高等數(shù)學(xué)習(xí)題詳解極限與連續(xù)

1、習(xí)題2-11. 觀察下列數(shù)列的變化趨勢(shì)，寫出其極限：(1) ; (2) ； (3) ； (4) .解：(1) 此數(shù)列為 所以。(2) 所以原數(shù)列極限不存在。(3) 所以。(4) 所以2.下列說法是否正確：(1)收斂數(shù)列一定有界 ; (2)有界數(shù)列一定收斂； (3)無界數(shù)列一定發(fā)散；(4)極限大于0的數(shù)列的通項(xiàng)也一定大于0.解：(1) 正確。(2) 錯(cuò)誤 例如數(shù)列有界，但它不收斂。(3) 正確。(4) 錯(cuò)誤 例如數(shù)列極限為1，極限大于零，但是小于零。*3.用數(shù)列極限的精確定義證明下列極限：(1) ; (2) ；(3) 證：(1) 對(duì)于任給的正數(shù)，要使，只要即可，所以可取正整數(shù).因此，當(dāng)時(shí)，總有，

2、所以.(2) 對(duì)于任給的正數(shù)，當(dāng)時(shí)，要使，只要即可，所以可取正整數(shù).因此，當(dāng)時(shí)，總有，所以.(3) 對(duì)于任給的正數(shù)，要使，只要即可，所以可取正整數(shù).因此，當(dāng)時(shí)，總有，所以.習(xí)題2-21. 利用函數(shù)圖像，觀察變化趨勢(shì)，寫出下列極限：(1) ; (2) ； (3) ； (4) ;(5) ; (6) ； (7) ； (8) 解：(1) ; (2) ； (3) ； (4) ;(5) ; (6) ； (7) ； (8) 2. 函數(shù)在點(diǎn)x0處有定義，是當(dāng)時(shí)有極限的(D)(A) 必要條件(B) 充分條件(C) 充要條件 (D) 無關(guān)條件解：由函數(shù)極限的定義可知，研究當(dāng)?shù)臉O限時(shí)，我們關(guān)心的是x無限趨近x0時(shí)的

3、變化趨勢(shì)，而不關(guān)心在處有無定義，大小如何。3. 與都存在是函數(shù)在點(diǎn)x0處有極限的(A)(A) 必要條件(B) 充分條件(C) 充要條件 (D) 無關(guān)條件解：若函數(shù)在點(diǎn)x0處有極限則與一定都存在。4 設(shè)作出的圖像；求與；判別是否存在? 解：，故不存在。5設(shè),當(dāng)時(shí)，分別求與的左、右極限，問與是否存在? 解：由題意可知，則，因此。由題意可知，因此不存在。*6.用極限的精確定義證明下列極限：(1) ; (2) ；(3) .證：(1) ，要使，只要即可.所以，,當(dāng)時(shí)，都有，故.(2) 對(duì)于任給的正數(shù)，要使,只要. 所以， , 當(dāng)時(shí)，都有不等式成立.故.(3) 對(duì)于任給的正數(shù)，要使,只要.所以， , 當(dāng)時(shí)

4、，都有不等式成立.故.習(xí)題2-31下列函數(shù)在什么情況下為無窮小?在什么情況下為無窮大?(1);(2);(3)解：(1) 因?yàn)?，故時(shí)為無窮小，因?yàn)?，故時(shí)為無窮大。(2) 因?yàn)?，故時(shí)為無窮小，因?yàn)?，故和時(shí)都為無窮大。(3) 因?yàn)?，故和時(shí)為無窮小，因?yàn)?，故時(shí)為無窮大。2求下列函數(shù)的極限：(1) ;(2);(3).解：(1) 因?yàn)?，且，故?(2) 因?yàn)椋?，故?(3) 因?yàn)?，且，故?習(xí)題2-41. 下列運(yùn)算正確嗎?為什么?(1) ;(2).解：(1) 不正確，因?yàn)椴淮嬖?，所以此時(shí)極限的四則運(yùn)算法則失效。正確做法是：因?yàn)?，且，故?(2) 不正確，因?yàn)椋荒茏龇帜福源藭r(shí)極限的四則運(yùn)算法則失效。

5、正確做法是：因?yàn)?，由無窮小與無窮大的關(guān)系可知.2. 求下列極限：(1) ； （2） ；（3）;(4) ;(5) ; （6）;(7) ; (8);(9) .解：(1) ； （2） ；（3）;(4) ;(5) ; （6）; 因?yàn)?，且，所?7) ; (8);(9) .3.已知 , 求 解：因?yàn)椋?，。?xí)題2-51.求下列函數(shù)的極限：(1);(2);(3); （4）;(5); (6).解：(1);(2);(3); （4）;(5); (6).2. 求下列函數(shù)的極限:(1); (2);(3) ; (4).解：(1); (2);(3) ; (4).習(xí)題2-61. 當(dāng)時(shí)，與相比，哪個(gè)是高階無窮小量？解：因

6、為，所以比高價(jià)。2. 當(dāng)時(shí)，無窮小量與（1）；（2）是否同階？是否等價(jià)？解：因?yàn)?，所以與是同階無窮小，因?yàn)椋薀o窮小量與 是等價(jià)無窮小。3. 利用等價(jià)無窮小，求下列極限:(1); (2)；（3）； （4） ；（5） ； （6） .解：(1); (2)；（3）； （4） ；（5） ； （6） .習(xí)題2-71.研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫出圖形：（1） （2） （3）.解：（1）在區(qū)間和是初等函數(shù)，因此在區(qū)間和是連續(xù)函數(shù)，因?yàn)?，所以在點(diǎn)右連續(xù)，因?yàn)?，且，所以在點(diǎn)連續(xù)，綜上所述，在區(qū)間是連續(xù)函數(shù)。（2）在區(qū)間，和是初等函數(shù)，因此在上是連續(xù)函數(shù)，因?yàn)椋?，所以在點(diǎn)連續(xù)，因?yàn)?，所以在點(diǎn)間斷，綜上所述，在區(qū)

7、間是連續(xù)函數(shù)，在點(diǎn)間斷。（3）由題意知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此，在區(qū)間，和是初等函數(shù)，因此在上是連續(xù)函數(shù)，因?yàn)?，所以在點(diǎn)間斷，因?yàn)?，所以在點(diǎn)間斷，綜上所述，在上連續(xù)，在點(diǎn)間斷。2. 求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型.如果是可去間斷點(diǎn)，則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義，使其在該點(diǎn)連續(xù)：(1) ;(2) ;(3) ； （4）；(5) ; (6) 解：(1) 在無定義，因此為函數(shù)的間斷點(diǎn)，又因?yàn)椋詾楹瘮?shù)的可去間斷點(diǎn)，補(bǔ)充定義，原函數(shù)就成為連續(xù)函數(shù)。(2) 在無定義，因此為函數(shù)的間斷點(diǎn)，由，可得，由，可得，所以為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)。(3) 在無定義，因此為函數(shù)的間斷點(diǎn)，由，可得，由，可得，所以為函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)。（

8、4）在無定義，因此為函數(shù)的間斷點(diǎn)，因?yàn)椋詾楹瘮?shù)的可去間斷點(diǎn)，補(bǔ)充定義，原函數(shù)就成為連續(xù)函數(shù)，因?yàn)?，所以為函?shù)的無窮間斷點(diǎn)。(5) 在，無定義，因此和都為函數(shù)的間斷點(diǎn)，因?yàn)?，所以為函?shù)的可去間斷點(diǎn)，補(bǔ)充定義，原函數(shù)就成為連續(xù)函數(shù)，因?yàn)?，所以為函?shù)的無窮間斷點(diǎn)。(6) 因?yàn)?，所以為函?shù)的跳躍間斷點(diǎn)。3. 在下列函數(shù)中，當(dāng)a取什么值時(shí)函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)?(1) (2) 解：(1) 在是連續(xù)函數(shù)，因此只要在時(shí)連續(xù)，就在其定義域內(nèi)連續(xù)。因?yàn)?，所以只要，就在其定義域內(nèi)連續(xù)。(2) 在區(qū)間是連續(xù)函數(shù)，因此只要在時(shí)連續(xù)，就在其定義域內(nèi)連續(xù)。因?yàn)?，所以只要，就在其定義域內(nèi)連續(xù)。4. 求下列函數(shù)的極限：(1

9、);(2);(3); (4) ;(5) ; (6) .解：(1);(2);(3); (4) ;(5) ; (6) .5. 證明方程在內(nèi)必有實(shí)根.證明：設(shè). 因?yàn)楹瘮?shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，又有,故.根據(jù)零點(diǎn)存在定理知，至少存在一點(diǎn)，使,即因此，方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.6. 證明方程至少有一個(gè)正根，并且它不大于 .證明：設(shè). 因?yàn)楹瘮?shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，又有,故.根據(jù)零點(diǎn)存在定理知，至少存在一點(diǎn)，使,即因此，方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，即方程至少有一個(gè)正根，并且它不大于 。復(fù)習(xí)題2（A）1. 單項(xiàng)選擇題：(1) 設(shè),則(B)(A) 有界 (B) 無界(C) 單調(diào)增加 (D) 時(shí)， 為無窮大解：，因此無界，但是的

10、極限不存在，也不是單調(diào)數(shù)列，故只有B選項(xiàng)正確。(2) 若在點(diǎn)x0處的極限存在，則(C)(A) 必存在且等于極限值(B) 存在但不一定等于極限值(C) 在處的函數(shù)值可以不存在(D) 如果存在，則必等于極限值解：由函數(shù)極限的定義可知，研究當(dāng)?shù)臉O限時(shí)，我們關(guān)心的是x無限趨近x0時(shí)的變化趨勢(shì)，而不關(guān)心在處有無定義，大小如何。2. 指出下列運(yùn)算中的錯(cuò)誤，并給出正確解法：(1);(2);(3);(4).解：(1) 因?yàn)?，不能做分母，所以此時(shí)極限的四則運(yùn)算法則失效。正確做法是：因?yàn)?(2) 因?yàn)?，不能做分母，所以此時(shí)極限的四則運(yùn)算法則失效。正確做法是：因?yàn)椋蔁o窮小與無窮大之間的關(guān)系可知.(3) 因?yàn)楹投疾?/p>

11、存在，所以此時(shí)極限的四則運(yùn)算法則失效。正確做法是：.(4) 因?yàn)?，不能做分母，所以此時(shí)極限的四則運(yùn)算法則失效。正確做法是：.3. 求下列極限：(1) ； (2) ; (3); (4) ; (5) ;（6）; (7)；（8）; (9);(10); (11) ;(12) ;解：(1) ； (2) ; (3); (4) ; (5) ;（6）;(7)；（8）;(9);(10);(11) ;(12) .4. 求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型.如果是可去間斷點(diǎn)，則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義，使其在該點(diǎn)連續(xù)：（1）; (2) . 解：（1）因?yàn)椋允呛瘮?shù)的跳躍間斷點(diǎn)。(2) 因?yàn)樵冢瑹o定義，因此，為函數(shù)的間斷點(diǎn)

12、，因?yàn)?，所以是函?shù)的跳躍間斷點(diǎn)；因?yàn)椋允呛瘮?shù)的可去間斷點(diǎn)，補(bǔ)充定義，則在連續(xù)；因?yàn)?，所以是函?shù)的無窮間斷點(diǎn)。5設(shè)f(x)(1) 當(dāng)a為何值時(shí)，是的連續(xù)點(diǎn)?(2) 當(dāng)a為何值時(shí)，是的間斷點(diǎn)?是什么類型的間斷點(diǎn)?解：(1) 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，是的連續(xù)點(diǎn)。(2) 當(dāng)時(shí)，是的跳躍間斷點(diǎn)。6. 試證方程至少有一個(gè)小于1的正根.解：設(shè). 因?yàn)楹瘮?shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，又有,故.根據(jù)零點(diǎn)存在定理知，至少存在一點(diǎn)，使,即因此，方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.（B）1. 討論極限是否存在？解：由，可得，故由，可得，故所以為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)。2. 求下列極限.(1) ； (2) ;(3) ;(4) . 解：(1) 令，則；

13、(2) ;(3) ;(4) 因?yàn)?，所?3問a,b為何值時(shí)，. 解：因?yàn)榍摇Ｋ?，由此式可解得，所以，由此式可解?4問a為何值時(shí)，函數(shù)連續(xù). 解：因?yàn)樵谑浅醯群瘮?shù)，因此只要在連續(xù)，就是連續(xù)函數(shù)。由，由可解得時(shí)，所以當(dāng)時(shí)是連續(xù)函數(shù)。5函數(shù)在下列區(qū)間有界的是 ( A ). A. ；B. ； C. ；D. .解：用排除法，因?yàn)?，所以在，都無界。6. 函數(shù)的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( C ).A. 1；B. 2； C. 3；D. 無窮多個(gè).解：是的間斷點(diǎn)，因?yàn)?，所以是可去間斷點(diǎn)，在時(shí)，是無窮間斷點(diǎn)。7. 函數(shù)的間斷點(diǎn)情況是 ( B ). A. 不存在間斷點(diǎn)；B. 存在間斷點(diǎn)； C. 存在間斷點(diǎn)；D. 存在間斷點(diǎn).解：由題意知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此，在區(qū)間，和是初等函數(shù)，因此在上是連續(xù)函數(shù)，因?yàn)?，所以在點(diǎn)間斷，因?yàn)?，且?所以在點(diǎn)連續(xù)，綜上所述，只在點(diǎn)間斷。8. 設(shè)0<a<b, 求極限. 解：用夾逼定理，因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)?，所?. 試確定的值，使得.其中是當(dāng)時(shí)比高階的無窮小.解：此題用第四章的洛必達(dá)法則解由題意可知由洛必達(dá)法則可知因?yàn)?，所以，繼續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則得因?yàn)?，所以，繼續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則得所以，解方程組， 可得.