高考試題——數(shù)學(xué)理四川卷Word

1、2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)科）第卷本試卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。參考公式：如果事件互斥，那么球的表面積公式 其中表示球的半徑如果事件相互獨(dú)立，那么 球的體積公式 其中表示球的半徑 一、選擇題：1. 設(shè)集合則.已知函數(shù)連續(xù)，則常數(shù)的值是. . . .復(fù)數(shù)的值是. . . .4.已知函數(shù)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是A.函數(shù)的最小正周期為 B.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)C.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D.函數(shù)是奇函數(shù)5.如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，則下列結(jié)論正確的是. .平面 C. 直線平面 .6.已知為實(shí)數(shù)，且。

2、則“”是“”的A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C充要條件 D. 既不充分也不必要條件7.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，其一條漸近線方程為，點(diǎn)在該雙曲線上，則=A. B. C .0 D. 48.如圖，在半徑為3的球面上有三點(diǎn)，球心到平面的距離是，則兩點(diǎn)的球面距離是A. B. C. D.9.已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是A.2 B.3 C. D.10.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸。銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬元，該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料

3、不超過13噸，B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)是A. 12萬元 B. 20萬元 C. 25萬元 D. 27萬元11.3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是A. 360 B. 228 C. 216 D. 96 12.已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則的值是A.0 B. C.1 D.2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù) 學(xué)（理科）第卷考生注意事項(xiàng)：請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上書寫作答無效二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分把答案填在題

4、中橫線上13.的展開式的常數(shù)項(xiàng)是 （用數(shù)字作答）14.若與相交于A、B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)度是 15.如圖，已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，是側(cè) 棱的中點(diǎn)，則異面直線所成的角的大小是 。16設(shè)是已知平面上所有向量的集合，對(duì)于映射，記的象為。若映射滿足：對(duì)所有及任意實(shí)數(shù)都有，則稱為平面上的線性變換?，F(xiàn)有下列命題：設(shè)是平面上的線性變換，則對(duì)，則是平面上的線性變換；若是平面上的單位向量，對(duì)，則是平面上的線性變換；設(shè)是平面上的線性變換，若共線，則也共線。其中真命題是 （寫出所有真命題的序號(hào)）三、解答題：本大題共6小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17. （

5、本小題滿分12分）在中，為銳角，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且（I）求的值；（II）若，求的值。18. （本小題滿分12分）為振興旅游業(yè)，四川省2009年面向國(guó)內(nèi)發(fā)行總量為2000萬張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡（簡(jiǎn)稱金卡），向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡（簡(jiǎn)稱銀卡）。某旅游公司組織了一個(gè)有36名游客的旅游團(tuán)到四川名勝旅游，其中是省外游客，其余是省內(nèi)游客。在省外游客中有持金卡，在省內(nèi)游客中有持銀卡。（I）在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名游客，求恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率；（II）在該團(tuán)的省內(nèi)游客中隨機(jī)采訪3名游客，設(shè)其中持銀卡人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。19（本小題滿分12分）如圖，

6、正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設(shè)線段的中點(diǎn)為，在直線上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由；（III）求二面角的大小。20（本小題滿分12分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率，右準(zhǔn)線方程為。（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）過點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程。21. （本小題滿分12分）已知函數(shù)。（I）求函數(shù)的定義域，并判斷的單調(diào)性；（II）若（III）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，設(shè)，若函數(shù)的極值存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)的極值。22. （本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整

7、數(shù)，都有成立，記。（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；（III）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為。已知正實(shí)數(shù)滿足：對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）參考答案一、 選擇題：本體考察基本概念和基本運(yùn)算。每小題5分，滿分60分。（1） C （2） B (3) A (4) D (5) D (6) B(7) C (8) B (9) A （10）D (11) B (12) A二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題4分，滿分16分。 （13） -20 （14）4 （15） （16）三、解答題（17）本小題主要考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系，兩角和差的三角函數(shù)、二倍

8、角公式、正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)及基本運(yùn)算能力。解：（）、為銳角，又， 6分（）由（）知,. 由正弦定理得，即， ， ， 12分（18）本小題主要考察相互獨(dú)立事件、互斥事件、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概率計(jì)算，考察運(yùn)用概率只是解決實(shí)際問題的能力。 解：（）由題意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡。設(shè)事件為“采訪該團(tuán)3人中，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人”， 事件為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，0人持銀卡”， 事件為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，1人持銀卡”。 所以在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3人，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率是。6分（）的可能取值為0，1，2，3

9、, ， 所以的分布列為0123 所以， 12分 （19）本小題主要考察平面與平面垂直、直線與平面垂直、直線與平面平行、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考察空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)探究意識(shí)，考察應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力。解法一：（）因?yàn)槠矫嫫矫?平面，平面平面，所以平面所以.因?yàn)闉榈妊苯侨切危?，所以又因?yàn)?，所以，?所以平面。 4分 （）存在點(diǎn),當(dāng)為線段AE的中點(diǎn)時(shí)，PM平面 取BE的中點(diǎn)N，連接AN,MN，則MNPC 所以PMNC為平行四邊形，所以PMCN 因?yàn)镃N在平面BCE內(nèi)，PM不在平面BCE內(nèi)， 所以PM平面BCE 8分 （）由EAAB,平面ABEF平面ABCD，易知，EA平面A

10、BCD作FGAB,交BA的延長(zhǎng)線于G，則FGEA。從而，F(xiàn)G平面ABCD作GHBD于G，連結(jié)FH，則由三垂線定理知，BDFH因此，AEF為二面角F-BD-A的平面角因?yàn)镕A=FE, AEF=45°,所以AFE=90°，F(xiàn)AG=45°.設(shè)AB=1,則AE=1,AF=.FG=AF·sinFAG=在RtFGH中，GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,GH=BG·sinGBH=·=在RtFGH中，tanFHG= = 故二面角F-BD-A的大小為arctan. 12分解法二:()因?yàn)锳BE為等腰直角三角形,AB=AE,所以AEAB

11、.又因?yàn)槠矫鍭BEF平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF平面ABCD=AB,所以AE平面ABCD.所以AEAD.因此,AD,AB,AE兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立 如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.設(shè)AB=1,則AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因?yàn)镕A=FE, AEF = 45°,所以AFE= 90°.從而，.所以,.,.所以EFBE, EFBC.因?yàn)锽E平面BCE,BCBE=B ,所以EF平面BCE. ()存在點(diǎn)M,當(dāng)M為AE中點(diǎn)時(shí),PM平面BCE. M ( 0,0, ), P (

12、1, ,0 ). 從而=,于是·=·=0 所以PMFE,又EF平面BCE，直線PM不在平面BCE內(nèi)， 故PMM平面BCE. 8分()設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為，并設(shè)=（x,y,z）. ， 即 取y=1，則x=1，z=3。從而。取平面ABD的一個(gè)法向量為。故二面角FBDA的大小為arccos。12分（20）本小題主要考查直線、橢圓、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題及推理運(yùn)算能力。 解：（）有條件有，解得。 。 所以，所求橢圓的方程為。4分（）由（）知、。 若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=-1. 將x=-1代入橢圓方程得。 不妨設(shè)、， . ,與題設(shè)矛盾

13、。 直線l的斜率存在。 設(shè)直線l的斜率為k，則直線的方程為y=k（x+1）。設(shè)、，聯(lián)立，消y得。由根與系數(shù)的關(guān)系知，從而，又，。化簡(jiǎn)得解得（21）本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列的極限、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)、考查分類整合思想、推理和運(yùn)算能力。解：（）由題意知當(dāng)當(dāng)當(dāng).（4分）（）因?yàn)橛珊瘮?shù)定義域知>0,因?yàn)閚是正整數(shù)，故0<a<1.所以（）令 當(dāng)m=0時(shí)，有實(shí)根，在點(diǎn)左右兩側(cè)均有故無極值 當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根當(dāng)x變化時(shí)，、的變化情況如下表所示：+0-0+極大值極小值的極大值為，的極小值為 當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)有一個(gè)實(shí)根， 同上可得的極大值為綜上所述，時(shí)，函數(shù)有極值；當(dāng)時(shí)的極大值為，的極小值為當(dāng)時(shí)，的極大值為（22）本小題主要考查數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)、考查化歸思想、分類整合思想，