第6章不定積分

1、第六章 不定積分 引 言我們知道，函數(shù)是數(shù)學分析研究的主要對象，前面幾章我們已經(jīng)學習了函數(shù)的微分學理論，主要內(nèi)容包括導數(shù)的計算和導函數(shù)的分析性質，而其基本問題是導數(shù)的計算給定已知函數(shù)，求出它的導數(shù)；但在某些實際問題中，往往需要考慮與之相反的問題求一個函數(shù)，使其導數(shù)恰好是某一個給定的函數(shù)這就是所謂的積分問題。看一個例子：例1 一個靜止的物體，其質量為m=1， 在力 的作用下沿直線運動，給出物體的運動速度所滿足的方程。解、由所給的條件，可以利用Newton第二定理計算出物體的加速度為, 因而，若設其速度為，則。因此，這個問題本質就是：已知導函數(shù)， 求原來的函數(shù)。這類問

2、題在實際應用和工程技術領域中還有很多，如幾何問題中常見的已知切線求曲線問題、自然界中廣泛存在的反應擴散現(xiàn)象等，因而，這類問題有很強的應用背景。特別是在17世紀，這類問題是當時物理和幾何學中急待解決的問題，是擺在數(shù)學家面前的重要的問題，經(jīng)過3百多年的努力，今天，這類問題不僅已經(jīng)得到徹底的解決，而且已經(jīng)形成了完整且完美的數(shù)學理論積分學理論：稱這類由導函數(shù) 求 原來函數(shù) 的運算為積分運算，研究這類運算及其相關的理論就是積分學理論。我們將在本章和下一章引入這種理論。為了引入這種理論，先引入基本概念。§1不定積分概念與基本積分公式一 、 原函數(shù)與不定積分我們引入積分理論中的

3、基本概念。定義1.1 設函數(shù)與在區(qū)間上有定義且可導，若， ，則稱為在區(qū)間上的一個原函數(shù)。注、由定義，若為的一個原函數(shù)，則從導數(shù)角度，為的導函數(shù)，這也反映了原函數(shù)何導函數(shù)的緊密關系。注、由定義還可知，原函數(shù)必可導，因而，具有導函數(shù)的性質。由定義，引言中提到的問題就是計算函數(shù)的原函數(shù)。我們引入了原函數(shù)的定義，接下來自然考慮的問題是：問題1 對給定函數(shù)的 ，在什么條件下原函數(shù)存在？問題2 若原函數(shù)存在，其個數(shù)是否唯一；在何意義下唯一？問題3 若函數(shù)的原函數(shù)存在，如何將它求出？對問題1原函數(shù)的存在性問題，我們首先指出：若連續(xù)，則其原函數(shù)必存在，關于結論的證明及原函數(shù)一般的存在條件將在下一章給出。對問題

4、2，由導數(shù)的性質，很容易得到原函數(shù)的不唯一性，這就是下述定理。定理1.1 設是在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則1）、也是在上的原函數(shù)，其中C為任意常數(shù)；因而，原函數(shù)不唯一。2）、在上的任何兩個原函數(shù)之間，只可能相差一個常數(shù)，即在相差一個常數(shù)的意義下，原函數(shù)是唯一的。證明：1）、結論是明顯的。2）、設F(x)和G(x)都是f(x)的原函數(shù)，則 ，故，存在常數(shù)C，使得 。注、定理1.1 的證明體現(xiàn)了處理原函數(shù)問題的思想，將積分關系轉化為微分關系來證明，即若證明的原函數(shù)是，只需驗證：。如引言的例1，相當于求的原函數(shù)，由于，因而，的原函數(shù)即速度為：，這是不唯一的。換句話說，在例1 的條件下，確定的速度不唯一。

5、但若增加條件：如設初始速度為0，即，代入得，因而，此時，速度是唯一的，即。 既然原函數(shù)不唯一，在存在的情況下，如何表示原函數(shù)就變得非常重要。因為良好的符號系統(tǒng)對相關理論的發(fā)展相當重要，為此，引入不定積分。定義1.2 函數(shù)在區(qū)間上的原函數(shù)的全體稱為在上的不定積分，記為：其中積分號，被積函數(shù)，被積表達式，積分變量。注、 是一個整體記號所有原函數(shù)的表示。注、不定積分與原函數(shù)是總體與個體的關系，即若是的一個原函數(shù)，由定理1.1,我們知道，任何原函數(shù)與相差一個常數(shù)，因而，任何原函數(shù)都可以表示為，或者說，表示了的所有原函數(shù)，因此，由不定積分的的定義，于是，=，此時稱為積分常數(shù)，它可取任意實數(shù)。這個等式就是

6、原函數(shù)與不定積分的基本關系式，它將一個不確定的整體量所有的原函數(shù)通過一個個體具體的某個原函數(shù)確定下來，為處理不定積分問題，如性質研究、不定積分的計算等提供了處理的思想和方法，換句話說，為研究不定積分的性質，只需研究某一個原函數(shù)的性質，為級數(shù)不定積分，只需計算一個原函數(shù)。至此，唯一性問題也得到解決，因而，本章的主要目的就是問題3不定積分的計算。為此，我們先在存在性的條件下，給出用于計算的基本性質。性質1 先積后導正好還原。分析 要證明原函數(shù)的導數(shù)為某個函數(shù)，只需直接求導進行直接驗證，但是，由于不定積分是原函數(shù)的全體，是一個原函數(shù)族，具有不確定性，因此，為了求導，必須將其確定，這就聯(lián)想到不定積分的

7、原函數(shù)表達式，通過一個具體的原函數(shù)將其確定，以便進行導數(shù)計算，這就是證明的思路。證明：設F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則由定義， ，=，故，。性質2 先導后積為還原后加上一個常數(shù)（不能完全還原）。分析 證明一個函數(shù)是另一個函數(shù)的原函數(shù)，這類問題的一般形式為，處理這類問題的思想是將其轉化為微分關系來驗證，即等價于驗證。證明：由于，因而，由定義得：。注、性質1、2表明積分“幾乎”是微分的逆運算。注、性質2給出了不定積分計算的最基本的方法和公式，即只需將被積函數(shù)寫為導數(shù)形式，這也成為將要給出的基本公式的計算思想。例1 證明： 。證明：由于 故，。例2 證明：1）、； 2）、 。證明：由于因而，兩式

8、同時成立。 注、例2表明，同一個函數(shù)的原函數(shù)可以有不同的形式，有時形式上的差別是很大的。這也暗示了不定積分計算的復雜性。不定積分的幾何意義：若是的一個原函數(shù)，則稱的圖象為的一條積分曲線。于是，的不定積分在幾何上表示的某一條積分曲線沿縱軸方向任意平移所得一組積分曲線組成的曲線族。且曲線族中，在每一條積分曲線上橫坐標相同的點處作切線，則這些切線互相平行。 y x二 不定積分的基本公式由于不定積分的定義不象導數(shù)定義那樣具有確定性和構造性，這就使得不定積分的計算要比求導數(shù)計算難得多，因此，我們只能先按照微分法的已知結果去試探。首先，利用性質2，我們把基本導數(shù)公式改寫成對應的基本積分公式：1、；2、；3

9、、，；4、，；5、；6、， ；7、；8、；9、；10、；11、；12、；13、 ；14、。牢記上述基本積分公式。注、關于公式4的說明：當x>0時，公式顯然成立；當x<0時， ，因而，公式4仍成立。三 不定積分的運算法則上述不定積分的公式只能給出最簡單函數(shù)的原函數(shù)，為了計算更復雜的函數(shù)的不定積分，給出更進一步的計算法則。定理1.2 （積分的線性）若函數(shù)與在區(qū)間上都存在原函數(shù)，為兩個任意常數(shù)，則 也存在原函數(shù)，且。證明：由條件得，都存在，且 故， ，因而，。注、線性法則的一般形式為： 。例3 求。解、 原式 。例4 求。分析 轉化為基本公式再計算。 解、 。注、計算不定積分時，一定不要

10、忘了積分常數(shù)C。再看一個不定積分的幾何應用。例5 已知給定曲線的切線斜率為，求此曲線。又若曲線還過（0，0）點，求此曲線。解、設曲線的方程為，則由微分的幾何意義 ，故， ，顯然，這是一個曲線族。若曲線過點（0，0）,則 0，因而，此時曲線為。例6 設，證明：在（1，1）上不存在原函數(shù)。證明：若有原函數(shù)F(x),由定義，F(xiàn)(x)可導因而連續(xù)，且由F(x)在x=0點連續(xù)，得，因而，故。又由定義，特別有，與矛盾?；颍喝粲性瘮?shù)F(x),由定義，F(xiàn)(x)可導，且，利用導函數(shù)的性質，至多有第二類間斷點，但是，x0是的第一類間斷點。習題 1、驗證是的原函數(shù)。 2、驗證和都是的一個原函數(shù)。 3、設在區(qū)間I上

11、有原函數(shù)F（x），證明：對任意的，和至少有一個不存在，即若為的間斷點，則必為第二類間斷點。4、設的導函數(shù)是，計算的原函數(shù)。5、設有一個原函數(shù)為，計算的原函數(shù)。6、設，求。7、設，計算。8、計算下列不定積分。 1）、； 2）、； 3）、； 4）、； 5）、； 6）、 7）、； 8）、；9）、； §2 不定積分計算（一）、換元積分法正如由一些簡單函數(shù)的導數(shù)公式可以得到一般的復雜函數(shù)的導數(shù)一樣，不定積分的計算也是由簡單的基本公式出發(fā)，利用技巧和運算法則計算更復雜的不定積分。但是，相對于函數(shù)的求導而言，盡管不定積分的計算是求導的“逆運算”，不定積分的計算仍然復雜得多，要困難得多，不僅會出現(xiàn)同

12、一函數(shù)的不定積分可以具有完全不同形式的結果，甚至會出現(xiàn)很簡單形式的不定積分不能計算，即不能用初等函數(shù)表示的不定積分，如、等。這都表明了不定積分的計算類型多，難度大。因此，對方法和技巧上的要求比較高，從本節(jié)開始，我們分幾個小節(jié)的篇幅討論不定積分的計算。計算的出發(fā)點是針對一些特殊結構的不定積分引入相應的計算方法與技巧。當然，所有方法與技巧的思想方法都是一致的：即將所求不定積分通過不同的技術處理最終轉化為能用積分基本公式或已知結論表示的不定積分，并最終得到結果。由于各種方法和技巧針對性強，因此，要求通過一定量的練習達到熟練掌握之目的。一、簡單換元法“湊”微分法先看一個例子。例1 計算。分析 與之相關

13、的、已知的基本公式為=e+C，分析二者之差別，基本公式中要求：冪指數(shù)x與積分變量x形式是一致的,而要計算的不定積分中，二者是不一致的，相差因子2，為此，“湊”上因子2，使之變?yōu)閮缰笖?shù)2x的微分形式，即2dx=d(2x)，這樣形式上就與基本公式一致，可以用基本公式求解。解、原式= （e+C）。上述過程所用方法就是“湊”微分方法。其實質就是通過分析被積函數(shù)f(x)的結構，在微分因子dx“湊”上某個微分因子，使其成為另一因子的微分形式dx=d；然后以為基本變量，將f(x)表示為以為變量的形式g(),即f(x)=g()，然后，利用基本公式給出結果。進一步分析例1的求解過程，可以看出，湊微分方法也可視為

14、變量代換（換元）過程：即 e+C（e+C）因此，“湊”微分法也稱簡單換元法。通過以上分析，給出“湊”微分法的求解過程: = F(t)+CF(其中。分析上述求解過程可知，湊微分法能夠進行的前提條件為：1）、能表示為；2）、能用基本公式或簡單的計算得到結論。下面，利用“湊”微分法計算幾個例子。關鍵發(fā)現(xiàn)要“湊”的微分因子，這個過程，通常是通過與相類似的基本公式作比較來完成的。例2 求。分析 通過分析結構，發(fā)現(xiàn)本題結構與基本公式中=類似，可以考慮通過湊因子方法或簡單換元轉換為基本類型。解、原式=。分析下面例題的結構，通過與基本積分公式的對比，確定湊的微分因子，然后求解；當然，先將被積函數(shù)簡化是非常必要

15、的。 例3 計算下列不定積分： 1）、 ， 2）、（a>0)， 3）、 ， 4)、， 5）、。 解：1）、沒有直接的對應公式，但注意到被積函數(shù)可通過因式分解進行化簡，因此，應先化簡再分析結構，最后計算。原式。2）、相對應的基本公式為，故 原式= 。注、上面幾個例子，基本沒涉及“湊”微分法3）、 原式= = =4）、 原式= =。5）、 原式= =-t+=。注、從解題過程中發(fā)現(xiàn)，有時要湊的因子，正是被積函數(shù)中的某個因子。注、利用三角函數(shù)關系(包括微分關系)進行因子之間轉化是常用的技巧。注、利用“湊”微分法時，關鍵是選擇一個合適因子湊成微分形式，因此要熟練掌握一些常用的微分形式：,， ， ，

16、。 再看幾個復雜的例子。 例4，計算下列不定積分1） ， 2） ， 3）， 4）。 解、1）、 原式=；2）、原式=；3）、原式=；或者原式=；4）、原式=。注、例4中積分的特點是被積函數(shù)是由兩類不同結構的因子組成，處理這類問題的思想就是利用一定的法則，消去其中的一類因子。換元法給出了處理這類問題的第一種方法。注、通過分析結構，也可以發(fā)現(xiàn)解題的簡單換元法；如題1），與基本積分公式作對比，發(fā)現(xiàn)被積函數(shù)中，比較難處理的因子是，因為基本公式中類似的因子是形式，因此，需要將根式去掉，可以通過換元達到目的，如令；對其它例子，也可以通過類似的分析，確定相應的換元公式。從而可以體會到：湊微分法或簡單換元法的

17、本質就是通過適當?shù)奶幚恚愐蜃?、換元）將被積函數(shù)結構簡單化，這也是解決問題的一般性思想方法。例5 計算：1）； 2) 。 解、1）原式= =。 或用倍角公式化簡更簡單， 原式= ； 2）原式= 。注、充分利用三角函數(shù)關系式簡化被積函數(shù)是常用的技巧。注、不定積分的結果形式可以不同，因此，在得到結果后，可以利用求導的方法驗證結果的正確性。湊微分法具有局限性，只能用來處理簡單的題目，需要進一步引用其它的方法以解決更廣的題目。換元積分法就是處理又一類題目的有力工具。二、換元積分法定理2.1 設連續(xù)，具有一階連續(xù)導數(shù)，存在連續(xù)的反函數(shù)，且，則 。分析 這是不定積分的驗證的命題，處理方法是驗證對應的微分關

18、系式成立，即要證明積分關系 ，只須證明等價的微分關系。證明：由于 ， 故。利用復合函數(shù)的求導法則，則 ，其中 或 ， 。故， ，因而， 。定理2.1 就是換元積分法，從定理2.1可以看出，利用換元積分法計算不定積分的過程為：。從過程看，要計算不定積分首先通過換元將其轉化為，從形式上看，比更復雜，實際上正相反，比更簡單，應該是基本型，因而能容易計算出結果，因此，換元積分法的思想是通過合適的變量代換，將簡化為，從而實現(xiàn)計算的目的。在使用換元法的時，應先分析被積函數(shù)中復雜的因子，通過引入新變量將被積函數(shù)簡單化（和湊微分法的思想是一致的）。例6 計算分析 復雜的因子為，故可通過引入變量代換t=,將復雜

19、的因子化為簡單因子t，但要注意，此因子的化簡過程中盡可能不要使其它因子過于復雜化。解：令t=，則 ， ， 故原式= =注、將復雜因子通過換元變?yōu)楹唵我蜃觮的同時，可能會帶來被積函數(shù)中其它簡單因子（包括積分變量的微分dx）的復雜化，如x，選取的換元應使得這種復雜化不是本質的、結構上的復雜化，否則這種換元是沒有意義的。例7 計算。分析 復雜的因子為，直接按多項式展開計算量太大，為此，通過換元得換元將其簡化。解：令t，則原式=。注、例7也可以通過變換將復雜因子簡單化。例8 計算分析 這是有理分式的不定積分，可由通用的有理分式積分法來解決，但有更簡單的方法，這類積分的結構特點是：分母的最高冪次項為單獨

20、因子，如，因此，可通過倒代換的方法將高冪次轉移到分子上，從而降低分母的冪次。解：令，則原式= =。例9 計算。分析 這類題目的結構特點是出現(xiàn)了關于x的不同的分式冪次，即出現(xiàn)根式，處理方法是通過取整代換同時消去不同的根式，化為有理分式解、令，則原式= =。最后介紹三角函數(shù)代換，這類問題的特點是結構中含有因子或者 ，通過適當?shù)娜呛瘮?shù)變換去掉根式。常用的三角公式有：，。例10 計算：1）、，2）、，3）、 。解：1）、原式= = =，這里用到關系式：。2）、原式 +C = 3）、原式 =+C.注、換元法涉及題型多，技巧多，要多練。注、要牢記上述的結論，這些構成計算更復雜的不定積分的基礎。習題 1、

21、用湊微分法計算下列的不定積分。 1）、； 2）、； 3）、； 4）、； 5）、； 6）、； 7）、； 8）、 9）、； 10）、；11）、； 12）、。2、利用換元積分法計算。 1）、； 2）、； 3）、； 4）、； 5）、； 6）、； 7）、； 8）、；9）、； 10）、；11）、； 12）、； 13）、； 14）、。 15）、；§3 不定積分計算二、分部積分法分部積分法是計算不定積分的又一重要方法，它借助于導數(shù)運算法則，實現(xiàn)被積函數(shù)各因子間的導數(shù)轉移，通過求導簡化被積函數(shù)或導出不定積分所滿足的方程，進而達到不定積分計算之目地。不定積分的分部積分方法的依據(jù)下述微分運算法則。設 u,

22、v都是可微函數(shù)，則 因此，如果下述涉及到的不定積分都存在，則 ，因而，。這就是分部積分公式。這一公式的另一形式為： 。特別，。分析 上述公式表明，將不定積分的計算轉化為計算不定積分，觀察這兩個不定積分可知，分部積分法的實質是：被積函數(shù)各因子間實現(xiàn)導數(shù)的轉移，即原積分中對因子v的求導轉化為對因子u的求導。其目的是：通過導數(shù)轉移，實現(xiàn)不定積分結構的簡單化；因此，原則上要求要比簡單，這也是利用分部積分法時選擇因子u，v的原則，即應該這樣選擇u,v； 選擇v：使得v，結構上變化不大； 選擇u：使得比u結構上更簡單。因此，在包含因子等的不定積分中，由于這些因子的導數(shù)結構沒有發(fā)生變化，故通常將這些因子選為

23、v；而在包含因子如，等因子中，常將這些因子選為u，因為通過這些因子的求導，可以使它們有理化，如，有理化后的因子更容易處理?？磶讉€例子。例1 計算下列不定積分：1）、，2）、 ，3）、，（n>0）。解、1）、原式的被積函數(shù)中，含有兩種結構的因子，必須改變或削去其中的一種結構，由于導數(shù)運算可以改變或削去某種結構，因而，可以采用分部積分法處理，對本題，因子不能通過求導改變或削去，而因子可以通過求導削去，由此確定了分部積分時導數(shù)轉移的因子的選擇。原式=。2）、利用分部積分公式，通過求導將因子的反三角函數(shù)結構轉化為有理式結構，實現(xiàn)被積函數(shù)結構的簡單化。原式= 。3）、通過求導削去對數(shù)結構的因子。原

24、式 。注、例子表明，當被積函數(shù)是兩類不同因子的積時，利用分部積分，通過導數(shù)轉化，簡化或消去了其中一類因子，實現(xiàn)不定積分的計算，因此，分部積分法是處理被積函數(shù)具有兩類不同結構的因子的積分的又一個有效方法。分部積分方法涉及到的另一類題目是利用分部積分得到一個遞推公式或包括所求不定積分的一個方程，然后再求解。例2 計算下列不定積分：1）、I=， 2）、I=，3）、, 4)、，5)、。解 :1）、I= = = =故 ， I=。2）、 I= = =故， 。注、若記 I=，J=。則可看出二者可相互轉化，即 I=， J=。也可通過求解方程組計算I，J（配對積分）。3）、若，則 ； 若，則 = =又， 由此可

25、計算。4）、 = =故 ， ，且， 。5）、 = = =故， ，且 （n為偶數(shù)時，只需計算）， （n為奇數(shù)時，只需計算）。注、這類題目需要給出遞推公式和初值。對較為復雜的題目，可以通過分部積分削去不易計算的那部分，或將被積函數(shù)化簡為完全微分形式，從而達到計算整個不定積分。例3 計算。解、法一、分析 被積函數(shù)有兩種結構的因子，但是，不能直接通過求導改變或削去其中的一個因子，為此，我們先對被積函數(shù)進行簡化，特別是對計算中難以處理的部分進行簡化，本題中應先簡化分母，然后用分部積分法在相應的項之間進行轉化，通過抵消不能計算的部分，達到計算的目的。 。 法二、利用倍角公式簡化被積函數(shù)，將其轉化為完全微分

26、形式。 。注、兩種方法的思想是一致的。習題1、計算下列不定積分。1）、，n>2； 2）、；3）、； 4）、；5）、； 6）、；7）、；8）、；9）、； 10）、；2、給出下列不定積分的遞推公式。 1）、； 2）、； 3）、； 4）、。3、設為的原函數(shù)，且，計算。§4 不定積分的計算三、有理函數(shù)的不定積分一、有理函數(shù)的不定積分稱形如的函數(shù)為有理函數(shù)，其中分別為n次，m次多項式；相應地，稱積分為有理函數(shù)的不定積分，本節(jié)討論這種不定積分的計算。 1、代數(shù)知識 給定有理函數(shù)（有理分式），當n<m時， 稱其為真分式， 當nm時，稱其為假分式。由于對假分式可做如下分解： 假分式=多項

27、式+真分式因此，對有理函數(shù)的不定積分，只需考慮真分式的不定積分。真分式不定積分的計算，關鍵在于實現(xiàn)對真分式的分解，將其分解為最簡分式形式，因此，只需解決最簡分式的不定積分的計算。下面的兩個結論屬于代數(shù)知識。定理4.1 <多項式分解 實系數(shù)多項式總可分解為一系列實系數(shù)一次因子和二次因子的乘冪之積， 其中 ，定理4.2 真分式分解 設 為有理真分式，具有定理4.1中的分解形式，則成立如下分解： + + + +由定理4.2可知，任何一個真分式都可分解為如下兩種因子之和： ， ， 其中 k ， ， .上述兩個有理式稱為最簡分式。2、最簡分式的不定積分計算先考慮形如的最簡分式不定積分。顯然，容易計

28、算， ， ，。其次考慮最簡分式的不定積分。當C=0，D=1時， ，其中。此結果已知，見§3例3。當C0時， 故， ； =，>1。至此，有理分式的不定積分可以從理論上徹底解決。上述分析表明，有理分式不定積分的計算通過將有理分式進行因式分解轉化為最簡分式，最終轉化為最簡分式不定積分的計算，因此，有理式的因式分解是計算過程中非常關鍵的。3、真分式的分解舉例 對一個假分式，我們能夠非常容易地將其分解為多項式和真分式的和，因此，我們只討論如何用定理4.1和定理4.2將具體給定的真分式分解為最簡分式，即如何確定分解式中相應的系數(shù)，我們給出具體確定方法。1）、 解方程組方法設定理4.2的分解

29、結果成立，將右端通分，等式兩端的分子相等，因此兩端對應的同冪次項的系數(shù)相等，由此得到一個方程組，求解方程組即可。例1 將真分式解、 由定理4.2，可設則有， 比較各項系數(shù)得 求解得，故，。上述方法是最基本的，但存在計算量大的缺點，各種技巧可用于求解過程，簡化計算。2）、 取特殊值的方法。設定理4.2的分解成立，通過取 x為特殊的值確定各系數(shù)。例2 將真分式分解為最簡分式。解、由定理4.2，設=通分可得 取 得 ；取， 得 取， 得 。將代入然后取，則，故。注、還有一些技巧也可用于系數(shù)的確定，如，極限，求導等。注、由于有理函數(shù)不定積分的計算主要是有理函數(shù)的分解，因此，具體不定積分的計算，我們就不

30、再舉例。值得指出的是，上述給出的有理函數(shù)的分解計算方法是這類不定積分處理的基本方法，雖然對給定的一個題目來說，這個方法肯定能計算出結果，但是，根據(jù)具體結構選擇合適的方法也許更簡單。例3 計算真分式的不定積分。分析 若直接用真分式分解定理轉化為最簡分式的不定積分的計算，可以看到解題過程較為復雜，分析被積函數(shù)的結構采用下述方法更簡單。解：原式 由于， ， ， ，故， 原式。二、三角函數(shù)有理式的積分。含有三角函數(shù)的不定積分的計算較為復雜，通常來說技巧性強，但是對特定結構的三角函數(shù)的不定積分，其計算仍具某種規(guī)律性。本小結，討論三角函數(shù)有理式的積分。設是兩個變元u，v的有理函數(shù)，由于其它三角函數(shù)都可通過

31、三角函數(shù)公式轉化為因此，三角函數(shù)的有理式都可轉化為形式，因而，我們只討論形如的三角函數(shù)有理式的不定積分的計算。計算的一般性方法就是萬能代換法，即通過變量代換，將其化為有理函數(shù)的不定積分，事實上，若令，則利用三角公式 ： ， ，而，故，故 ，后者便是有理函數(shù)的不定積分，其計算是已知的。例4 計算。解、利用萬能公式，則，故 原式= = =。萬能代換法是處理三角函數(shù)有理式積分的普通方法，但是，借助三角函數(shù)之間特殊的關系式，針對特殊結構的三角函數(shù)有理式的不定積分采用特殊的方法則更為簡單。如例4的下述解法更簡單。例4的解法2、 原式= =。因此，我們必須在掌握基本方法的基礎上，對具體問題具體分析，利用其

32、自身的結構特點尋找最簡單的計算方法。再看一系列特殊結構的題目。如: . 。 .上述例子充分利用了三角函數(shù)的積化和差公式、倍角公式，特別是倍角公式是偶次冪正（余）弦函數(shù)降冪的有效方法。下面的例子也很有技巧性。例5 求。解、原式 。充分利用三角函數(shù)的微分性質是這類不定積分計算的又一技巧。例6 求1）、，2）、。分析 1）的結構特點是分子和分母具有相同的結構，都是asinx+bcosx形式，不僅如此，其微分形式保持結構不變性: d(asinx+bcosx)=(acosx-bsinx)dx因而，可將分子按分母和分母的微分形式進行分解，從而，達到簡化計算的目的。解、1）由于 ，故，若令 則 A=2，B=1，因而， 原式=。注、總結一下這類題目的特點和求解方法如下