高中數(shù)學推理與證明復習總結(jié)

1、推理與證明推理與證明推理證明合情推理演繹推理歸納類比綜合法分析法反證法直接證明間接證明數(shù)學歸納法 本章知識網(wǎng)絡： 一、推理 1. 歸納推理 1）歸納推理的定義：從個別事實中推演出一般性的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。 2）歸納推理的思維過程大致如圖： 實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論 3）歸納推理的特點： 歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象。 由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否真實，還需經(jīng)過邏輯證明和實驗檢驗，因此，它不能作為數(shù)學證明的工具。 歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提

2、出問題。 2. 類比推理 1）根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，這樣的推理稱為類比推理。 2）類比推理的思維過程是： 觀察、比較聯(lián)想、類推推測新的結(jié)論 3. 演繹推理 1）演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）按照嚴格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程。 2）主要形式是三段論式推理。 3）三段論式常用的格式為： MP （M是P） SM （S是M） SP （S是P） 其中是大前提，它提供了一個一般性的原理；是小前提，它指出了一個特殊對象；是結(jié)論，它是根據(jù)一般性原理，對特殊情況做出的判斷。 二、證明 1. 直接證明：是從命題的條

3、件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實性。直接證明包括綜合法和分析法。綜合法就是“由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，不斷用必要條件代替前面的條件，直至推出要證的結(jié)論。分析法就是從所要證明的結(jié)論出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的式子，可稱為“由果索因”。要注意敘述的形式：要證A，只要證B，B應是A成立的充分條件. 分析法和綜合法常結(jié)合使用，不要將它們割裂開。 2. 間接證明：即反證法：是指從否定的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法。反證法的一般步驟是：反設推理矛盾原命題成立。（所謂矛盾是指：與假設矛盾；與數(shù)學公

4、理、定理、公式、定義或已證明了的結(jié)論矛盾；與公認的簡單事實矛盾）。 常見的“結(jié)論詞”與“反議詞”如下表：原結(jié)論詞反議詞原結(jié)論詞反議詞至少有一個一個也沒有對所有的x都成立存在某個x不成立至多有一個至少有兩個對任意x不成立存在某個x成立至少有n個至多有n1個p或q¬ p且¬ q至多有n個至少有n1個p且q¬ p或¬ q “三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提-已知的一般結(jié)論；小前提-所研究的特殊情況；結(jié) 論-根據(jù)一般原理，對特殊情況得出的判斷。一般地，假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反

5、證法。1、已知數(shù)列的前n項和，且，通過計算猜 想（    ）A、    B、       C、       D、a1=1a2=1/3a3=1/6a4=1/10an=1/1+2+.+(n-1)+n=1/(1+n)*n/22、已知a1=1，然后猜想（    ）A、n    B、n2       

6、0;   C、n3       D、3、設條件甲：x=0，條件乙：xyi（x，yR）是純虛數(shù)，則（  ）A、甲是乙的充分非必要條件   B、甲是乙的必要非充分條件C、甲是乙的充分必要條件    D、甲是乙的既不充分，又不必要條件解：根據(jù)復數(shù)的分類，x+yi為純虛數(shù)的充要條件是x=0，y0“若x=0則x+yi為純虛數(shù)”是假命題，反之為真x，yR，則“x=0”是“x+yi為純虛數(shù)”的必要不充分條件故選B4、已知關于x的方程x2（2i1）x3mi0有實根，則實數(shù)

7、m應取的值是（  ）A、m  B、m   C、m=   D、m=X2-(2i-1)x+3m-i=0(x2+x+3m)-(2x+1)i=0x=-1/2代入得到m=1/125、設R+，M分別表示正實數(shù)集，負實數(shù)集，純虛數(shù)集，則集合加m2| mM是（  ）A、R+    B、R     C、R+R     D、R06、若23i是方程x2+mx+n0的一個根，則實數(shù)m，n的值為（  ）A、m4，n=3&#

8、160;  B、m =4，n13C、m4，n=21   D、m=4，n57、 下列表述正確的是（ ）. 歸納推理是由部分到整體的推理；歸納推理是由一般到一般的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理；類比推理是由特殊到一般的推理；類比推理是由特殊到特殊的推理. A； B； C； D.8、下面使用類比推理正確的是 （ ）. A.“若,則”類推出“若,則”B.“若”類推出“”C.“若” 類推出“ （c0）”D.“” 類推出“”9、 有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線平面，則直線直線”的結(jié)論顯然是錯誤的，這

9、是因為 （ ） A.大前提錯誤 B.小前提錯誤 C.推理形式錯誤 D.非以上錯誤10、用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時，反設正確的是（ ）。(A)假設三內(nèi)角都不大于60度； (B) 假設三內(nèi)角都大于60度； (C) 假設三內(nèi)角至多有一個大于60度； (D) 假設三內(nèi)角至多有兩個大于60度。11、在十進制中，那么在5進制中數(shù)碼2004折合成十進制為 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 200412、利用數(shù)學歸納法證明“1aa2an1 =， (a1，nN)”時，在驗證n=1成立時，左邊應該是 （ ）(A)1 (B)1a (C)1aa2 (D)1aa2a3

10、 13、某個命題與正整數(shù)n有關，如果當時命題成立，那么可推得當時命題也成立. 現(xiàn)已知當時該命題不成立，那么可推得（ ）A當n=6時該命題不成立B當n=6時該命題成立C當n=8時該命題不成立D當n=8時該命題成立14、用數(shù)學歸納法證明“”（）時，從 “”時，左邊應增添的式子是（ ）ABCD當n=1時，左邊=2，右邊=2，等式成立。設當n=k，時等式成立，即(k+1)(k+2).(k+k)=2k.1.3.(2k-1)  當n=k+1時，左邊=(k+2)(k+3).(k+k)(k+K+1)(k+k+2)       &#

11、160;                      =2k.1.3.5.(2k-1).(2k+1)(2k+2)/(k+1)                      &#

12、160;       =2(k+1).1.3.(2k-1)(2k+1)         右邊=2(k+1).1.3.2(k+1)-1=2(k+1).1.3.(2k+1)   即左邊=右邊，等式成立綜上：當N屬于N+時，等式成立。15、已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明時，若已假設為偶數(shù)）時命題為真，則還需要用歸納假設再證（ ）A時等式成立B時等式成立C時等式成立D時等式成立16、數(shù)列中，a1=1，Sn表示前n項和，且S

13、n，Sn+1，2S1成等差數(shù)列，通過計算S1，S2，S3，猜想當n1時，Sn=（ ）ABCD117、（8分）求證： +>2+。18、（14分）已知數(shù)列an滿足Snan2n1, (1) 寫出a1, a2, a3,并推測an的表達式；(2) 用數(shù)學歸納法證明所得的結(jié)論。一、 1、B 2、B 3、B 4、C 5、B 6、B 6-16 DCABB CABBB17、證明：要證原不等式成立，只需證（+）>（2+），即證。上式顯然成立, 原不等式成立.18、解： (1) a1, a2, a3, 猜測 an2 (2) 由（1）已得當n1時，命題成立； 假設nk時,命題成立，即 ak2, 當nk1時

14、, a1a2akak1ak12(k1)1, 且a1a2ak2k1ak 2k1ak2ak12(k1)12k3, 2ak122, ak12, 即當nk1時,命題成立. 根據(jù)得nN+ , an2都成立 推理與證明【最新考綱透析】1合情推理與演繹推理（1）了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用；（2）了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理；（3）了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。2直接證明與間接證明（1）了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點；（2）了解間接證明的一種基本方法反

15、證法；了解反證法的思考過程、特點。3數(shù)學歸納法了解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題。【核心要點突破】要點考向1：合情推理考情聚焦：1合情推理能夠考查學生的觀察、分析、比較、聯(lián)想的能力，在高考中越來越受到重視；2呈現(xiàn)方式金榜經(jīng)，屬中檔題?？枷蜴溄樱?歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理，在進行歸納時，要先根據(jù)已知的部分個體，把它們適當變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論；2類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對象之間的推理，其中一個對象具有某個性質(zhì)，則另一個對象也具有類似的性質(zhì)。在進行類比時，要充分考慮已知對象性質(zhì)的推理過程，然后類比推導類比對象的性質(zhì)。

16、例1：（2010·福建高考文科·）觀察下列等式： cos2a=2-1; cos4a=8- 8+ 1; cos6a=32- 48+ 18- 1; cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1; cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1.可以推測，m n + p = .【命題立意】本題主要考查利用合情推理的方法對系數(shù)進行猜測求解【思路點撥】根據(jù)歸納推理可得 【規(guī)范解答】觀察得：式子中所有項的系數(shù)和為1，又， 【答案】962要點考向2：演繹推理考情聚焦：1近幾年高考，證明題逐漸升溫，而其證明主要是通過演繹推理來進行的；2主要以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中、高

17、檔題。考向鏈接：演繹推理是由一般到特殊的推理，數(shù)學的證明過程主要是通過演繹推理進行的，只要采用的演繹推理的大前提、小前提和推理形式是正確的，其結(jié)論一定是正確，一定要注意推理過程的正確性與完備性。例2：（2010·浙江高考理科·14）設，將的最小值記為，則其中=_ .【命題立意】本題考查合情推理與演繹推理的相關知識，熟練掌握相關的推理規(guī)則是關鍵【思路點撥】觀察的奇數(shù)項與偶數(shù)項的特點【規(guī)范解答】觀察表達式的特點可以看出，當為偶數(shù)時，；，當為奇數(shù)時，【答案】要點考向3：直接證明與間接證明考情聚焦：1直接證明與間接證明是數(shù)學證明的兩種思維方式，考查了學生的邏輯思維能力，近幾年高考對

18、此部分的考查有所加強。2以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題目。例3：（2010·北京高考文科·20）已知集合對于，定義A與B的差為A與B之間的距離為（）當n=5時，設，求，；（）證明：，且;() 證明：三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查了學生運用新知識的能力。本題情景是全新的，對學生的“學習能力”提出了較高要求。要求教師真正的重視學生的探究性學習，更加注重學生“學習能力”、“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)【思路點撥】（I）（）直接按定義證明即可；() “至少”問題可采用反證法證明【規(guī)范解答】（）（1,0,1,0,1） 3()設 因為，所以從而由題意知當時，當時， 所以()

19、證明：設記由（）可知所以中1的個數(shù)為k,中1的個數(shù)為設是使成立的的個數(shù)。則由此可知，三個數(shù)不可能都是奇數(shù)，即三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù) 注：（1）有關否定性結(jié)論的證明常用反證法或舉出一個結(jié)論不成立的例子即可；（2）綜合法和分析法是直接證明常用的兩個方法，我們常用分析法尋找解決問題的突破口，然后用綜合法來寫出證明過程，有時候，分析法和綜合法交替使用。要點考向4：數(shù)學歸納法考情聚焦：1新課標區(qū)對數(shù)學歸納法的考查在去年有加強的趨勢，望能引起足夠的重視；2以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題。例4：等比數(shù)列的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值;（11）當b=2時，記

20、證明：對任意的 ，不等式成立【解析】因為對任意的,點，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當時,當時,又因為為等比數(shù)列,所以,公比為,（2）當b=2時，, 則,所以 . 下面用數(shù)學歸納法證明不等式成立. 當時,左邊=,右邊=,因為,所以不等式成立. 假設當時不等式成立,即成立.則當時,左邊=所以當時,不等式也成立.由、可得不等式恒成立.注：（1）用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的一些等式，命題關鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關，由n=k到n=k+1時等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項。（2）在本例證明過程中，考慮“n取第一個值的命題形式”

21、時，需認真對待，一般情況是把第一個值供稿通項，判斷命題的真假，在由n=k到n=k+1的遞推過程中，必須用歸納假設，不用歸納假設的證明就不是數(shù)學歸納法。（3）在用數(shù)學歸納法證明的第2個步驟中，突出了兩個湊字，一“湊”假設，二“湊”結(jié)論，關鍵是明確n=k+1時證明的目標，充分考慮由n=k到n=k+1時，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系。【高考真題探究】1（2010·山東高考文科·）觀察，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿足，記為的導函數(shù)，則=（ ）（A） (B) (C) (D)【規(guī)范解答】選D通過觀察所給的結(jié)論可知，若是偶函數(shù)，則導函數(shù)是奇函數(shù)，故選D2（2010·陜西高考理

22、科·）觀察下列等式：,，根據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為 _.【規(guī)范解答】由所給等式可得：等式兩邊的冪式指數(shù)規(guī)律明顯，底數(shù)關系如下：即左邊底數(shù)的和等于右邊的底數(shù)。故第五個等式為：【答案】 4（2010·江蘇高考·23）已知ABC的三邊長都是有理數(shù)。（1） 求證：cosA是有理數(shù)；（2）求證：對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。【命題立意】本題主要考查余弦定理、數(shù)學歸納法等基礎知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力?！舅悸伏c撥】（1）利用余弦定理表示cosA，由三邊是有理數(shù)，求得結(jié)論；（2）可利用數(shù)學歸納法證明.【規(guī)范解答】方法一：（1）設三邊長分別為，是有理

23、數(shù)，是有理數(shù)，分母為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對于除法的具有封閉性，必為有理數(shù)，cosA是有理數(shù)。（2）當時，顯然cosA是有理數(shù)；當時，因為cosA是有理數(shù)， 也是有理數(shù)；假設當時，結(jié)論成立，即coskA、均是有理數(shù)。當時，解得：cosA，均是有理數(shù)，是有理數(shù)，是有理數(shù)即當時，結(jié)論成立。綜上所述，對于任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。5（2009江蘇高考）設0,求證：.證明：因為0,所以0，0，從而0，即.6（2008安徽高考）設數(shù)列滿足為實數(shù)（）證明：對任意成立的充分必要條件是；（）設，證明：;（）設，證明：【解析】（）必要性：，又，即.充分性：設，對任意用數(shù)學歸納法證明.當時，. 假設當時，則

24、，且，. 由數(shù)學歸納法知，對任意成立.() 設，當時，結(jié)論成立；當時，.，由（）知，且，.()設,當時，結(jié)論成立；當時，由()知，.一、選擇題1已知是的充分不必要條件，則是的（ ）（） 充分不必要條件 （） 必要不充分條件（） 充要條件 （） 既不充分也不必要條件2設a、b、c都是正數(shù)，則,三個數(shù)（ ）A、都大于2 B、至少有一個大于2 C、至少有一個不大于2 D、至少有一個不小于23在中，所對的邊分別為，且，則一定是（ ）（） 等腰三角形 （） 直角三角形 （）等邊三角形 （） 等腰直角三角形4 5.已知函數(shù)的定義域為，若對于任意的，都有，則稱為上的凹函數(shù).由此可得下列函數(shù)中的凹函數(shù)為 （

25、） （） （B） （C） （D）5.給定正整數(shù)n(n2)按下圖方式構(gòu)成三角形數(shù)表；第一行依次寫上數(shù)1，2，3，n，在下面一行的每相鄰兩個數(shù)的正中間上方寫上這兩個數(shù)之和，得到上面一行的數(shù)（比下一行少一個數(shù)），依次類推，最后一行（第n行）只有一個數(shù).例如n=6時數(shù)表如圖所示，則當n=2 007時最后一行的數(shù)是（ ）(A)251×22 007 (B)2 007×22 006 (C)251×22 008 (D)2 007×22 0056.如圖，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1，2，3，4，5，6的橫、縱坐標分別對應數(shù)列an(nN*)的前12項

26、（即橫坐標為奇數(shù)項，縱坐標為偶數(shù)項），按如此規(guī)律下去,則a2 009+a2 010+a2 011等于( )(A)1 003(B)1 005 (C)1 006(D)2 011二、填空題7對于等差數(shù)列有如下命題：“若是等差數(shù)列，是互不相等的正整數(shù)，則有”。類比此命題，給出等比數(shù)列相應的一個正確命題是：“_”。8如果A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則A1B1C1是 三角形，A2B2C2是 三角形.（用“銳角”、“鈍角”或“直角”填空）9(2010漢沽模擬)在直角三角形中，兩直角邊分別為，設為斜邊上的高，則，由此類比：三棱錐的三個側(cè)棱兩兩垂直，且長分別為，設棱錐底

27、面上的高為，則 . 三、解答題10.觀察下表：1，2，34，5，6，78，9，10，11，12，13，14，15，問：（1）此表第n行的最后一個數(shù)是多少？（2）此表第n行的各個數(shù)之和是多少？（3）2010是第幾行的第幾個數(shù)?（4）是否存在nN*，使得第n行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為227-213-120？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由.11已知數(shù)列：，（是正整數(shù)），與數(shù)列：，（是正整數(shù)）記（1）若，求的值；（2）求證：當是正整數(shù)時，；（3）已知，且存在正整數(shù)，使得在，中有4項為100求的值，并指出哪4項為10012已知數(shù)列，記求證：當時，（）；（）；（）。一、選擇題1【解析】選.反

28、證法的原理：“原命題”與“逆否命題”同真假，即：若則.2【解析】選D.3【解析】選A.，又因為，；4【解析】選C.可以根據(jù)圖像直觀觀察；對于（C）證明如下：欲證，即證，即證，即證，顯然，這個不等式是成立的，且每一步可逆，故原不等式得證；5【解析】選C.由題意知，112=7×24,48=6×23，20=5×22，故n行時，最后一行數(shù)為(n+1)·2n-2，所以當n=2 007時，最后一行數(shù)為2 008×22 005=251×22 008.二、填空題6【解析】選B.觀察點坐標的規(guī)律可知，偶數(shù)項的值等于其序號的一半.a4n-3=n,a4n-1=-n,又2 009=4×503-3,2 011=4×503-1,a2 009=503,a