高中函數(shù)專題講義

1、函數(shù)講義1、 考試內(nèi)容 映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性；反函數(shù)、互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系；指數(shù)概念的擴(kuò)充、有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)；對(duì)數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用舉例。2、 主要內(nèi)容1. 函數(shù)的單調(diào)性單一函數(shù)：（1）設(shè)那么上是增函數(shù)；上是減函數(shù).(2) 設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù). 復(fù)合函數(shù)：如果函數(shù)和都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù);如果函數(shù)和在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)是增函數(shù).2. 奇偶函數(shù)的圖象特征奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇

2、函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)若函數(shù)是偶函數(shù)，則(x)=(-x),若函數(shù)是奇函數(shù)，則(x)=-(-x)注：若函數(shù)是偶函數(shù)，則；若函數(shù)是偶函數(shù)，則.對(duì)稱性對(duì)于函數(shù)(),恒成立,則函數(shù)的對(duì)稱軸是函數(shù)。若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;若,則函數(shù)為周期為的周期函數(shù).3. 多項(xiàng)式函數(shù)的奇偶性多項(xiàng)式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.多項(xiàng)式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.23.函數(shù)的圖象的對(duì)稱性(1)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.4. 兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性(1)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對(duì)稱.(2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.

3、(3)函數(shù)和的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.25.若將函數(shù)的圖象右移、上移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象；若將曲線的圖象右移、上移個(gè)單位，得到曲線的圖象.5. 互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系.27.若函數(shù)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為,并不是,而函數(shù)是的反函數(shù).6. 幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)方程(1)正比例函數(shù),.(2)指數(shù)函數(shù),.(3)對(duì)數(shù)函數(shù),.(4)冪函數(shù),.(5)余弦函數(shù),正弦函數(shù)，. 7. 幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)（1），則的周期T=a；（2），或，或,或,則的周期T=2a；(3)，則的周期T=3a；(4)且，則的周期T=4a；(5),則的周期T=5a；(6)，則的周期T=6a.8. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1)

4、（，且）.(2)（，且）.9. 根式的性質(zhì)（1）.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.10. 有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1).(2).(3).注：若a0，p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都適用.33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式.34.對(duì)數(shù)的換底公式 (,且,且, ).推論 (,且,且, ).11. 對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則若a0，a1，M0，N0，則(1);(2);(3).注：設(shè)函數(shù),記.若的定義域?yàn)?則，且;若的值域?yàn)?則，且.對(duì)于的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn).12. 對(duì)數(shù)換底不等式及其推論若,則函數(shù)(1) 當(dāng)時(shí),在和上為增函數(shù).(2) (2)當(dāng)時(shí),在和上為減函數(shù).

5、推論:設(shè)，且，則（1）.（2）.三、主要問(wèn)題1、定義域普通函數(shù)1 函數(shù) 的定義域是R，則k的取值范圍是（ ）。A、k0或k1B、k1C、0k1D、0<k1 2 函數(shù)=+4，則x的取值范圍是_3 函數(shù)=,則x的取值范圍是_4 =,則x的取值范圍是_抽象函數(shù)1、若函數(shù)y=f(x+1)的定義域是-2，3，則y=f(2x-1)的定義域是（ ）。A、 B、-1，4C、-5，5D、-3，72、已知函數(shù)的定義域?yàn)?1，1，求（2x-1）的定義域3、已知的定義域是-2，4，則g(x)=+(-x)的定義域是_4、已知（）的定義域?yàn)?，3，求的定義域與一元二次函數(shù)的聯(lián)系1、 =的定義域?yàn)镽，求a得取值范圍2

6、、 2、=的定義域?yàn)镽，求m得取值范圍總結(jié)：求函數(shù)的定義域，就要把含有所求變量的每一個(gè)定義域都求出來(lái)；注意強(qiáng)化整體意識(shí)。2、 值域配方法：求函數(shù)的值域。判別式法 ：1、求函數(shù)的值域。 （1）當(dāng)時(shí)，解得：（2）當(dāng)y=1時(shí)，而故函數(shù)的值域?yàn)榍蠛瘮?shù)的值域。代入方程（1）解得：即當(dāng)時(shí)，原函數(shù)的值域?yàn)椋盒ips用判別式法求定義域時(shí)，應(yīng)首先判斷自變量的取值范圍反函數(shù)法：直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過(guò)求其原函數(shù)的定義域來(lái)確定原函數(shù)求函數(shù)值域。函數(shù)有界性法求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：，可化為：即即解得：換元法通過(guò)簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元

7、法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。求函數(shù)的值域。解：令，則又，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域?yàn)?數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域求函數(shù)的值域。3、 單調(diào)性(1) 判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性若為具體函數(shù)，嚴(yán)格按照定義判斷，注意變換中的等價(jià)性 若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性 1、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)=-x3+1在R上是減函數(shù)2、若f(x)為奇函數(shù)，且在(0，+)內(nèi)是增函數(shù)，又f(3)=0,則xf(x)<0的解集為_(kāi) 3、已知奇函數(shù)f(x)是定義在(3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x3)+f(x23)&

8、lt;0,設(shè)不等式解集為A，B=Ax|1x,求函數(shù)g(x)=3x2+3x4(xB)的最大值 4、復(fù)合函數(shù) 定義在R+上的函數(shù)f(x)滿足f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y) 當(dāng)x>y時(shí)，有f(x)>f(y)，如果f(x)+f(x-3)2，求x的取值范圍4、奇偶性與周期性1、已知函數(shù)f（x）ax2bx3ab是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閍1，2a，則（）A，b0Ba1，b0 Ca1，b0Da3，b02、若，g（x）都是奇函數(shù)，在（0，）上有最大值5，則f（x）在（，0）上有（）A最小值5B最大值5C最小值1D最大值33、f（x）是定義在（，55，）上的奇函數(shù)，且f（x）在5，）上單調(diào)

9、遞減，試判斷f（x）在（，5上的單調(diào)性，并用定義給予證明4、設(shè)函數(shù)yf（x）（xR且x0）對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x1、x2滿足f（x1·x2）f（x1）f（x2），求證f（x）是偶函數(shù)5、 對(duì)稱性與周期性1、 已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則的值為 2、設(shè)是定義在上以為周期的函數(shù)，在內(nèi)單調(diào)遞減，且的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則下面正確的結(jié)論是 3、已知函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則的值為 4、 設(shè)在R上是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，=，則（-2)=_5、 已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足 （x+1)=(x-1),x0,1時(shí)，=x，則=的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)有6、 抽象函數(shù)1. 已知函數(shù)y = f (x)(xR，x

10、0)對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)，恒有f()=f()+f(),試判斷f(x)的奇偶性。2、設(shè)函數(shù)對(duì)任意,都有, 已知，求,的值.3、 設(shè)f（x）是定義R在上的函數(shù)，對(duì)任意x，yR，有 f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）0.（1）求證f（0）=1；（2）求證：y=f（x）為偶函數(shù).4、已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且當(dāng)x0時(shí)，f（x）0，f（1）2，求f（x）在區(qū)間2，1上的值域。5、函數(shù)對(duì)于x>0有意義，且滿足條件減函數(shù)。證明：；（2）若成立，求x的取值范圍。6、 函數(shù)圖象1、3、.函數(shù)y1的圖象是( )已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx

11、+d的圖像如圖，求b的范圍 7、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的考查1、以下四個(gè)數(shù)中的最大者是（ ）A（ln2）2 Bln（ln2） Cln Dln22、設(shè)是奇函數(shù)，則使的的取值范圍是（ ）A B C D3、函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）A4 B3 C2 D14、函數(shù)的圖象大致是（ ）5、將函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位，得到圖象C1，再將C1向上平移一個(gè)單位得到圖象C2，則C2的解析式為_(kāi)。6、若關(guān)于的方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_。7、根據(jù)函數(shù)的圖象判斷：當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，方程無(wú)解？有一解？有兩解？8、函數(shù)圖象的變換1、要得到函數(shù)ysin(2x)的圖象，只需將函數(shù)ysin2x的圖象( )(A)向

12、左平移 個(gè)單位 (B)向右平移個(gè)單位(C)向左平移個(gè)單位 (D)向右平移個(gè)單位2、設(shè)函數(shù)f(x)1 (-1x0)，則函數(shù)yf 1(x)的圖象是( )3、將y2x的圖象( )(A)先向左平行移動(dòng)1個(gè)單位(B)先向右平行移動(dòng)1個(gè)單位(C)先向上平行移動(dòng)1個(gè)單位(D)先向下平行移動(dòng)1個(gè)單位再作關(guān)于直線yx對(duì)稱的圖象，可得到y(tǒng)log2(x+1)的圖象。4、已知函數(shù)yf(x)的圖象如圖2(甲)所示，yg(x)的圖象如圖2(乙)所示，則函數(shù)y=f(x)·g(x)的圖象可能是圖3中的 ( ) 5、已知圖4(1)中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為yf(x)，則圖4(2)中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)在下列給出的四式中，只可能是( ) (A)yf(|x|) (B)y=|f(x)| (C)yf(-|x|) (D)y-f(|x|)6、：已知函數(shù)f(x)ax3+bx2+cx+d的圖象如圖5，則 ( ) (A)b(-，0)(B)b(0，1) (C)b(1，2)(D)b(2，+)9、函數(shù)綜合大題1、已知的反函數(shù)為，.(1)若，求的取值范圍D；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.2、設(shè)二次函數(shù)滿足下列條件：當(dāng)R時(shí)，的最小值為0，且f (1)=f(1)成立；當(dāng)(0,5)時(shí)，2+1恒成立。（1）求的值； （2）求的解析式；（3）求最大的實(shí)數(shù)m