(guān)。即與自然排列123對換為此排列的次數(shù)有關(guān)。排列12323131

3、2321132213對換次數(shù)022111奇偶性偶奇帶符號正負(fù)將對換次數(shù)轉(zhuǎn)化為下面求排列的逆序問題。二、排列的逆序與奇偶性個自然數(shù)的一個排列，稱為一個元排列。記為。共有個排列。定義1一個排列中，兩個數(shù)字，的大小與位置相反，稱這兩個數(shù)字構(gòu)成一個逆序，排列中所有數(shù)字的逆序個數(shù)的總和就稱為該排列的逆序數(shù)。記為。計算法 從排列的右邊起，每一個數(shù)字與其左邊的數(shù)字逐個比較，即先將第個數(shù)字與前面?zhèn)€數(shù)字比較求得第個數(shù)字的逆序，再將第個數(shù)字與前面的個數(shù)字比較，求得第個數(shù)字逆序，繼續(xù)之，得所有數(shù)字逆序總和就是該排列的逆序數(shù)。例2：求下列各排列的逆序數(shù)。1） （奇）2） （偶）3） （偶）4）定義2一個排列的逆序數(shù)為

4、奇（偶）數(shù)，稱為該排列為奇（偶）排列。定義3一個排列中兩數(shù)字位置互換，其余數(shù)字不動，稱為一次對換，相鄰兩數(shù)字的對換，稱為鄰換。定理一次對換改變排列的奇偶性（即偶次對換不變奇偶性，奇次對換改變奇偶性）將一個元排列對換成為自然排列有多種方法，得到的逆序數(shù)可以不同，但其奇偶性卻不變。推論1：一個元排列對換為自然排列，對換次數(shù)的奇偶性與該排列的奇偶性相同。推論2：所有元排列的奇偶性個數(shù)各半。三、階行列式定義定義4 是一個數(shù)，稱為階行列式，簡記為（1）每項(xiàng)個元素之積中的元取之不同行不同列。（2）共有項(xiàng)。（3）符號由決定的。（4）表示把對應(yīng)的個項(xiàng)加起來。顯然若的一行（列）元素都為0，則。例3：上，下三角行

5、列式及對角行列式的值。（1）下三角行列式 上三角行列式 對角行列式 （表示連乘號）例4（1）決定4階行列式中項(xiàng)的符號。（2）求的值，使得4階行列式帶負(fù)號。解：（1），計算列下標(biāo)逆序。該項(xiàng)帶正號。（2），列下標(biāo)排列為，得，或，因?yàn)楣实谜f明：行列式的另一定義為（列下標(biāo)按自然順序）§1.2 行列式的性質(zhì)學(xué)習(xí)要求：掌握行列式的性質(zhì)，運(yùn)用行列式性質(zhì)化簡行列式。 本節(jié)是對行列式進(jìn)行變換化簡，以便簡化計算。行列式的五個性質(zhì)：1）轉(zhuǎn)置不變值，即2）拆開3）數(shù)乘（提取因子） 4）對換變號 行列式的初等變換5）消元（倍加）不變值。兩個零推論的兩行（列）相同，則。的兩行（列）元素成比例，則。例1：（1）（

6、2） 解：（1）（2）-200例2：計算 解：例3 計算 解：將第一列拆開為=例4：計算 解：第1行的（）倍加于第2行上，=。例5：求的根。解：注意到中每一行元素之和都為，把第2，3，4列加到第1列上，得，得練習(xí)：（1）計算 。（2）計算（3）計算D=§1.3 行列式的展開計算要求學(xué)習(xí)1）準(zhǔn)確計算元素的余子式與代數(shù)余子式。2）掌握展開定理。3）會一些計算方法技巧。把三階行列式的項(xiàng)重組，以引入代數(shù)余子式概念定義中的元素，劃去所在的第行第列剩余的階行列式稱為的余子式，記為。并記，則稱為元素的代數(shù)余子式，則三階行列式展開式為：。定理行列式D等于它的任意一行（列）的所有元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子

7、式乘積之和。行元素為，對應(yīng)代數(shù)余子式為，則：。定理推論：行列式的一行（列）所有元素與另一行（列）對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和為0。即 故有計算要點(diǎn)：（1）找零最多的一行（列）展開。（2）把某一行（列）元素用性質(zhì)5（消元）盡可能多地化為零。例1：例2：計算 。解：第1列與第3列對換。（因第3列元素較簡單）。（1）例3：（書p18例1.3.4）本題可做為公式用，例如：例4： 形狀為 解：第一行展開：得，。例5：。形狀解：用主線角線元素去消第一列元素。例6： 解：將D的第1行去減各行得，形狀為與例5方法相同，用主對角線上的元消第一列元，得說明：例4，例5，例6是三線行列式。計算形如 的三線行列式，可用主

8、對角線上元素去消第一列元素，其他三線行列式一般先用展開定理降價，然后遞推化簡。例7，Vandermond行列式（書P18例1.3.5）共有 個乘積項(xiàng)。例如：例8簡記為 （不加證明）顯然也有例： *練習(xí)題（1）證明：（2）證明：（3）計算：解：而；另法：第一列拆開則故（4）計算：。解：第2列與第4列互換，再把第2行與第5行互換，得§1.4 Cramer法則學(xué)習(xí)要求：1）掌握Cramer法則解線性方程組。2）了解齊次線性方程組有非零解的條件。一、解非齊次線性方程組為消，可利用行列式展開定理。用分別依次乘上面各方程：當(dāng)令同理得： 。定理1非齊次線性方程組 ，則有唯一解 當(dāng)時，方程組可能有解

9、，也可能無解。二、齊次線性方程組1）齊次方程組總有一組零解：2）當(dāng)有某，稱解為一組非零解。 若，又由于故有結(jié)論：，齊次方程組僅有零解。等價結(jié)論：齊次方程組有非零解，則。定理2齊次線性方程組有非零解例1： 解：。例2：有非零解，求。解：齊次方程組，有非零解，則得 或例3：證三個點(diǎn)在平面的一條直線上的必要條件是證：設(shè)直線為 ，由條件：點(diǎn)在直線上則有：把看做以為變量的齊次方程組的一個非零解，故有系數(shù)行列式為0，即例4：設(shè)平面三不同直線交一點(diǎn)，證。證：交點(diǎn)滿足把看做以為變量的齊次方程組的一組非零解，則上方程組系數(shù)行列式為0，即因不會都相等，故。本章重點(diǎn)1）熟練計算排列的逆序和二、三階行列式；2）掌握行

10、列式性質(zhì)，化簡行列式；3）掌握行列式展開定理。會一些計算技巧。第二章 矩陣運(yùn)算§2.1 矩陣的概念§2.2 矩陣的線性運(yùn)算及乘法運(yùn)算學(xué)習(xí)要求：1）理解矩陣的定義。2）掌握矩陣的加，數(shù)乘及乘法運(yùn)算。3）注意矩陣乘法與數(shù)的運(yùn)算律的異同處。一、矩陣的定義定義1 個數(shù)排成行列的一個數(shù)表，記為稱為矩陣，也可記為。矩陣是一個表，也是一個線性變換（函數(shù)），而行列式是一個數(shù)。矩陣廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)各領(lǐng)域。在數(shù)學(xué)方面應(yīng)用于計算數(shù)學(xué)，概率統(tǒng)計，微分方程，幾何圖形的變換，如投影，鏡象，旋轉(zhuǎn)變換等等；在電學(xué)方面：如線性電路理論，自動控制，網(wǎng)絡(luò)，編碼理論等；在經(jīng)濟(jì)管理方面，如線性規(guī)劃，優(yōu)化運(yùn)籌等等（

11、見書上的例子）。例：消耗矩陣國民經(jīng)濟(jì)的個部門組成一個經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，各部門既是生產(chǎn)者，又是消耗者。設(shè)表示第個部門生產(chǎn)的單位產(chǎn)值需消耗第個部門產(chǎn)值數(shù)，稱為第個部門對第個部門的直接消耗系數(shù)。為簡單起見令，如煤碳部門，電力部門，鐵路運(yùn)輸部門，它們的關(guān)系如下表：消耗系數(shù) 部門部門消耗部門煤碳電力鐵運(yùn)生產(chǎn)部門煤碳00.650.55電力0.250.050.10鐵運(yùn)0.250.050矩陣稱為消耗矩陣。（簡單的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型）例 三階魔方及四階魔方，二、矩陣的加，數(shù)乘運(yùn)算兩矩陣同型：與的行數(shù)，列數(shù)分別相等。兩矩陣相等：。定義2 兩矩陣加法：。定義3 數(shù)乘矩陣加，數(shù)乘（稱為線性運(yùn)算）滿足下列運(yùn)算律：加法交換律：加法

12、結(jié)合律：矩陣： 負(fù)矩陣： ，則。恒等性：。數(shù)結(jié)合律：。分配律：。分配律：。設(shè)是矩陣的集合，在上述矩陣的加法、數(shù)乘定義下，且滿足了上述8條運(yùn)算，我們稱是一個矩陣空間。例1：，求。三、兩矩陣的乘法。1規(guī)則：行乘列定義4 其中 （“行乘列”）即乘積等于的第行元素與的第列對應(yīng)元素積之和。例2：，求。解：但不存在。可乘條件為：的列數(shù)=的行數(shù)。乘積階數(shù)為：的行數(shù)=的行數(shù)，的列數(shù)=的列數(shù)。2矩陣乘法應(yīng)注意下面三點(diǎn)：1）乘法交換律一般不成立，即。在中：稱左乘，或?yàn)樽笠蜃雨?。稱右乘，或?yàn)橛乙蜃雨?。特別：若，稱與乘法可交換，或與可換。2）消去律一般不成立，即，不一定。（即使，也不一定有）3），不一定有。3矩陣乘法

13、運(yùn)算律為：（與數(shù)運(yùn)算律相同）1）結(jié)合律：。2）分配律：，。3）數(shù)乘結(jié)合律：。4）恒等性：。4方陣的冪及多項(xiàng)式矩陣。設(shè)的多項(xiàng)式為：，則稱為的次多項(xiàng)式矩陣。5一般線性方程組的矩陣表示例3：（1）（2）（3），求。例4：，求及。求。例5：，為階方陣，例6：設(shè)，證明。例7 *：，為階方陣，證明的主對角線上元素之和等于的主對角線上元素之和。證：的第i行元素與的第i列的元素積之和主對角線元素之和的主對角線元素之和。§2.3 轉(zhuǎn)置矩陣及方陣的行列式學(xué)習(xí)要求：1）掌握轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算律。2）掌握方陣的行列式的運(yùn)算式。一、轉(zhuǎn)置矩陣行轉(zhuǎn)成相應(yīng)的列得1定義1稱為的轉(zhuǎn)置陣，為階，為階。轉(zhuǎn)置性質(zhì)：（1），（2）

14、（3），（4）。2定義2 矩陣，若有，稱為對稱陣。為對稱陣。矩陣，若有，則稱為反對稱陣。為反對稱陣定義3 對于階方陣，若有稱為正交矩陣。 例與皆為階對稱陣，則 （）+為對稱陣； （）但不一定為對稱陣。例 但為矩陣，則（或）為對稱陣。例與皆為正交陣，則 （）+不一定為正交陣； （）必為正交陣。二、方陣的行列式階方陣，稱為的行列式，也記。方陣的行列式性質(zhì)：設(shè)，為階方陣：（1）。（2）。（3）。應(yīng)注意：。例1：為矩陣，證明是對稱矩陣。例2：證明。例3：1）階方陣，求_。 2）設(shè)_。例4：，證明。例5：，為階方陣，求。例6：維列向量，。證明。例7：為3階方陣，是3維列向量。，求。例8：，證明。

15、7;2.4 方陣的逆矩陣學(xué)習(xí)要求：1）理解方陣的逆的定義。 2）掌握方陣求逆的公式及逆的運(yùn)算性質(zhì)。3）掌握判別矩陣的可逆性。 4）掌握解矩陣方程。一、階方陣逆的定義定義1 階方陣，若有階方陣，使得稱可逆，有逆，或滿秩，非奇異，就是的逆。若可逆，的逆是唯一的，故記。即。二、逆的求法及判別設(shè)為的元1定義2 對于，素的代數(shù)余子式，構(gòu)造，稱為的伴隨矩陣。例如：。（準(zhǔn)確求是求逆的關(guān)鍵）注意：準(zhǔn)確求出。中的排法。2定理可逆證明思路：（1）利用逆的定義； （2）利用行列式展開公式及推論。例1：求上述兩矩陣的逆。，則。例2：（1）可逆，。注意：，不一定有。（2）。例3：，為階方陣，可逆可逆，且也可逆。（同理不

16、可逆，至少有一個矩陣不可逆。）例4：可逆，則三、逆的運(yùn)算性質(zhì)（1），（2），（3），（4），（5）。例5：，為3階方陣，求。例6：，為階方陣，可逆，且，證明可逆。例7：，為階方陣，可逆，且，證明可逆。例8：，（1）證明可逆，求。（2）證明可逆，求。四、解矩陣方程三種形式：設(shè)A，B可逆例9：，求。例10：，求。例11：，求。例12：，求。例13：，求 。§2.5 分塊矩陣學(xué)習(xí)要求：1）了解矩陣加法，乘法的分塊原則及分塊矩陣的運(yùn)算。 2）了解分塊對角矩陣及分塊三角陣。一、分塊矩陣的加，數(shù)乘，轉(zhuǎn)置1）分塊加法：+=，使與分法相同。2）數(shù)乘分塊陣：。3）分塊陣轉(zhuǎn)置：。二、兩矩陣的分塊乘法 分

17、塊原則：列分法與的行分法相同，即滿足可乘條件的列塊數(shù)=的行塊數(shù)。的子塊的列數(shù)=的子塊的行數(shù)。其中子塊。分塊乘法與矩陣普通乘法形式相同。例1：，分塊為 其中的列數(shù)等于的行數(shù)，則例2：列分塊為，則非齊次線性方程組可轉(zhuǎn)換為。例3：矩陣方程，列分塊為，列分塊為，則得。則討論矩陣方程可轉(zhuǎn)化為研究個線性方程組。二、分塊對角陣及分塊三角矩陣，稱，為分塊對角陣，其中皆為子方塊，若的階數(shù)相同，則。，若，則 ，特別。四塊的塊三角矩陣：為方子塊，則。例4：，為階方陣且，求？例5：，求。例6：為可逆陣：為方子塊，證明，并求的逆。例7：，求。練習(xí)：1 ，求。2可逆，證明 。若 ，求。3，及皆為階可逆矩陣，求。4設(shè)，對任

18、意，證明。5，求。6，求。7，求。8為3階方陣，求行列式？第三章 初等變換與線性方程組§3.1 初等變換化簡矩陣學(xué)習(xí)要求 1）了解初等變換定義, 階梯形（簡化階梯形）及標(biāo)準(zhǔn)形 2）準(zhǔn)確使用初等變換化簡矩陣，特別是用行變換把矩陣化為階梯形乘(3)加于第2方程例 乘(2)加于第3方程解乘(1)乘(1)乘(7)加于第二方程解得 ，一、定義1 矩陣的初等變換是指下列三種變換（）對換變換：互換矩陣兩行（列）的位置。（）數(shù)乘變換：用一個非零的數(shù)乘矩陣的第行（列）。（）倍加（消元）變換：將矩陣第行（列）元素的倍加到第行（列）上。對矩陣的行做初等變換稱為初等行變換，對列做初等變換稱為初等列變換。注意

19、：下面三點(diǎn)變換用號數(shù)乘變換不記錄且對換不記錄負(fù)號定義2 （）矩陣階梯形一般形如特點(diǎn)：1）如果存在零行，則零行全在矩陣下方。 2）從第一行起，每行第一個非零元前面零的個數(shù)逐行遞增。簡化階梯形如：特點(diǎn)：階梯形中非零行第一個非零元素為1，其對應(yīng)的列的其他元素為0。標(biāo)準(zhǔn)形為特點(diǎn)：矩陣的左上角對角元有個為1，其他皆為零。定理 1）初等變換可把化為標(biāo)準(zhǔn)形。2）初等行變換可把化為階梯形或簡化階梯形。例1：用初等行變換把化為階梯形2-3例2：用初等變換把化為標(biāo)準(zhǔn)形-1-1-2-3§3.2 初等矩陣把變換過程用矩陣乘法來表示一、初等矩陣定義1 單位矩陣I經(jīng)過一次初等變換所得的矩陣稱初等矩陣（1）對換初

20、等矩陣：單位陣I的行（列）互換。（2）數(shù)乘初等矩陣：單位陣的I的行（列）的倍。（3）消元初等矩陣：單位陣的I的行（列）倍加到行（列）上。定理1對矩陣做一次初等行（列）變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的初等矩陣左（右）乘。簡言之：“左乘行變，右乘列變”。-1-2-2-1-1例1：，用初等矩陣表示把化為標(biāo)準(zhǔn)形。解：即即左乘或右乘一系列初等矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形。一些結(jié)論定理2 對于矩陣，必存在可逆矩，使定理3 為可逆矩陣，則可表成有限個初等矩陣之積，即(為初等陣)。二、初等變換求的逆。原理：，（為初等陣）。則即：式表一些行變換把化為單位陣式表這些行變換把化為可逆陣?yán)?：求下列矩陣的逆（1）（2）（3）例3：，求初等矩陣

21、。例4：可逆矩陣的第行與第行對換變?yōu)椋瑒t逆陣與的關(guān)系如何？§3.3 矩陣的秩 矩陣的秩是矩陣的一個重要數(shù)字特征。學(xué)習(xí)要求：1）理解矩陣秩的定義。 2）掌握用初等變換求矩陣的秩。 3）了解矩陣秩的等式，知道矩陣秩的不等式。一、矩陣的秩的概念定義1 中取行列這些行列交叉處元素按原順序構(gòu)成的階子行列式稱為的一個階子式。的階子式共有個，我們關(guān)心的是階子式的值為零或非零。定義2 中，非零子式的最高階數(shù)稱為的秩，記為，記。理解秩的含義：（1）。（2），。（3）。（4）有一個階子式，則。（5）所有階子式，則。（6）至少有一個階子式，所有階子式。例1：（見黑板之例）二、初等變換求矩陣的秩若不變秩，則

22、。定理1 初等變換不變矩陣的秩。求秩法：用初等變換把化為階梯形，則。例2：（1），（2），（3）。例3： 討論矩陣的秩。三、矩陣秩的等式與不等式定理2 秩為的矩陣，必存在可逆矩陣，使 （標(biāo)準(zhǔn)形）定義3 經(jīng)初等變換化為，稱與等價。或者若有可逆矩陣使，稱與等價。矩陣可等價于一個標(biāo)準(zhǔn)形。定理3其中為可逆陣，即左（右）乘可逆陣，的秩不變。*秩不等式介紹：（1）。（2）。（3）。（4）當(dāng)，則。例4：（1）的秩為2，求_。（2）的秩為2，求_。例5：為階方陣，證明。例6：設(shè)矩陣，證明。例7：，證明。例8：設(shè)分塊對角陣，證明。§3.4 求解線性方程組Gauss消元法要解決如下問題：（1）是否有解，

23、有解的條件？（2）唯一解及無窮多解的條件？（3）如何求解？學(xué)習(xí)要求：1）掌握初等行變換解方程組。 2）掌握方程組的解定理。注意未知量個數(shù)這三個參數(shù)。一、求解非齊次線性方程組解方程組等價于對增廣陣做行初等變換化為階梯形或簡化階梯形。設(shè)的左上角的階子式。，對應(yīng)于一個簡化的方程組，與原方程組同解。（1），方程組無解。（2），則有解。設(shè)為自由取值，解得個自由取值定理1 當(dāng)時，無解。當(dāng)時，有解。（1）若時，有唯一解。（2）若時，有無窮多解。求解非齊次方程組步驟為：1步：把用初等行變換化為階梯形或簡化階梯形。2步：求，。3步：由未知數(shù)個數(shù)，討論。解：（），則無解。 （）4步：取自由量，求解方程組。二、求解

24、齊次線性方程組：（總有解）1，稱為零解。2下面解決兩個問題：1）在何條件？僅有零解。2）在何條件？有非零解（無窮多解）。定理2，當(dāng)有無窮多解。當(dāng)僅有零解。推論1：有非零解。僅零解。推論2：，當(dāng)，則有非零解。例1：求解方程組例2：求解非齊次方程組及對應(yīng)的齊次方程組例3：求解非齊次方程組及對應(yīng)的齊次方程組例4：，為何值，則（1）有唯一解，（2）無解，（3）有非唯一解，并求解。解：，討論：或的情況（1）當(dāng)，且方程組有唯一的解。（2）當(dāng)無解。（3）當(dāng)，無窮多解，。第四章 向量組的線性相關(guān)性（空間）§4.1 向量組的線性相關(guān)性學(xué)習(xí)要求 1）掌握求向量的線性組合（線性表示）。 2） 理解向量組線

25、性相關(guān)、無關(guān)定義，掌握判別向量組線性相關(guān)性方法。 3）了解線性相關(guān)性一些結(jié)論；線性表示與線性相關(guān)的關(guān)系。一、維向量的概念：定義1：個有序的數(shù)組成的數(shù)組，把它們排成一行：，稱為維行向量（一行陣）排成一列：，稱為維列向量（一列陣）設(shè) 加法：數(shù)乘：滿足下八條運(yùn)算律：1）2）3） 4）5） 6）7）8）設(shè)集合中定義上述的加法數(shù)乘，且滿足上面八條運(yùn)算律，稱為在實(shí)數(shù)域上的向量空間。二、向量的線性表示（線性組合）定義2 設(shè)為維列向量，若有稱為（或可由）的線性表示（組合），為線性表示系數(shù)。令，則上式等價于線性表示轉(zhuǎn)化為非齊次方程組的解。例1： 求在下的表示式。例2：, 求在下的表示式。（為任意數(shù)）三、向量組的

26、線性相關(guān)性定義3 設(shè)維向量，若存在不全為零的數(shù)，使得稱 線性相關(guān)，否則稱線性無關(guān)。解釋：若能尋找到一組不全為零的，使上式成立，稱該向量組相關(guān)；若當(dāng)且僅當(dāng)才使上式成立，則稱向量組線性無關(guān)。令 ，由上式為（i）若有非零解相關(guān)。（ii）若僅有零解無關(guān)。例3：中，稱為基本向量組（標(biāo)準(zhǔn)正交基），它們是線性無關(guān)的。例4：觀察法判別下列向量組線性關(guān)系（1）（相關(guān)）（2） （相關(guān)）（3）（相關(guān)）例5：判別下列向量組線性相關(guān)性 （無關(guān)） （相關(guān)）例6：線性無關(guān)，證明線性無關(guān)。線性相關(guān)一些性質(zhì)：1）含0向量的向量組必線性相關(guān)2）含兩成比例的向量的向量組必線性相關(guān)3）有部分向量線性相關(guān)，則全體向量線性相關(guān)。全體向量

27、線性無關(guān)，則任一部分向量線性無關(guān)。4）向量個數(shù)大于維數(shù)的向量組必線性相關(guān)，（個維向量的向量組線性相關(guān)）四、線性表示與線性相關(guān)性的關(guān)系 定理 向量組線性相關(guān)至少有一個向量是其余向量的線性表示。解釋：1）向量的線性表示，必可推出該組向量線性相關(guān)。但由線性相關(guān)，要推出某一個向量是其它向量線性表示，就得根據(jù)問題的條件來考慮。2）線性相關(guān)，不一定能推出“每一個”向量都可由其余向量線性表示。例7：（1）線性相關(guān)，則可由線性表示嗎？舉例說明之。(2) 線性相關(guān)，又線性無關(guān)，則可由線性表示嗎？ 例8：線性無關(guān)，且線性相關(guān)，求的值。（）例9：為的方陣，維列向量線性相關(guān)，證明線性相關(guān)。例10：線性無關(guān)；線性相關(guān)，

28、則可由唯一線性表示。例11：線性無關(guān)，,線性相關(guān)，不能由的線性表示，證明線性無關(guān)。（其中為任意常數(shù)）。證：因線性相關(guān)，而線性無關(guān)，必有：（1）又因不能由線性表示，則有，線性無關(guān)。設(shè)（2）（1）代入（2）：因，線性無關(guān)，則上式系數(shù)為0，即故由（2）式知，線性無關(guān)。§4.2 向量組的極大線性無關(guān)組及秩學(xué)習(xí)要求 1）理解兩向量組等價、極大無關(guān)組及秩的概念。2）掌握求向量組的一個極大無關(guān)組的方法。3）熟悉定理：“矩陣的秩等于列向量組的秩”，利用向量組與矩陣之間的轉(zhuǎn)換，解決一些問題。4）了解“兩向量組等價，則秩相等”。一、兩向量組等價定義1與互相線性表示，稱兩向量組等價。設(shè) ， 即 等價性質(zhì)（

29、1）自反性；（2）對稱性；（3）傳遞性。二、向量組V的極大無關(guān)組與秩。定義2 設(shè)向量組V中一個組，滿足 1）若線性無關(guān)；2）對V中任一個向量，可由此向量組線性表示，即，稱 為向量組的一個極大無關(guān)組.理解:1)極大無關(guān)組定義是把線性表示與線性無關(guān)結(jié)合起來的一個概念.2)定義中條件是必備的,條件可換為另一些說法.定義2是V的極大無關(guān)組線性無關(guān),且對V中任一個,則這個向量線性相關(guān)。線性無關(guān)，且V中任個向量線性相關(guān)。一些結(jié)論：1）向量組V中的極大無關(guān)組的組數(shù)不唯一。 2）向量組V中每一個極大無關(guān)組含向量個數(shù)唯一。 3）向量組V與極大無關(guān)組等價。 4）向量組V中的任兩個極大無關(guān)組是等價的。定理1 向量組

30、可由線性表示 且， 則線性相關(guān)。推論1：（等價命題） 向量組線性無關(guān)，且可由線性表示，則。推論2：V中兩極大無關(guān)組含向量個數(shù)相等。定義3 V中的一個極大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為向量組的秩。記為秩，“秩”是向量組的一個數(shù)字特征。例1：中，為的一個極大無關(guān)組，秩。，極大無關(guān)組為，故。推理3：向量組（）可由向量組（）線性表示，則秩()秩（）。推論4：兩等價的向量組的秩相等。例2：擴(kuò)充（剔除）法求極大無關(guān)組。 求，的一個極大無關(guān)組。三、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系矩陣列向量組。定理2 矩陣A的秩等于A的列（行）向量組的秩。推論：A列分塊為，求A的秩，當(dāng) 線性相關(guān)。線性無關(guān)。（）判別向量組線性相關(guān)性方法把向量

31、組排成矩陣為階梯形求，由推論可得相關(guān)性。例3 判別，的相關(guān)性。（）求極大無關(guān)組方法 設(shè)向量組方法1：1步：階梯形求秩 2步：從向量組中挑出，判別無關(guān)性。若這r個向量無關(guān)，則為極大無關(guān)組。方法2：引理：矩陣A經(jīng)初等行變換化為B，則A的列向量組與B的對應(yīng)列向量組有相同線性關(guān)系。1步：把排成矩陣，用初等行變換把A化為階梯形或簡化階梯形。（階梯形）2步：求的階梯數(shù)，易從B中的列知線性無關(guān)，為一個極大無關(guān)組。例4：求，的一個極大無關(guān)組，并求其余向量由此極大無關(guān)組的線性表示。練習(xí)：求的一個極大無關(guān)組（本身）。例5：向量組的秩為2，求t = （2） 。例6：設(shè) 證明線性相關(guān)。例7：設(shè) ，與，的秩相等，且可由

32、線性表示，求a, b。例8：（單位陣），證B的m個列線性無關(guān)。例9：設(shè)向量組若線性無關(guān)，則線性無關(guān)。即線性無關(guān)向量組延長分量得新向量組仍線性無關(guān)。§4.3 向量空間介紹學(xué)習(xí)要求：1）了解向量空間的概念。2）了解空間的基，維數(shù)，坐標(biāo)。3）了解向量內(nèi)積，長度，正交性，會把一個線性無關(guān)向量組Schmidt正交化。一、向量空間的定義定義1 非空的n維向量集合V及數(shù)域F，定義兩種運(yùn)算加法：，有。（加封閉）數(shù)乘：，有。（數(shù)乘封閉）稱V為數(shù)域F上的向量空間，F(xiàn)取實(shí)域R稱V為實(shí)向量空間。是一個空間稱零空間。（僅一個元素構(gòu)成）空間必包含0元素。（唯一）空間中任一元必有負(fù)元。例1：。（是空間）。（不是空

33、間）。（不是空間）。（不是空間）生成空間 二、空間的基，維數(shù)，坐標(biāo)定義2 設(shè)向量空間V中，線性無關(guān)，有（唯一）。稱為空間V的基（空間一個坐標(biāo)系）。稱r為空間V的維數(shù)，記為dimV= r，稱V為r維空間。稱線性表示系數(shù)為在基下的坐標(biāo)。記，向量與坐標(biāo)一一對應(yīng)。幾個概念的比較向量空間V（看做）向量組V空間V的基極大無關(guān)組維數(shù)向量組V的秩坐標(biāo)唯一的線性表示定理 n維向量空間中任n個線性無關(guān)的向量都是向量空間V的基。（判別基的定理）例2：求 的基，維數(shù)。中，證明是的基。中，證明，是的基。例3：求在基，下的坐標(biāo)。§4.4 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)要求：1）熟悉方程組的4個解定理，掌握求線性方程組

34、的通解。2）掌握求的基礎(chǔ)解系及判別基礎(chǔ)解系。3）了解非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)。一、的解結(jié)構(gòu)1），等價：定理1 2）的基礎(chǔ)解系的解集記為性質(zhì)：1）解，則。 2）解，則。故是一個向量空間，稱為的解空間。定義 的解空間的基稱為基礎(chǔ)解系。若解是基解系，則應(yīng)滿足：1）線性無關(guān)；2）中任一解可由此組線性表示。求的基礎(chǔ)解系。在§3.3節(jié)已知任一解（1）（2）把上面?zhèn)€解排成矩陣注意到的第行下方的階子式得 解線性無關(guān)由（1），（2）知：為的基礎(chǔ)解系。定理2 ，則。即解空間含有個線性無關(guān)的解向量。，則僅零解。例1：求基礎(chǔ)解系（1）（2）例2：設(shè)三階方陣的三個列是下列方程組的解，求。例3：的解空間維數(shù)為2，求

35、及求解該方程組。例4：設(shè)是的基礎(chǔ)解系，證明：也是的基礎(chǔ)解系。例5*：證明：，則有。二、的解的結(jié)構(gòu)。1）。定理3 若對于2）解結(jié)構(gòu)定理引理：的任兩解之差是的解。定理4 其中是的基礎(chǔ)解系。例6：求通解。例7：設(shè)，。問取何值？（1）可由唯一線性表示。（2）不能由線性表示。（3）可由非唯一線性表示，并寫出表示式。例8：（1），則解空間維數(shù)為_。（2），則有_解。（3）的每一行元素之和為，則非齊次方程組，有一個解為_。例9：是的基礎(chǔ)解系，證明：線性無關(guān)。例10：取何值？方程組有唯一解，無解，無窮多解。例11：設(shè)為的三個線性無關(guān)的解，求的通解。例12：設(shè)4元線性方程組為（）又已知4元線性方程組（）的通解為

36、（1）求線性方程組（）的通解。（2）求線性方程組（）和（）的所有公共解。解：方程組（）的通解為解：把（）的通解代入（），則有：得時，公共解為：。例* 有一堆桃子，要分給5只猴子，第一只猴子先來了，它把桃子平分為5分，還多一個，扔了，然后拿走了自己的一份；第二只猴子來了，又把桃子分成5份，又多一個，也扔了，同樣拿走自己的一份；以后其余的三只猴子先后到來，做了同樣的事情，問原來至少有多少個桃子？最后至少有多少個桃子？解：設(shè)共有個桃子，第只猴子拿走了個桃子，則列出5個方程的6元非齊次方程組。 即為 因6元方程組系數(shù)矩陣與增廣陣的秩都為5，即中，故有解，且有無窮多解，通解為其中是對應(yīng)的齊次方程組的一個

37、非零解，為非齊次方程組的一個特解，（i）從觀察知，要求非齊次方程組的一個特解，可令，得，即（ii）考慮對應(yīng)的齊次方程組左右兩邊相乘，約分得因4與5互質(zhì)，可取。得因而齊次方程組的一個非零解為：。故非齊次線性方程組的通解為原來桃子個數(shù)，第5只猴子有桃子為個，取最少正整數(shù)，即，則則原來至少要有3121個桃子，最后還剩下4×255=1020個桃子。第五章 特征問題及二次型（應(yīng)用部分）§5.1 方矩陣的特征值與特征向量學(xué)習(xí)要求：1）理解特征值與特征向量的概念，掌握求矩陣的特征值與特征向量的方法。2）了解特征值與特征向量的若干性質(zhì)。一、方陣的特征值與特征向量定義1 設(shè)方陣，若存在數(shù)及維

38、向量，使得：稱數(shù)是的一個特征值，稱為的特征值對應(yīng)的特征向量。幾何代數(shù)解釋：像與原像平行。表示像與原像的放縮系數(shù)。定義2稱為的特征多項(xiàng)式，其個根為的個特征值，（包括重根，復(fù)根）。稱為的特征矩陣。則齊次方程組的非零解集是的特征值對應(yīng)的特征向量集。求的特征值與特征向量（1）由特征多項(xiàng)式，求出特征值。（2）對每一個，由齊次方程組，解得的非零解集就是對應(yīng)的特征向量。（轉(zhuǎn)化為計算行列式與解齊次線性方程組）例1：求下列矩陣特征值（1），（2）例2：求的特征值及特征向量。例3：求下面矩陣的特征值與特征向量。（1），（2）二、特征值與特征向量性質(zhì)1特征值的性質(zhì)設(shè)的個特征值為（1）（2）（稱為的跡）推論：可逆的個

39、特征值非零。2特征向量的性質(zhì)（1）設(shè)的特征值對應(yīng)的特征向量為，則其非零的線性組合仍為的特征向量。（2）的不同特征值對應(yīng)的特征向量是線性無關(guān)的。（3）設(shè)的兩不同特征值，又設(shè)的無關(guān)特征向量為，的無關(guān)特征向量為，則 線性無關(guān)。例4：（1），則的一個特征值為_。（2），則的特征值為_。（3）的特征值為1，2，3，則|=_。（4）有非零解，則有一個特征值為_。例5：，若是的一個特征向量，求及對應(yīng)的特征值。例6：是的一個特征值，求及對應(yīng)的特征向量。例7：設(shè)是矩陣的一個特征值，對應(yīng)的特征向量為，證明：是的一個特征值。是的一個特征值。若可逆，則是的一個特征值。若，則是多項(xiàng)式矩陣的特征值。它們的特征向量皆為例8

40、：設(shè)的三個特征值為1，2，3，求（1）的特征值，。（2）的特征值。（3）§5.2 方陣相似于對角矩陣學(xué)習(xí)要求：1）理解相似概念及性質(zhì)。2）理解相似對角化的條件，掌握判別一個矩陣是否相似于對角矩陣。3）由可對角化，求，。一、兩矩陣相似定義1 設(shè)，為階方陣，若存在可逆陣，使得，稱與相似，記為，矩陣稱為相似變換陣。相似性質(zhì)：若，則（1），（2），（3）與的特征值相同，即。（相似矩陣的特征多項(xiàng)式相同）（4）*（跡相等）注意：特征值相同的兩矩陣不一定相似。例1：與相似，有一個特征值為2，則有一個特征值為_。有一個特征值為_。例2：與相似，即是的特征值對應(yīng)的特征向量，證明是對應(yīng)于的特征向量。例3

41、：設(shè)與相似，求_。二、相似于對角陣的條件為階方陣，若存在可逆陣，使得稱可相似于對角陣，或可對角化。定理 階方陣相似于對角矩陣的充要條件是具有個線性無關(guān)的特征向量。若可對角化，即。其中對角線上的是的個特征值，矩陣的個列是對應(yīng)于的個特征值的線性無關(guān)的特征向量。對角化問題轉(zhuǎn)化為求特征值與特征向量的問題。推論1：若階方陣有個相異的特征值，則可對角化。推論2：若方陣的每一個重特征值有個線性無關(guān)的特征向量，則可對角化。例4：下面矩陣必相似于對角陣（1），（互異）（2）。例5：判別下列矩陣是否可對角化，若能對角化，求及對角陣，使。（1），（2）。例6：下列矩陣哪些矩陣相似例7：有三個線性無關(guān)的特征向量，則_

42、。三、求。若，則有，。例8：的特征值為1，2，對應(yīng)的特征向量為，求。例9：某公司對其生產(chǎn)的產(chǎn)品做市場營銷調(diào)查統(tǒng)計表明：已使用本公司產(chǎn)品的客戶有60%表示仍繼續(xù)購買該產(chǎn)品，在尚未使用過該產(chǎn)品的被調(diào)查者中25%的表示將購買該產(chǎn)品。目前該產(chǎn)品在市場上占有率為60%，問年后該產(chǎn)品占有狀況如何？本題研究兩個狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移規(guī)律。解：令第年末已購及未購比例數(shù)組成向量，則初始向量為第一年末：即，其中由此得年末為：，（遞推）（1）。（2）求。由，得特征向量為，得特征向量為，故，當(dāng)，。§5.3 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形用線性代數(shù)方法解決非線性問題學(xué)習(xí)要求：1）了解二次型定義，會求二次型的矩陣，秩與慣性指數(shù)。2）會

43、用配方法求一個可逆線性變換，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。一、二次型及其對應(yīng)的矩陣從平面直角坐標(biāo)系看：通過適當(dāng)坐標(biāo)變換，把非標(biāo)準(zhǔn)曲線化為標(biāo)準(zhǔn)曲線從三維空間直角坐標(biāo)系看：通過適當(dāng)坐標(biāo)變換，把非標(biāo)準(zhǔn)曲面：化為標(biāo)準(zhǔn)曲面：從代數(shù)觀點(diǎn)看：用一個可逆線性變換化簡一個二次齊次多項(xiàng)式，使它僅含新變量的平方項(xiàng)。定義1 個變量的二次齊次多項(xiàng)式，稱為元二次型，一般表示為：。（其中，即為對稱陣）稱為二次型對應(yīng)的矩陣。 （對稱陣）。例1：求下列二次型對應(yīng)的矩陣：（1）。（2）。（3）（4）。稱為標(biāo)準(zhǔn)形。二、可逆線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.其中為可逆陣，稱為可逆線性變換。由于。（新函數(shù)）定義2 對于，若存在可逆陣，使得稱合同于，或與合

44、同。稱為合同變換。合同不變對稱性，合同不變矩陣的秩。定義3 中，對稱陣的秩稱為二次型的秩。假定有適當(dāng)可逆線性變換，可把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，則等價于對角形。定理秩為實(shí)二次型，存在可逆線性變換（或合同變換），使化為標(biāo)準(zhǔn)形：，。等價于：對稱陣，存在可逆陣，使合同于對角陣。令，再用一個可逆線性變換，使。（規(guī)范型）用配方法求可逆線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。例2：（答案：）.例3：。（答案：）。注：線性變換不唯一，的標(biāo)準(zhǔn)形也不一定唯一，但的標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)個數(shù)唯一，負(fù)平方項(xiàng)個數(shù)唯一。稱的標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)個數(shù)為二次型的正慣性指數(shù)，稱負(fù)平方項(xiàng)個數(shù)為二次型的負(fù)慣性指數(shù)。§5.4 實(shí)向量空間中向量的內(nèi)積，長

45、度，正交性設(shè) （1）向量內(nèi)積定義1 ，稱數(shù)為向量的內(nèi)積（實(shí)向量空間內(nèi)積）內(nèi)積性質(zhì)：1），2）3）4）。（2）向量的長度 定義2 稱為的長度。當(dāng)，稱長度為1的為單位向量。一般：就是的單位向量。，稱為的夾角。（3）向量的正交性定義3 設(shè)向量，若, 稱與正交，記為。若向量組兩兩正交，稱此向量組為正交組，又若它們都是單位向量，則稱此向量組為標(biāo)準(zhǔn)（規(guī)范）正交組。例4：求與向量正交的向量集合。Schmidt正交化（把一個無關(guān)組變換為一個標(biāo)準(zhǔn)正交組）。為簡單起見只對線性無關(guān)向量正交化為正交組。第一步：設(shè) 。第二步：求，使與正交，即，令：上式兩邊與做內(nèi)積，得 。第三步：求，使之與正交，即滿足。設(shè) ，。得最后把

46、已正交的向量組單位化：。為標(biāo)準(zhǔn)正交組。例5：用Schmidt正交化方法把下列向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交組。（1）（2）。正交陣與正交變換及其性質(zhì)1為階方陣，若，稱為正交矩陣。正交陣的性質(zhì)：1）。2）。3）若為正交陣，則乘積為正交陣。4）為正交矩陣的個列標(biāo)準(zhǔn)正交。例1：下列矩陣為正交陣。，。2定義 設(shè)為正交陣，稱線性變換為正交變換。性質(zhì)：正交變換1）長度不變，即。2）向量內(nèi)積不變。3）標(biāo)準(zhǔn)正交基變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基。正交變換不變圖形形狀大?。▋?yōu)點(diǎn)之一）。§5.5 正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形學(xué)習(xí)要求：掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形方法。正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定理 實(shí)二次型，存在正交變換，使化為標(biāo)準(zhǔn)形

47、。等價于：實(shí)對稱矩陣，存在正交陣，使。其中為的個特征值，的個列是對應(yīng)于特征值的個標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量。把化標(biāo)準(zhǔn)形轉(zhuǎn)化為求的特征問題（優(yōu)點(diǎn)之二）。附：實(shí)對稱陣的重要性質(zhì)1）實(shí)對稱矩陣的個特征值皆為實(shí)數(shù)。2）實(shí)對稱陣不同特征值對應(yīng)的特征向量是正交的。3）實(shí)對稱陣必可相似于對角陣?；涡蜑闃?biāo)準(zhǔn)形步驟：第一步：求出實(shí)對稱陣。第二步：由，求出特征值。第三步：由解出的特征向量。對重根若能求出個正交特征向量，則只要進(jìn)行單位化。若重根的個特征向量不正交，則用schmidt正交化，再單位化。第四步：把已求得的個標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量排成正交陣，即有，使?；?。例2：，求正交陣，使對角陣。解：。對于，解，得。對于，解，得

48、。則 ，使。例3：求正交變換，使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。解： 步1，步2。步3對于，解，得。對于 ，解，得，。把正交化為。再把單位化為。步4 ，則有，使例4：求正交變換，使下面曲面化為標(biāo)準(zhǔn)曲面解：二次型，分別對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量為了則有正交陣，正交變換，使二次曲面化為標(biāo)準(zhǔn)曲面：。例5：通過正交變換化為，求及正交變換。例6：為三階實(shí)對稱陣，其特征值為，且的特征向量為，求。§5.5 二次型正定性研究二次齊次函數(shù)恒正值或恒負(fù)值。學(xué)習(xí)要求：1）了解二次型正（負(fù)）定的定義。2）掌握判別二次型正定的一些方法，特別要掌握用定義及順序主子式判別法。一、慣性定理秩為的實(shí)二次型經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形（規(guī)范

49、形），則標(biāo)準(zhǔn)形中正（負(fù)）平方項(xiàng)數(shù)一定。正慣性指數(shù)，負(fù)慣性指數(shù)。二次型分類：，（正定），（半正定），（負(fù)定），（半負(fù)定）。（不定）二、二次型正（負(fù)）定的判別定義1 ，恒有，稱正定，正定。若恒有，稱負(fù)定，負(fù)定。例1：（1），故正定。（2）。故是負(fù)定的。二次型正定的判別定理：定理 正定正慣性指數(shù)為。存在可逆，使的個特征值全大于零。的個順序主子式全大于零。的左上角的階子式稱為階順序主子式。推論 正定，則。反之，不一定正定。負(fù)定的順序主子式奇階為負(fù)，偶階為正。例2：判別下列二次型的正（負(fù)）定性。（1）（正定）（2）。（負(fù)定）（3）。（不定）例3：正定的為_。（答案：）例4：正定，則。例5：正定，則正定。例6：正定，為可逆陣，則正定。（合同不變正定性）例7：為矩陣，證明正定。例8：正定存在可逆陣，使。線性代數(shù)復(fù)習(xí)總結(jié)線性代數(shù)主要內(nèi)容關(guān)系框圖行列式運(yùn)算矩陣運(yùn)算加法數(shù)乘乘法求逆轉(zhuǎn)置行列式初等變換矩陣的秩線性方程組 向量組線性相關(guān)性向量線性表示極大無關(guān)組向量組的秩向量空間的解空間特征值與特征向量正交變換化二次型相似對角化二次型化標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)對稱陣對角化實(shí)對稱陣對角化二次型正定性一、熟悉下面主要概念（1）行列