高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料

1、洛必達(dá)法則1 / 8洛必達(dá)法則(L'Hospital法則)，是在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法。 設(shè) (1)當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零； (2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)0； (3)當(dāng)xa時(shí)lim f'(x)/F'(x)存在(或?yàn)闊o窮大)，那么 xa時(shí) lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 再設(shè) (1)當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零； (2)當(dāng)|x|>N時(shí)f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x

2、)0； (3)當(dāng)x時(shí)lim f'(x)/F'(x)存在(或?yàn)闊o窮大)，那么 x時(shí) lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意： 在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足0/0或/型未定式，否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不存在時(shí)（不包括情形），就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。比如利用泰勒公式求解。 若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。 洛必達(dá)法則是求未定式極限的有效工具，但是如果僅用洛必達(dá)法則，往往計(jì)算會(huì)十分繁瑣，因此一定要與其他方法相

3、結(jié)合，比如及時(shí)將非零極限的乘積因子分離出來以簡(jiǎn)化計(jì)算、乘積因子用等價(jià)量替換等等. 泰勒公式（Taylor's formula） 泰勒中值定理：若函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時(shí)，可以展開為一個(gè)關(guān)于（x-x.)多項(xiàng)式和一個(gè)余項(xiàng)的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)3+f(n)(x.)/n!*(x-x.)n+Rn 其中Rn=f(n+1)()/(n+1)!*(x-x.)(n+1),這里在x和x.之間，該余項(xiàng)稱為拉

4、格朗日型的余項(xiàng)。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n階導(dǎo)數(shù)，不是f(n)與x.的相乘。） 證明我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+（根據(jù)拉格朗日中值定理導(dǎo)出的有限增量定理有l(wèi)imx0 f(x.+x)-f(x.)=f'(x.)x），其中誤差是在limx0 即limxx.的前提下才趨向于0，所以在近似計(jì)算中往往不夠精確；于是我們需要一個(gè)能夠足夠精確的且能估計(jì)出誤差的多項(xiàng)式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)2+An(x-x.)n 來近似地表示函數(shù)f(x)且要寫出其誤差f(x)-P(x)的具體表達(dá)式。設(shè)函數(shù)P(x)滿足P(x.)=f(x.),

5、P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、An。顯然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)2+f(n)(x.)/n!?(x

6、-x.)n. 接下來就要求誤差的具體表達(dá)式了。設(shè)Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=Rn(n)(x.)=0。根據(jù)柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)(n+1)=（Rn(x)-Rn(x.)）/（(x-x.)(n+1)-0）=Rn'(1)/(n+1)(1-x.)n(注：(x.-x.)(n+1)=0),這里1在x和x.之間；繼續(xù)使用柯西中值定理得（Rn'(1)-Rn'(x.)）/（(n+1)(1-x.)n-0）=Rn''(2)/n

7、(n+1)(2-x.)(n-1)這里2在1與x.之間；連續(xù)使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)(n+1)=Rn(n+1)()/(n+1)!，這里在x.和x之間。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一個(gè)常數(shù)，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。綜上可得，余項(xiàng)Rn(x)=f(n+1)()/(n+1)!?(x-x.)(n+1)。一般來說展開函數(shù)時(shí)都是為了計(jì)算的需要，故x往往要取一個(gè)定值，此時(shí)也可把Rn(x)寫為Rn。 麥克勞林展開式：若函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則

8、當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時(shí)，可以展開為一個(gè)關(guān)于x多項(xiàng)式和一個(gè)余項(xiàng)的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x2,+f'''(0)/3!?x3+f(n)(0)/n!?xn+Rn 其中Rn=f(n+1)(x)/(n+1)!?x(n+1),這里0<<1。 證明：如果我們要用一個(gè)多項(xiàng)式P(x)=A0+A1x+A2x2+Anxn來近似表示函數(shù)f(x)且要獲得其誤差的具體表達(dá)式，就可以把泰勒公式改寫為比較簡(jiǎn)單的形式即當(dāng)x.=0時(shí)的特殊形式： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x2,+f

9、9;''(0)/3!?x3+f(n)(0)/n!?xn+f(n+1)()/(n+1)!?x(n+1) 由于在0到x之間，故可寫作x，0<<1。 麥克勞林展開式的應(yīng)用： 1、展開三角函數(shù)y=sinx和y=cosx。 解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx 于是得出了周期規(guī)律。分別算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f

10、(4)=0 最后可得：sinx=x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+x9/9!-（這里就寫成無窮級(jí)數(shù)的形式了。） 類似地，可以展開y=cosx。 2、計(jì)算近似值e=lim x (1+1/x)x。 解：對(duì)指數(shù)函數(shù)y=ex運(yùn)用麥克勞林展開式并舍棄余項(xiàng)： ex1+x+x2/2!+x3/3!+xn/n! 當(dāng)x=1時(shí)，e1+1+1/2!+1/3!+1/n! 取n=10,即可算出近似值e2.7182818。 3、歐拉公式：eix=cosx+isinx（i為-1的開方，即一個(gè)虛數(shù)單位） 證明：這個(gè)公式把復(fù)數(shù)寫為了冪指數(shù)形式，其實(shí)它也是由麥克勞林展開式確切地說是麥克勞林級(jí)數(shù)證明的。過程具體不寫了，就把思路

11、講一下：先展開指數(shù)函數(shù)ez，然后把各項(xiàng)中的z寫成ix。由于i的冪周期性，可已把系數(shù)中含有土i的項(xiàng)用乘法分配律寫在一起，剩余的項(xiàng)寫在一起，剛好是cosx,sinx的展開式。然后讓sinx乘上提出的i，即可導(dǎo)出歐拉公式。有興趣的話可自行證明一下。 泰勒展開式原理e的發(fā)現(xiàn)始于微分,當(dāng) h 逐漸接近零時(shí),計(jì)算 之值,其結(jié)果無限接近一定值 2.71828.,這個(gè)定值就是 e,最早發(fā)現(xiàn)此值的人是瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉,他以自己姓名的字頭小寫 e 來命名此無理數(shù). 計(jì)算對(duì)數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù),得 ,當(dāng) a=e 時(shí), 的導(dǎo)數(shù)為 ,因而有理由使用以 e 為底的對(duì)數(shù),這叫作自然對(duì)數(shù). 若將指數(shù)函數(shù) ex 作泰勒展開,則得

12、以 x=1 代入上式得 此級(jí)數(shù)收斂迅速,e 近似到小數(shù)點(diǎn)后 40 位的數(shù)值是 將指數(shù)函數(shù) ex 擴(kuò)大它的定義域到復(fù)數(shù) z=x+yi 時(shí),由 透過這個(gè)級(jí)數(shù)的計(jì)算,可得 由此,De Moivre 定理,三角函數(shù)的和差角公式等等都可以輕易地導(dǎo)出.譬如說,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i, 另方面, 所以, 我們不僅可以證明 e 是無理數(shù),而且它還是個(gè)超越數(shù),即它不是任何一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的根,這個(gè)結(jié)果是 Hermite 在1873年得到的. 甲)差分. 考慮一個(gè)離散函數(shù)(即數(shù)列) R,它在 n 所取的值 u(n) 記成 un,通常我們就把這個(gè)函數(shù)書成 或 (un).數(shù)列 u 的差分 還是一個(gè)數(shù)

13、列,它在 n 所取的值以定義為 以后我們干脆就把 簡(jiǎn)記為 (例):數(shù)列 1, 4, 8, 7, 6, -2, . 的差分?jǐn)?shù)列為 3, 4, -1, -1, -8 . 注:我們說數(shù)列是定義在離散點(diǎn)上的函數(shù)如果在高中,這樣的說法就很惡劣.但在此地,卻很恰當(dāng),因?yàn)檫@樣才跟連續(xù)型的函數(shù)具有完全平行的類推. 差分算子的性質(zhì) (i) 合稱線性 (ii) (常數(shù)) 差分方程根本定理 (iii) 其中 ,而 (n(k) 叫做排列數(shù)列. (iv) 叫做自然等比數(shù)列. (iv)' 一般的指數(shù)數(shù)列(幾何數(shù)列)rn 之差分?jǐn)?shù)列(即導(dǎo)函數(shù))為 rn(r-1) (乙).和分 給一個(gè)數(shù)列 (un).和分的問題就是要

14、算和 . 怎么算呢 我們有下面重要的結(jié)果: 定理1 (差和分根本定理) 如果我們能夠找到一個(gè)數(shù)列 (vn),使得 ,則 和分也具有線性的性質(zhì): 甲)微分 給一個(gè)函數(shù) f,若牛頓商(或差分商) 的極限 存在,則我們就稱此極限值為 f 為點(diǎn) x0 的導(dǎo)數(shù),記為 f'(x0) 或 Df(x),亦即 若 f 在定義區(qū)域上每一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)都存在,則稱 f 為可導(dǎo)微函數(shù).我們稱 為 f 的導(dǎo)函數(shù),而 叫做微分算子. 微分算子的性質(zhì): (i) 合稱線性 (ii) (常數(shù)) 差分方程根本定理 (iii) Dxn=nxn-1 (iv) Dex=ex (iv)' 一般的指數(shù)數(shù)列 ax 之導(dǎo)函數(shù)為 (乙)

15、積分. 設(shè) f 為定義在 a,b 上的函數(shù),積分的問題就是要算陰影的面積.我們的辦法是對(duì) a,b 作分割: ;其次對(duì)每一小段 xi-1,xi 取一個(gè)樣本點(diǎn) ;再求近似和 ;最后再取極限 (讓每一小段的長(zhǎng)度都趨近于 0). 若這個(gè)極限值存在,我們就記為 的幾何意義就是陰影的面積. (事實(shí)上,連續(xù)性也差不多是積分存在的必要條件.) 積分算子也具有線性的性質(zhì): 定理2 若 f 為一連續(xù)函數(shù),則 存在.(事實(shí)上,連續(xù)性也差不多是積分存在的必要條件.) 定理3 (微積分根本定理) 設(shè) f 為定義在閉區(qū)間 a,b 上的連續(xù)函數(shù),我們欲求積分 如果我們可以找到另一個(gè)函數(shù) g,使得 g'=f,則 注:

16、(1)(2)兩式雖是類推,但有一點(diǎn)點(diǎn)差異,即和分的上限要很小心! 上面定理1及定理3基本上都表述著差分與和分,微分與積分,是兩個(gè)互逆的操作,就好像加法與減法,乘法與除法是互逆的操作一樣. 我們都知道差分與微分的操作比和分與積分簡(jiǎn)單多了,而上面定理1及定理3告訴我們,要計(jì)算 (un) 的和分及 f 的積分,只要去找另一個(gè) (vn) 及 g 滿足 , g'=f (這是差分及微分的問題),那么對(duì) vn 及 g 代入上下限就得到答案了.換句話說,我們可以用較簡(jiǎn)單的差分及微分操作來掌握較難的和分及積分操作,這就是"以簡(jiǎn)御繁"的精神.牛頓與萊布尼慈對(duì)微積分最大的貢獻(xiàn)就在此. 甲

17、)Taylor展開公式 這分別有離散與連續(xù)的類推.它是數(shù)學(xué)中逼近這個(gè)重要想法的一個(gè)特例.逼近想法的意思是這樣的:給一個(gè)函數(shù) f,我們要研究 f 的行為,但 f 本身可能很復(fù)雜而不易對(duì)付,于是我們就想法子去找一個(gè)較簡(jiǎn)單的函數(shù) g,使其跟 f 很靠近,那么我們就用 g 來取代 f.這又是以簡(jiǎn)御繁的精神表現(xiàn).由上述我們看出,要使用逼近想法,我們還需要澄清 兩個(gè)問題:即如何選取簡(jiǎn)單函數(shù)及逼近的尺度. (一) 對(duì)于連續(xù)世界的情形,Taylor 展式的逼近想法是選取多項(xiàng)函數(shù)作為簡(jiǎn)單函數(shù),并且用局部的切近作為逼近尺度.說得更明白一點(diǎn),給一個(gè)直到到 n 階都可導(dǎo)微的函數(shù) f,我們要找一個(gè) n 次多項(xiàng)函數(shù) g,

18、使其跟 f 在點(diǎn) x0 具有 n 階的切近,即 ,答案就是 此式就叫做 f 在點(diǎn) x0 的 n 階 Taylor 展式. g 在 x0 點(diǎn)附近跟 f 很靠近,于是我們就用 g 局部地來取代 f.從而用 g 來求得 f 的一些局部的定性行為.因此 Taylor 展式只是局部的逼近.當(dāng)f是足夠好的一個(gè)函數(shù),即是所謂解析的函數(shù)時(shí),則 f可展成 Taylor 級(jí)數(shù),而且這個(gè) Taylor 級(jí)數(shù)就等于 f 自身. 值得注意的是,一階 Taylor 展式的特殊情形,此時(shí) g(x)=f(x0）+f'(x0)(x-x0) 的圖形正好是一條通過點(diǎn) (x0,f(x0) 而且切于 f 的圖形之直線.因此 f

19、 在點(diǎn) x0 的一階 Taylor 展式的意義就是,我們用過點(diǎn) (x0,f(x0) 的切線局部地來取代原來 f 曲線.這種局部化用平直取代彎曲的精神,是微分學(xué)的精義所在. 利用 Taylor 展式,可以幫忙我們做很多事情,比如判別函數(shù)的極大值與極小值,求積分的近似值,作函數(shù)表(如三角函數(shù)表,對(duì)數(shù)表等),這些都是意料中事.事實(shí)上,我們可以用逼近的想法將微積分一以貫之. 復(fù)次我們注意到,我們選取多項(xiàng)函數(shù)作為逼近的簡(jiǎn)單函數(shù),理由很簡(jiǎn)單:在眾多初等函數(shù)中,如三角函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),多項(xiàng)函數(shù)等,從算術(shù)的觀點(diǎn)來看,以多項(xiàng)函數(shù)最為簡(jiǎn)單,因?yàn)橐?jì)算多項(xiàng)函數(shù)的值,只牽涉到加減乘除四則運(yùn)算,其它函數(shù)就沒有這

20、么簡(jiǎn)單. 當(dāng)然,從別的解析觀點(diǎn)來看,在某些情形下還另有更有用更重要的簡(jiǎn)單函數(shù).例如,三角多項(xiàng)式,再配合上某種逼近尺度,我們就得到 Fourier 級(jí)數(shù)展開,這在應(yīng)用數(shù)學(xué)上占有舉足輕重的地位.(事實(shí)上,Fourier 級(jí)數(shù)展開是采用最小方差的逼近尺度,這在高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn),而且在統(tǒng)計(jì)學(xué)中也有應(yīng)用.) 注:取 x0=0 的特例,此時(shí) Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式.不過只要會(huì)做特例的展開,欲求一般的 Taylor 展式,作一下平移(或變數(shù)代換)就好了.因此我們大可從頭就只對(duì) x=0 點(diǎn)作 Taylor 展式. (二) 對(duì)于離散的情形,Taylor 展開就是: 給一個(gè)數(shù)列 ,我

21、們要找一個(gè) n 次多項(xiàng)式數(shù)列 (gt),使得 gt 與 ft 在 t=0 點(diǎn)具有 n 階的差近.所謂在 0 點(diǎn)具有 n 階差近是指: 答案是 此式就是離散情形的 Maclaurin 公式. 乙)分部積分公式與Abel分部和分公式的類推 (一) 分部積分公式: 設(shè) u(x),v(x) 在 a,b 上連續(xù),則 (二) Abel分部和分公式: 設(shè)(un),(v)為兩個(gè)數(shù)列,令 sn=u1+.+un,則 上面兩個(gè)公式分別是萊布尼慈導(dǎo)微公式 D(uv)=(Du)v+u(Dv),及萊布尼慈差分公式 的結(jié)論.注意到,這兩個(gè)萊布尼慈公式,一個(gè)很對(duì)稱,另一個(gè)則不然. (丁)復(fù)利與連續(xù)復(fù)利 (這也分別是離散與連續(xù)

22、之間的類推) (一) 復(fù)利的問題是這樣的:有本金 y0,年利率 r,每年復(fù)利一次,要問 n 年后的本利和 yn= 顯然這個(gè)數(shù)列滿足差分方程 yn+1=yn(1+r) 根據(jù)(丙)之(二)得知 yn=y0(1+r)n 這就是復(fù)利的公式. (二) 若考慮每年復(fù)利 m 次,則 t 年后的本利和應(yīng)為 令 ,就得到連續(xù)復(fù)利的概念,此時(shí)本利和為y(t)=y0ert 換句話說,連續(xù)復(fù)利時(shí),t 時(shí)刻的本利和 y(t)=y0ert 就是微分方程 y'=ry 的解答. 由上述我們看出離散復(fù)利問題由差分方程來描述,而連續(xù)復(fù)利的問題由微分方程來描述.對(duì)于常系數(shù)線性的差分方程及微分方程,解方程式的整個(gè)要點(diǎn)就是疊合

23、原理,因此求解的辦法具有完全平行的類推. (戊)Fubini 重和分定理與 Fubini 重積分定理(也是離散與連續(xù)之間的類推) (一) Fubini 重和分定理:給一個(gè)兩重指標(biāo)的數(shù)列 (ars),我們要從 r=1 到 m,s=1到 n, 對(duì) (ars) 作和 ,則這個(gè)和可以這樣求得:光對(duì) r 作和再對(duì) s 作和(反過來亦然).亦即我們有 (二)Fubini 重積分定理:設(shè) f(x,y) 為定義在 上之可積分函數(shù),則 當(dāng)然,變數(shù)再多幾個(gè)也都一樣. (己)Lebesgue 積分的概念 (一) 離散的情形:給一個(gè)數(shù)列 (an),我們要估計(jì)和 ,Lebesgue 的想法是,不管這堆數(shù)據(jù)指標(biāo)的順序,我

24、們只按數(shù)值的大小來分堆,相同的分在一堆,再?gòu)拿恳欢阎腥∫粋€(gè)數(shù)值,乘以該堆的個(gè)數(shù),整個(gè)作和起來,這就得到總和. (二)連續(xù)的情形:給一個(gè)函數(shù) f,我們要定義曲線 y=f(x) 跟 X 軸從 a 到 b 所圍出來的面積. Lebesgue 的想法是對(duì) f 的影域 作分割: 函數(shù)值介 yi-1 到 yi 之間的 x 收集在一齊,令其為 , 于是 a,b 就相應(yīng)分割成 ,取樣本點(diǎn) ,作近似和 讓影域的分割加細(xì),上述近似和的極限若存在的話,就叫做 f 在 a,b 上的 Lebesgue 積分. 余項(xiàng)泰勒公式的余項(xiàng)f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)

25、(x-a)2/2! + + f(n)(a)(x-a)n/n! + Rn(x) 其中f(n)是f的n階導(dǎo)數(shù) 泰勒余項(xiàng)可以寫成以下幾種不同的形式： 1.佩亞諾(Peano)余項(xiàng)： Rn(x) = o(x-a)n) 2.施勒米爾希-羅什(Schlomilch-Roche)余項(xiàng)： Rn(x) = f(n+1)(a+(x-a)(1-)(n+1-p)(x-a)(n+1)/(n!p) f(n+1)是f的n+1階導(dǎo)數(shù)，(0,1) 3.拉格朗日(Lagrange)余項(xiàng)： Rn(x) = f(n+1)(a+(x-a)(x-a)(n+1)/(n+1)! f(n+1)是f的n+1階導(dǎo)數(shù)，(0,1) 4.柯西(Cauchy)余項(xiàng)： Rn(x) = f(n+1)(a+(x-a)(1-)n (x-a)(n+1)/n! f(n+1)是f的n+1階導(dǎo)數(shù)，(0,1) 5.積分余項(xiàng)： Rn(x) = f(n+1)(t)(x-t)n在a到x上的積分/n! f(n+1)是f的n+1階導(dǎo)數(shù) 也叫Cauchy中值定理。 設(shè)函數(shù)f(x),g(x)滿足是在a,b連續(xù)，（a、b）可導(dǎo)，g'(x)0(x(a,b) 則至少存在一點(diǎn),(a,b),使f'()/g'()=f(a)-f(b)/g(